1ère – Cours – Suites arithmétiques

Suites Arithmétiques

I Généralités 

Définition 1 : Une suite $\left(u_n\right)$ est dite arithmétique s’il existe un réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}-u_n=r$.
Le nombre $r$ est appelé la raison de la suite $\left(u_n\right)$.

Remarque : Cela signifie donc que la différence entre deux termes consécutifs quelconques d’une suite arithmétique est constante.
Si le premier terme de la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ est $u_0$ on a le schéma suivant :

Exemple : La suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=-4+2n$ est arithmétique.
En effet, pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=-4+2(n+1)-(-4+2n)\\
&=-4+2n+2+4-2n\\
&=2\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $2$.

Propriété 1 : On considère une suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $r$ et de premier terme $u_0$.

  • Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_{n+1}=u_n+r$ (définition par récurrence)
  • Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=u_0+nr$ (définition explicite)

Exemple : On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $3$ et de premier terme $u_0=1$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_{n+1}=u_n+3$ et $u_n=1+3n$.

Remarques :

  • Pour chacun des points de la propriété la réciproque est vraie.
    – Si pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n+r$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $r$.
    – Si pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=u_0+nr$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $r$.
  • Si le premier terme de la suite arithmétique n’est pas $u_0$ mais $u_1$ on a, pour tout entier naturel $n$ non nul $u_n=u_1+(n-1)r$.
    La propriété suivante permet de généraliser aux premiers termes $u_{n_0}$.
Propriété 2 : On considère une suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $r$.
Pour tout entier naturel $n$ et $p$ on a $u_p=u_n+(p-n)r$.

Exemple : On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $-2$ telle que $u_5=8$.
Alors, par exemple :
$\begin{align*} u_{17}&=u_5+(17-5) \times (-2) \\
&=8-2\times 12 \\
&=-16\end{align*}$

Remarque : Cette propriété permet de déterminer, entre autre, la raison d’une suite arithmétique dont on connaît deux termes.
On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $r$ telle que $u_3=7$ et $u_8=10$.
On a alors :
$\begin{align*} u_8=u_3+(8-3)r &\ssi 10=7+5r \\
&\ssi 3=5r \\
&\ssi r=\dfrac{3}{5}\end{align*}$
$\quad$

$\quad$

II Sommes de termes

Propriété 3 : Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $1+2+3+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Preuve Propriété 3

Pour tout entier naturel $n$ non nul on note : $S_n=1+2+3+\ldots +n$.
On a ainsi $S_n=1+2+3+\ldots+(n-2)+(n-1)+n$
En écrivant cette égalité en partant de la droite on obtient $S_n=n+(n-1)+(n-2)+\ldots+3+2+1$.
En faisant la somme de ces deux expressions on obtient :
$2S_n=(n+1)+(n+1)+(n+1)+\ldots+(n+1)+(n+1)+(n+1)$
On obtient ainsi $n$ facteurs tout égaux à $(n+1)$.

Par conséquent $S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : Si $n=100$ on obtient alors
$\begin{align*}1+2+3+\ldots+100&=\dfrac{100\times 101}{2} \\
&=5~050\end{align*}$

Propriété 4 : On considère une suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $r$ et deux entiers naturels $n$ et $p$ tels que $n<p$.
$$u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+\ldots+u_p=(p-n+1)\dfrac{u_n+u_p}{2}$$

Remarques :

  • On peut également retenir la formule précédente de cette façon : $$u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+\ldots+u_p=\text{nombre de termes}\times \dfrac{\text{premier terme+dernier terme}}{2}$$
  • $u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$
Preuve Propriété 4

$\begin{align*} &u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+\ldots+u_p\\
=~&u_n+\left(u_n+r\right)+\left(u_n+2r\right)+\ldots+\left(u_n+(p-n)r\right) \\
=~& (p-n+1)u_n+r\left(1+2+\ldots+(p-n)\right) \\
=~& (p-n+1)u_n+r\times \dfrac{(p-n)(p-n+1)}{2} \\
=~& (p-n+1)\left(u_n+r\dfrac{p-n}{2}\right) \\
=~& (p-n+1)\dfrac{2u_n+r(p-n)}{2} \\
=~& (p-n+1)\dfrac{u_n+u_n+r(p-n)}{2} \\
=~& (p-n+1)\dfrac{u_n+u_p}{2} \end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple :On considère une suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $2$ et de premier terme $u_0=-5$.
On veut calculer la somme $S=u_7+u_8+u_9+\ldots+u_20$

  • En utilisant la propriété 4
    D’une part cette somme compte $14$ termes.
    D’autre part
    $\begin{align*}u_7&=u_0+7\times 2 \\
    &=-5+14 \\
    &=9\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*}u_{20}&=u_0+20\times 2 \\
    &=-5+40 \\
    &=35\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} S&=14\times \dfrac{u_7+u_{20}}{2} \\
    &=14\times \dfrac{9+35}{2} \\
    &=14\times 22\\
    &=308\end{align*}$
    $\quad$
  • En utilisant seulement la propriété 3
    $\begin{align*}u_7&=u_0+7\times 2 \\
    &=-5+14 \\
    &=9\end{align*}$
    $\begin{align*} S&=u_7+u_8+u_9+\ldots+u_{20} \\
    &=9+(9+2)+(9+2\times 2)+\ldots+(9+2\times 13)\\
    &=9\times 14+2(1+2+\ldots+13)\\
    &=126+2\times \dfrac{13\times 14}{2} \\
    &=126+182\\
    &=308\end{align*}$
    $\quad$

III Sens de variation

Propriété 5 : On considère une suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $r$.

  • Si $r<0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante;
  • Si $r=0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante;
  • Si $r>0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.

Preuve Propriété 5

La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $r$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n=r$.

  • Si $r<0$ alors $u_{n+1}-u_n<0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante;
  • Si $r=0$ alors $u_{n+1}-u_n=0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est constante;
  • Si $r>0$ alors $u_{n+1}-u_n>0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.
    $\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $u_n=2-3n$.
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=2-3(n+1)-(2-3n) \\
&=2-3n-3-2+3n\\
&=-2\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $-2$.
Or $-2<0$. Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.

$\quad$

IV Représentation graphique

Propriété 6 : On considère une suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $r$ et de premier terme $u_0$.
Les points de coordonnées $\left(n;u_n\right)$ appartiennent à la droite d’équation $y=u_0+rx$.

Exemple : On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=-2$ et de raison $0,5$.

Les points de coordonnées $\left(n;u_n\right)$ appartiennent à la droite d’équation $y=-2+0,5x$.

$\quad$

V Limites

Cette partie est hors programme en classe de première.

Propriété 7 : On considère une suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $r$ et de premier terme $u_0$.

  • Si $r<0$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=-\infty$;
  • Si $r=0$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=u_0$;
  • Si $r>0$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$.

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=1\\u_{n+1}=u_n+3\quad n\in\N\end{cases}$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_{n+1}-u_n=3$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $3$.
Or $3>0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$.

$\quad$