Suites Géométriques

I Généralités

Définition 1 : Une suite $\left(u_n\right)$ est dite géométriques s’il existe un réel $q$ non nul tel que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}= q\times u_n$.
Le nombre $q$ est appelé la raison de la suite $\left(u_n\right)$.

Remarques :

Cela signifie donc que si le premier terme est non nul alors le quotient entre deux termes consécutifs quelconques d’une suite arithmétique est constant.
On a donc la définition par récurrence des suites géométriques.

Exemple : La suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=4\times 0,3^n$ est géométrique.
En effet, pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}=4\times 0,3^{n+1} \\
&=4\times 0,3^n\times 0,3\\
&=0,3u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0,3$.

Propriété 1 : On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q$ et de premier terme $u_0$.
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=u_0\times q^n$.

Exemple : On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $-4$ et de premier terme $u_0=5$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_{n+1}=-4u_n$ et $u_n=5\times (-4)^n$.

Remarques :

Pour chacun des points de la propriété la réciproque est vraie.
– Si pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=q\times u_n$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q$.
– Si pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=u_0 \times q^n$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q$.
Si le premier terme de la suite géométrique n’est pas $u_0$ mais $u_1$ on a, pour tout entier naturel $n$ non nul $u_n=u_1\times q^{n-1}$.
La propriété suivante permet de généraliser aux premiers termes $u_{n_0}$.

Propriété 2 : On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q$.
Pour tout entier naturel $n$ et $p$ on a $u_p=u_n\times q^{p-n}$.

Exemple : On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $2$ telle que $u_3=4$.
Alors, par exemple :
$\begin{align*} u_{10}&=u_3\times 2^{10-3}\\
&=4\times 2^7 \\
&=512\end{align*}$

Remarque : Cette propriété permet de déterminer, entre autre, la raison d’une suite géométrique dont on connaît deux termes.
On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q$ telle que $u_{11}=1,2$ et $u_{14}=150$.
On a alors :
$\begin{align*} u_{14}=u_{11}\times q^{14-11} &\ssi 150=1,2\times q^3 \\
&\ssi 125=q^3 \\
&\ssi 5^3 = q^3\\
&\ssi q=5\end{align*}$
$\quad$

$\quad$

II Sommes de termes

Propriété 3 : Pour tout entier naturel $n$ non nul et tout réel $q\neq 1$ on a $1+q+q^2+\ldots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Remarques :

Dans la fraction, l’exposant $n+1$ correspond au nombre de termes de la somme.
Si $q=1$ alors $1+q+q^2+\ldots+q^n=n+1$.

Preuve Propriété 3

Pour tout entier naturel $n$ non nul on note $S_n=1+q+q^2+\ldots+q^n$.
On a alors $q\times S_n=q+q^2+q^3+\ldots+q^{n+1}$
Par conséquent :
$S_n-q\times S_n=\left(1+q+q^2+\ldots+q^n\right)-\left(q+q^2+q^3+\ldots+q^{n+1}\right)$
soit, après simplification :
$S_n-q\times S_n=1-q^{n+1}$
On a aussi $S_n-q\times S_n=(1-q)S_n$
Donc $(1-q)S_n=1-q^{n+1}$

Puisque $q\neq 1$ on obtient $S_n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : Si $q=0,5$ alors :
$\begin{align*} &1+0,5+0,5^2+0,5^3+\ldots+0,5^{20} \\
=~&\dfrac{1-0,5^{21}}{1-0,5} \\
=~&\dfrac{1-0,5^{21}}{0,5} \\
=~&2\left(1-0,5^{21}\right)\end{align*}$

Propriété 4 : On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q$ et deux entiers naturels $n$ et $p$ tels que $n<p$.
$$u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+\ldots+u_p=u_n\times \dfrac{1-q^{p-n+1}}{1-q}$$

Remarques :

On peut également retenir la formule précédente de cette façon : $$u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+\ldots+u_p=\text{premier terme}\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$$
$u_0+u_1+\ldots+u_n=u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Preuve Propriété 4

$\begin{align*}&u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+\ldots+u_p\\
=~&u_n+u_n\times q+u_n\times q^2+\ldots+u_n\times q^{p-n} \\
=~&u_n\left(1+q+q^2+\ldots+q^{p-n} \right) \\
=~&u_n\times \dfrac{1-q^{p-n+1}}{1-q}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple :
$\begin{align*} &5+10+20+40+\ldots+5~120 \\
=~&5+5\times 2+5\times 2^2+5\times 2^3+\ldots+5\times 2^{10} \\
=~&5\times \dfrac{1-2^{11}}{1-2}\\
=~&5\times \dfrac{1-2~048}{-1}\\
=~&-5(1-2~048)\\
=~&10~235\end{align*}$

Remarques : On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q$. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :

$u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=u_0\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$u_1+u_2+u_3+\ldots+u_n=u_1\times \dfrac{1-q^{n}}{1-q}$

$\quad$

III Sens de variation

Propriété 5 : On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q$ et de premier terme $u_0$.

Si $\boldsymbol{q>1}$
– Si $u_0>0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante;
– Si $u_0<0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
Si $\boldsymbol{0<q<1}$
– Si $u_0>0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante;
– Si $u_0<0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.
Si $\boldsymbol{q=1}$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante.
Si $\boldsymbol{q<0}$ alors la suite $\left(u_n\right)$ n’est ni croissante, ni décroissante, ni constante.

Preuve Propriété 5

Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=u_0\times q^n$
Par conséquent
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=u_0\times q^{n+1}-u_0\times q^n \\
&=q^n\times (q-1)\times u_0\end{align*}$

Si $q>1$ alors $q-1>0$ et $q^n>0$. Donc $u_{n+1}-u_n$ est du signe de $u_0$
$\quad$ Si $u_0>0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.
$\quad$ Si $u_0<0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
Si $0<q<1$ alors $q-1<0$ et $q^n>0$. Donc $u_{n+1}-u_{n}$ est du signe de $-u_0$.
$\quad$ Si $u_0>0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
$\quad$ Si $u_0<0$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.
Si $q=1$ alors $q-1=0$. Par conséquent $u_{n+1}-u_n=0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est constante.
Si $q<0$ alors $q-1<0$ et $q^n$ n’est pas de signe constant.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=3\times 2,1^n$.
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=3\times 2,1^{n+1} \\
&=3\times 2,1^n\times 2,1\\
&=2,1u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $2,1$ et de premier terme $u_0=3$.
Ainsi $q>1$ et $u_0>0$. La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.

$\quad$

IV Représentation graphique

Exemples

On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $0,7$ et de premier terme $u_0=4$.$\quad$
On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $1,2$ et de premier terme $u_0=1$.

$\quad$

V Limites

Cette partie est hors programme en classe de première.

Propriété 6 : On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q$ et de premier terme $u_0$.

Si $\boldsymbol{q>1}$
– Si $u_0>0$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$;
– Si $u_0<0$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$.
Si $\boldsymbol{-1<q<1}$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
Si $\boldsymbol{q=1}$ alors alors $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=u_0$.

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=4\times 0,7^n$.
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=4\times 0,7^{n+1} \\
&=4\times 0,7^n\times 0,7 \\
&=0,7u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,7$.
Or $-1<0,7<1$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.

$\quad$