Variables aléatoires réelles

I Variables aléatoires réelles

Définition 1 : On considère une expérience aléatoire dont l’univers est $\Omega=\lbrace e_1,e_2,\ldots,\e_n\rbrace$. On appelle variable aléatoire toute fonction, souvent notée $X$, qui à chaque élément de $\Omega$ lui associe un nombre réel.

Exemple : On lance deux fois une pièce de monnaie et note le nombre de “Face” obtenus.
Par conséquent $\Omega=\lbrace 0,1,2\rbrace$.
On définit la variable aléatoire $X$ comptant le nombre de fois où on obtient “Face”.

Définition 2 : La probabilité de l’événement $\lbrace X=X_i\rbrace$ est la probabilité de l’événement constitué de toutes les issues associées au réel $x_i$.

Exemple : Dans l’exemple précédent, $P(X=1)=P\left(\left(\conj{F}F\right)\cup\left(F\conj{F}\right)\right)$.

Définition 3 : Dans une expérience aléatoire, lorsqu’à chaque valeur $x_i$ prise par une variable aléatoire $X$ on lui associe la probabilité de l’événement $\left(X=x_i\right)$ on définit alors la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

Exemples : À partir de l’exemple précédent on peut construire l’arbre pondéré suivant :

On obtient alors la loi de probabilité suivante :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i&0&1&2\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&0,25&0,5\phantom{0}&0,25\\
\hline
\end{array}$$

Remarque : Il faut penser à vérifier, une fois la loi de probabilité déterminée, que : $$P\left(X=x_1\right)+P\left(X=x_2\right)+\ldots+P\left(X=x_n\right)=1$$

$\quad$

II Espérance, Variance et écart-type

Dans toute cette partie On considèrera une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&x_1&x_2&\ldots&x_n\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&p_1&p_2&\ldots&p_n\\
\hline
\end{array}$$

Définition 4 : L’espérance de la variable aléatoire $X$ est le nombre $$E(X)=\sum_{i=1}^n x_ip_i=x_1p_1+x_2p_2+\ldots+x_np_n$$

Exemple : On considère une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau ci-dessous.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&-20&5&10&50\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&0,6&0,2&0,15&0,05\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance de la variable aléatoire $X$ est alors :
$\begin{align*} E(X)&=-20\times P(X=-20)+5\times P(X=5)+10\times P(X=10)+50\times P(X=50)\\
&=-20\times 0,6+5\times 0,2+10\times 0,15+50\times 0,05\\
&=-7\end{align*}$

Remarques :

$E(X)$ est la moyenne des valeurs prises par la variable aléatoire $X$ lorsque l’expérience est répétée un très grand nombre de fois.
S’il s’agit d’un jeu dans lequel $X$ donne le gain algébrique du joueur alors $E(X)$ est le gain moyen si le joueur fait un très grand nombre de parties.

Définition 5: On dit qu’une expérience est équitable si $E(X)=0$.

Propriété 1 : On considère une variable aléatoire $X$ sur un univers $\Omega$ ainsi que deux réels $a$ et $b$.
On a alors $E(aX+b)=aE(X)+b$

Preuve Propriété 1

$\begin{align*} E(aX+b)&= p_1\left(ax_1+b\right)+p_2\left(ax_2+b\right)+\ldots+p_n\left(ax_n+b\right)\\
&=ap_1x_1+bp_1+ap_2x_2+bp_2+\ldots+ap_nx_n+bp_n\\
&=a\left(p_1x_1+p_2x_2+\ldots+p_nx_n\right)+b\left(p_1+p_2+\ldots+p_n\right) \quad (*) \\
&=aE(X)+b
\end{align*}$

$(*) Car $p_1+p_2+\ldots+p_n=1$.
$\quad$

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$\quad$

Définition 6 : La variance de la variable aléatoire $X$ est le nombre $$V(X)=\sum_{i=1}^n p_i\left(x_i-E(X)\right)^2=p_1\left(x_1-E(X)\right)^2+p_2\left(x_2-E(X)\right)^2+\ldots+p_n\left(x_n-E(X)\right)^2$$

Exemple : En reprenant l’exemple précédent on a :
$\begin{align*} V(X)&=0,6\times \left(-20-(-7)\right))^2+0,2\times \left(5-(-7)\right)^2+0,15\times \left(10-(-7)\right)^2+0,05\times \left(50-(-7)\right)^2 \\
&=0,6\times (-13)^2+0,2\times 12^2+0,15\times 17^2+0,05\times 57^2 \\
&=336\end{align*}$

Propriété 2 : On considère une variable aléatoire $X$ sur un univers $\Omega$ ainsi que deux réels $a$ et $b$.
On a alors $V(aX+b)=a^2V(X)$

Preuve Propriété 2

\begin{align*}

$\begin{align*}
V(aX+b)&=p_1\left(ax_1+b-E(aX+b)\right)^2+p_2\left(ax_2+b-E(aX+b)\right)^2+\ldots+p_n\left(ax_n+b-E(aX+b)\right)^2 \\
&=p_1\left(ax_1+b-aE(X)-b\right)^2+p_2\left(ax_2+b-aE(X)-b\right)^2+\ldots+p_n\left(ax_n+b-aE(X)-b\right)^2\\
&=p_1\left(ax_1-aE(X)\right)^2+p_2\left(ax_2-aE(X)\right)^2+\ldots+p_n\left(ax_n-aE(X)\right)^2\\
&=a^2p_1\left(x_1-E(X)\right)^2+a^2p_2\left(x_2-E(X)\right)^2+\ldots+a^2p_n\left(x_n-E(X)\right)^2\\
&=a^2V(X)\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Définition 7 : L’écart-type de la variable aléatoire $X$ est le nombre $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

Exemple : Dans l’exemple précédent $\sigma(X)=\sqrt{336}$.

Remarque : Plus l’écart-type est grand, plus les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont éloignées de $E(X)$.

Propriété 3 (Formule de König Huygens) : On a $V(X)=\ds\sum_{i=1}^np_i{x_i}^2-\left(E(X)\right)^2$.

Preuve Propriété 3

On a :
$\begin{align*} V(X)&=\ds \sum_{i=1}^n p_i\left(x_i-E(X)\right)^2 \\
&=\sum_{i=1}^n p_i\left({x_i}^2-2x_iE(X)+\left(E(X)\right)^2\right) \\
&=\sum_{i=1}^n p_i{x_i}^2 -2\sum_{k=1}^n p_ix_iE(X)+\sum_{k=1}^n p_i\left(E(X)\right)^2 \\
&=\sum_{i=1}^n p_i{x_i}^2-2E(X)\sum_{k=1}^n p_ix_i+\left(E(x)\right)^2\sum_{k=1}^n p_i \\
&=\sum_{i=1}^n p_i{x_i}^2-2E(X)\times E(X)+\left(E(X)\right)^2 \quad (*) \\
&=\sum_{i=1}^np_i{x_i}^2-\left(E(X)\right)^2\end{align*}$
$(*)$ car $\ds \sum_{i=1}^n p_i=1$ et $\ds \sum_{i=1}^n p_ix_i=E(X)$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : En reprenant les données de l’exemple précédent on a :
$\begin{align*} V(X)&=0,6\times (-20)^2+0,2\times 5^2+0,15\times 10^2+0,05\times 50^2-(-7)^2 \\
&=240+5+15+125-49\\
&=336\end{align*}$

$\quad$