1ère – Cours – Suites numériques

Suites numériques

I Définition

Définition 1 : Soit $n_0$ un entier naturel.
Une suite $u$ est une fonction définie qui à tout entier naturel $n\pg n_0$ lui associe un réel $u(n)$, qu’on notera très souvent $u_n$.

Remarques :

  • Quand $n_0=0$, la suite $u$ est également notée $\left(u_n\right)$ ou $\left(u_n\right)_{n\in\N}$. Si $n_0\pg 1$, on notera parfois la suite $\left(u_n\right)_{n\pg n_0}$.
  • On dit que $u_n$ est le terme de rang $n$ de la suite $u$.
  • Quand $n_0=0$, le terme de rang $n$ est le $(n+1)^{\ieme}$ terme.

Exemples :

  • La suite $u$ définie sur $\N$ : $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $\ldots$
    On $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=2$, $u_3$, $u_4=4$, $u_5=5$
  • La suite $v$ définie sur $\N$ : $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, $\ldots$
    On $v_0=1$, $v_1=2$, $v_2=4$, $v_3=8$, $v_4=16$, $v_5=32$
  • La suite $w$ définie sur $\N$ : $0$, $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $\ldots$
    On $w_0=0$, $w_1=1$, $w_2=4$, $w_3=9$, $w_4=16$, $w_5=25$
  • La suite $x$ définie pour tous les entiers naturels $n$ tels que $n\pg 1$ : $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $11$, $\ldots$
    On $x_1=1$, $x_2=3$, $x_3=5$, $x_4=7$, $x_5=9$, $x_6=11$

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II Modes de génération

Définition 2 : Soit $n_0$ un entier naturel.
Une suite $u$ est définie explicitement s’il existe une fonction $f$ telle que, pour tout entier naturel $n\pg n_0$, on a $u_n=f(n)$

Remarque : Cela signifie donc qu’on peut calculer n’importe quel terme de la suite directement en fournissant la valeur de $n$.

Exemple : La suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n=2n+5$ pour tout entier naturel $n$.
Ainsi :
$\begin{align*} u_{15}&=2\times 15+5\\
&=35\end{align*}$

Définition 3 : soit $n_0$ un entier naturel.
Une suite $u$ est définie par récurrence lorsque un ou plusieurs termes initiaux sont donnés et qu’il existe une relation permettant de calculer un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents.

Exemples :

  • La suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=3\\u_{n+1}=-u_n+2 \quad \forall n\in \N\end{cases}$
    $\quad$
  • La suite $\left(v_n\right)$ définie par $\begin{cases} v_0=1\\v_{n+1}=n\times v_n+1\quad \forall n\in \N\end{cases}$
    $\quad$
  • La suite $\left(w_n\right)$ définie par $\begin{cases}w_0=2,w_1=5\\w_{n+2}=-3w_{n+1}+4w_n\quad \forall n\in \N\end{cases}$
    $\quad$

Remarques :

  • Il est donc nécessaire de connaître tous les termes de la suite qui précède le rang qui nous intéresse. On doit calculer $u_1$, $u_2$, $\ldots$, $u_9$ pour pouvoir calculer $u_{10}$.
  • Il n’est pas toujours facile ou possible d’obtenir la définition explicite d’une suite quand elle est définie par récurrence.
  • Quand on calcule les termes d’une suite définie par récurrence il faut bien faire attention à la valeur de $n$.
    Reprenons l’exemple de la suite $\left(v_n\right)$ définie par $\begin{cases} v_0=1\\v_{n+1}=n\times v_n+1\quad \forall n\in \N\end{cases}$
    Ainsi :
    $\begin{align*}v_1&=v_{0+1}\\
    &=0\times v_0+1 \\
    &=0\times 1+1\\
    &=1\end{align*}$ $\quad$ $\begin{align*}v_2&=v_{1+1}\\
    &=1\times v_1+1 \\
    &=1\times 1+1\\
    &=2\end{align*}$ $\quad$ $\begin{align*}v_3&=v_{2+1}\\
    &=2\times v_2+1 \\
    &=2\times 2+1\\
    &=5\end{align*}$
  • En reprenant les noms des suites données dans les exemples, il existe donc trois fonctions $f$, $g$ et $h$ telles que, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, $v_{n+1}=g\left(u_n,n\right)$, $w_{n+2}=h\left(w_{n+1},w_n\right)$.
  • Attention à ne pas confondre $u_{n+1}$, le terme de rang $n+1$, avec $u_n+1$, le terme de rang $n$ auquel on ajoute $1$.

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$\quad$

III Représentations graphiques

1. Sur une droite graduée

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=2n+1$.
On représente sur la droite graduée les points d’abscisses $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, $\ldots$.


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2. Suite définie de façon explicite dans un repère 

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\sqrt{5n+2}$.
On représente dans un repère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{5x+2}$.
On place ensuite les points de coordonnées $\left(n;f(n)\right)$ et enfin, en projetant sur l’axe des ordonnées, on place les points de coordonnées $\left(0;f(n)\right)$.

$\quad$

3. Suite définie par récurrence dans un repère 

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=1\\u_{n+1}=\dfrac{4u_n+20}{2u_n+1}\quad \forall n\in \N\end{cases}$.
On a donc $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{4x+20}{2x+1}$.
On représente la fonction $f$ dans un repère et la droite $d$ d’équation $y=x$.
On place le point de coordonnées $\left(u_0;0\right)$. On obtient son projeté $M_0$ sur la courbe $\mathscr{C}$ représentant $f$ de coordonnées $\left(u_0;f\left(u_0\right)\right)$, c’est-à-dire de coordonnées $\left(u_0;u_1\right)$.
On trace la parallèle à l’axe des abscisses passant par le point $M_0$. Elle coupe la droite $d$ au point de coordonnées $\left(u_1;u_1\right)$.
Le projeté sur l’axe des abscisses fournit le point de coordonnées $\left(u_1;0\right)$. On répète l’opération pour obtenir tous les points de coordonnées $\left(u_n;0\right)$.

$\quad$

IV Sens de variation d’une suite

Définition 4 : On considère un entier naturel $n_0$ et une suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \pg n_0$.

  • La suite $\left(u_n\right)$ est dite croissante à partir du rang $k\pg n_0$ si, pour tout entier naturel $n \pg k$ on a $u_{n+1}\pg u_n$.
  • La suite $\left(u_n\right)$ est dite décroissante à partir du rang $k\pg n_0$ si, pour tout entier naturel $n \pg k$ on a $u_{n+1}\pp u_n$.
  • La suite $\left(u_n\right)$ est dite constante à partir du rang $k\pg n_0$ si, pour tout entier naturel $n \pg k$ on a $u_{n+1}= u_n$.

Remarques :

  • On parle égale de suite strictement croissante ou strictement décroissante lorsque les inégalités de la définition sont strictes.
  • On dit qu’une suite est (strictement) monotone à partir du rang $k$ si elle est (strictement) décroissante ou (strictement) croissante à partir du rang $k$.
  • Il existe des suites qui ne sont ni monotone ni constante comme par exemple la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=(-1)^n$.
Propriété 1 : On considère un entier naturel $n_0$ et une suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \pg n_0$.

  • La suite $\left(u_n\right)$ est dite croissante à partir du rang $k\pg n_0$ si, pour tout entier naturel $n \pg k$ on a $u_{n+1} \pg u_n$
  • La suite $\left(u_n\right)$ est dite décroissante à partir du rang $k\pg n_0$ si, pour tout entier naturel $n \pg k$ on a $u_{n+1} \pp u_n$

Preuve Propriété 1

Pour tout entier naturel $n \pg k$ on a $u_{n+1} \pg u_n \ssi u_{n+1}-u_n \pg 0$ et $u_{n+1} \pp u_n \ssi u_{n+1}-u_n \pp 0$

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$\quad$

Remarque : Si on veut parler de suite strictement croissante ou décroissante, il suffit de montrer les inégalités strictes correspondantes.

Exemples :

  • On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=5n+3$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=5(n+1)+3-(5n+3)\\
    &=5n+5+3-5n-3 \\
    &=5\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
    $\quad$
  • On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=3\times 0,2^n$
    Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=3\times 0,2^{n+1}-3\times 0,2^n \\
    &=3\times 0,2^n\times 0,2-3\times 0,2^n\times 1 \\
    &=3\times 0,2^n (0,2-1)\\
    &=3\times 0,2^n\times (-0,8)\\
    &<0\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    $\quad$
  • On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie par $\begin{cases} w_0=4\\w_{n+1}=w_n+n-2\end{cases}$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} w_{n+1}-w_n&=w_n+n-2-w_n \\
    &=n-2\end{align*}$
    Or $n-2\pg 0 \ssi n\pg 2$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc croissante à partir du rang $2$.
    $\quad$
Propriété 2 : On considère un entier naturel $n_0$ et une suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \pg n_0$ dont tous les termes sont strictement positifs.

  • La suite $\left(u_n\right)$ est dite strictement croissante à partir du rang $k\pg n_0$ si, pour tout entier naturel $n \pg k$ on a $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1$
  • La suite $\left(u_n\right)$ est dite strictement décroissante à partir du rang $k\pg n_0$ si, pour tout entier naturel $n \pg k$ on a $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1$

Preuve Propriété 2

Pour tout entier naturel $n \pg k$ on a  :
$\begin{align*} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1&\ssi \dfrac{u_{n+1}}{u_n}-1>0 \\
&\ssi \dfrac{u_{n+1}-u_n}{u_n}>0\end{align*}$
Tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont strictement positifs.
Ainsi $\dfrac{u_{n+1}-u_n}{u_n}>0 \ssi u_{n+1}-u_n>0$.

On procède de la même façon pour le deuxième point de la propriété.

$\quad$

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$\quad$

Remarque : Il faut absolument prouver que tous les termes sont strictement positifs avant d’utiliser cette propriété.

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=2\times 4^n$.
Pour tout entier naturel $n$ $4^n>0$ donc $u_n>0$.
$\begin{align*} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}&=\dfrac{2\times 4^{n+1}}{2\times 4^n} \\
&=\dfrac{2\times 4^n\times 4}{2\times 4^n}\\
&=4 \\
&>1\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.

$\quad$

V Notion de limite d’une suite

Des définitions plus rigoureuses seront données en terminales.

Définition 5 : On dit qu’une suite $\left(u_n\right)$ a pour limite un réel $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si les termes de la suite deviennent aussi proche de $\ell$ qu’on le veut quand on prend des valeurs de $n$ suffisamment grande.
On note alors $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\ell$ et on dit que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell$.

Remarque : Cela signifie donc qu’à partir d’un certain rang, les termes de la suite sont de plus en plus proche de $\ell$.

Exemples :

  • On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=3\\u_{n+1}=-0,2u_n \quad n\in \N\end{cases}$
    On a $u_0=3$, $u_1=-0,6$, $u_2=0,12$, $u_3=-0,024$, $u_4=0,004~8$, $\ldots$.
    Les termes $u_n$ semblent se rapprocher de plus en plus de $0$.
    Il semblerait donc que $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$
  • On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\dfrac{5n-1}{n+2}$.
    On constate que $u_9=4$, $u_{20}=4,5$, $u_{42}=4,75$, $u_{98}=4,89$, $u_{218}=4,95$
    Les termes de la suite semblent se rapprocher de $5$.
    Il semblerait donc que $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=5$.
Définition 6 : On dit qu’une suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $+\infty$ si les termes de la suite deviennent aussi grands qu’on le veut pour $n$ suffisamment grand.
On note alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=5n$.
On a $u_0=0$, $u_{10}=50$, $u_{1~000}=5~000$, $\ldots$.
Il semblerait donc que $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$

Définition 7 : On dit qu’une suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $-\infty$ si les termes de la suite deviennent aussi petits qu’on le veut pour $n$ suffisamment grand.
On note alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty$.

Exemple : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=-2n-3$.
On a $u_0=-3$, $u_{50}=-103$, $u_{2~000}=-4~003$, $\ldots$.
Il semblerait donc que $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$

Remarques :

  • Si une suite ne converge pas vers un réel $\ell$ on dit alors qu’elle diverge. Les suites qui ont pour limite $+\infty$ ou $-\infty$ sont donc divergentes.
  • Toutes les suites n’ont pas nécessairement une limite. La suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=(-2)^n$ ne possède pas de limite (elle prend de manière alternée des valeurs positives négatives de plus en plus grande en valeur absolue). Ces suites sont également dites divergentes.

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