Trigonométrie

I Repérage sur un cercle

1. Le cercle trigonométrique

Définition 1 : Sur un cercle on appelle sens direct ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d’une montre.

$\quad$

Définition 2 : On munit le plan d’un repère orthonormé $\Oij$ . On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre $O$, de rayon $1$ orienté dans le sens direct.

$\quad$

2. Enroulement de la droite des nombres réels sur le cercle trigonométrique

On munit le plan d’un repère orthonormé $\Oij$ et on considère le cercle trigonométrique $\mathscr{C}$. On appelle $\mathscr{D}$ la droite passant par $I$ et parallèle à l’axe des ordonnées (elle est donc tangente au cercle $\mathscr{C}$ en $I(1;0)$).

On appelle $A$ le point de coordonnées $(1;1)$. On munit ainsi la droite $\mathscr{D}$ du repère $(I;A)$.

En enroulant cette droite $\mathscr{D}$ sur le cercle $\mathscr{C}$ on fait correspondre, pour tout réel $x$, au point $M$ de coordonnées $(1;x)$ de la droite $\mathscr{D}$ un unique point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$.

Propriété 1 : À tout réel $x$ il existe donc un unique point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$ associé à ce réel $x$.
On dit alors que le point $M’$ est l’image du réel $x$ et on note parfois $M(x)$.

Remarque : A chaque point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$ il existe une infinité de réel ayant le point $M’$ comme image.

Propriété 2 : Si $M’$ est associé au réel $x$ alors il est également l’image de tous les réels de la forme $x+k\times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif.

$\quad$

Exemple : Si $M’$ est un point du cercle $\mathscr{C}$ image du réel $1,5$ alors il est également l’image des réels $1,5+2\pi$; $1,5+4\pi$; $1,5+6\pi$; $\ldots$ et également des réels $1,5-2\pi$; $1,5-4\pi$; $1,5-6\pi$; $\ldots$

Remarque : Si $x\in[0;2\pi]$ alors $x$ représente la longueur de l’arc $\overset{\frown}{IM’}$.

Définition 3 : On considère le cercle trigonométrique $\mathscr{C}$ et un point $M$ de ce cercle.
On définit la mesure en radian, notée rad, de l’angle $\widehat{IOM}$ comme la longueur de l’arc $\overset{\frown}{IM’}$ intercepté par cet angle.

Remarques :

$90$°$=\dfrac{\pi}{2}$ rad, $180$°$=\pi$ rad, $360$°$=2\pi$ rad
La mesure d’un angle en radian est proportionnelle à la mesure en degré.
$1$ rad $\approx 57,3$°

$\quad$

3. Quelques valeurs particulières

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}\text{Angle (en radian)}\phantom{\dfrac{1}{1}}&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}\text{Angle (en degré)}\phantom{\dfrac{1}{1}}&30&45&60&90\\
\hline
\end{array}$$

On obtient les autres correspondances par symétrie.

$\quad$

4. Quelques exemples d’utilisation

Méthode 1 : Deux réels ont-ils la même image sur le cercle ?

On considère les réels $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{25\pi}{4}$. On veut savoir s’ils sont représentés par le même point sur le cercle $\mathscr{C}$.
On va, par conséquent, calculer la différence $\dfrac{25\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{24\pi}{4}=6\pi=3\times 2\pi$.
La différence étant un multiple de $2\pi$ les deux nombres ont la même image sur le cercle.
On considère les réels $\dfrac{4\pi}{3}$ et $-\dfrac{11\pi}{3}$. On veut savoir s’ils sont représentés par le même point sur le cercle $\mathscr{C}$.
On va, par conséquent, calculer la différence $\dfrac{4\pi}{3}-\left(-\dfrac{11\pi}{3}\right)=\dfrac{15\pi}{3}=5\pi$.
La différence n’est pas un multiple de $2\pi$. Les deux nombres n’ont donc pas la même image sur le cercle.

$\quad$

Méthode 2 : Déterminer l’image d’un réel sur le cercle trigonométrique

On veut déterminer l’image du nombre $\dfrac{19\pi}{4}$.

On se place au point associé à $\dfrac{\pi}{4}$.
Puisque le nombre $\dfrac{19\pi}{4}$ est positif on va reporter dans le sens trigonométrique $19$ fois l’arc de cercle correspondant.
On arrive sur le point associé à $\dfrac{3\pi}{4}$.

$\quad$

II Cosinus et sinus d’un nombre réel

Définition 4 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ on appelle $M$ un point du cercle trigonométrique associé à un réel $x$.
On appelle :

cosinus du nombre $x$ l’abscisse du point $M$. On le note $\cos(x)$ ou, quand il n’y a pas d’ambiguïté, $\cos x$.
sinus du nombre $x$ l’ordonnée du point $M$. On le note $\sin(x)$ ou, quand il n’y a pas d’ambiguïté, $\sin x$.

Propriété 3 : Pour tout réel $x$ on a :

$-1 \pp \cos x \pp 1$
$-1 \pp \sin x \pp 1$
$\left(\cos x\right)^2+\left(\sin x\right)^2=1$

$\quad$

Remarque : On note souvent $\left(\cos x\right)^2=\cos^2 x$ et $\left(\sin x\right)^2=\sin^2 x$.

Voici quelques valeurs remarquables à connaître :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&0&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}\\
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}\cos x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&\phantom{~~}0\phantom{~~}\\
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}\sin x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&\phantom{~~}0\phantom{~~}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&1\\
\hline
\end{array}$$

Preuve de quelques valeurs particulières

Calculs de $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$
On appelle $M$ le point du cercle trigonométrique associé au réel $\dfrac{\pi}{3}$.

Les points $M$ et $I$ appartiennent au cercle trigonométrique. Le triangle $OMI$ est donc isocèle en $O$.
On sait de plus que $\widehat{IOM}=\dfrac{\pi}{3}$. Par conséquent le triangle $OMI$ est équilatéral.
On appelle $H$ le pied de la hauteur de ce triangle issue du point $H$.

Dans un triangle équilatéral, les hauteurs, médianes, médiatrices et bissectrices issues de chaque sommet sont confondues. Par conséquent $H$ est le milieu du segment $[OI]$.
On a $0 < \dfrac{\pi}{3} < \dfrac{\pi}{2}$ donc $\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)>0$
Donc :
$\begin{align*} \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)&= OH \\
&=\dfrac{1}{2} \end{align*}$.
$\quad$
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $OHM$ rectangle.
$\begin{align*} &OM^2=OH^2+HM^2 \\
\ssi~&1=\dfrac{1}{4}+HM^2 \\
\ssi~& HM^2=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
On a $0 < \dfrac{\pi}{3} < \dfrac{\pi}{2}$ donc $\sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)>0$
Ainsi :
$\begin{align*} \sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)&=HM\\
&=\sqrt{\dfrac{3}{4}} \\
&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
$\quad$
Calcul de $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
On procède de la même manière que dans le cas précédent.
On appelle $M$ le point du cercle trigonométrique associé au réel $\dfrac{\pi}{4}$.
On appelle $H$ le pied de la hauteur du triangle $OMI$ issue du point $H$.

Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ et $\widehat{HOM}=\dfrac{\pi}{4}$. Ce triangle est par conséquent isocèle en $O$. Par conséquent $OH=HM$.
Or on a $0 < \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2}$ donc $\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)>0$ et $\sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)>0$
Ainsi $\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=OH=HM=\sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)$
On a :
$\begin{align*} &\cos^2\left( \dfrac{\pi}{3}\right)+\cos^2\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=1\\
\ssi~&2\cos^2\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=1\\
\ssi~& \cos^2\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} \end{align*}$
Ainsi $\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$ soit $\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$\quad$

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$\quad$

III Angles associés

Propriété 4 :
Pour tous réels $x$ on a :

$\cos(x+\pi) = -\cos(x)$ $\quad$ et $\quad$ $\sin(x+\pi) = -\sin(x)$
$\cos(x-\pi) = -\cos(x)$ $\quad$ et $\quad$ $\sin(x-\pi) = -\sin(x)$
$\cos \left(\dfrac{\pi}{2} – x \right) = \sin(x)$ $\quad$ et $\quad$ $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x \right) = \cos(x)$
$\cos \left(\dfrac{\pi}{2} + x \right) = -\sin(x)$ $\quad$ et $\quad$ $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x \right) = \cos(x)$

Exemples :

On a :
$\begin{align*}\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)&=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right) \\
&=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\\
&=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
On a :
$\begin{align*} \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)&=\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{4}\right) \\
&=-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\
&=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$

$\quad$