1ère – E3C2 – Spécimen 1 – Équations de droites

Spécimen 1 – Équations de droites

E3C2 – 1ère

Exercice

Dans un repère orthonormé $\Oij$, on considère les points $A(3 ; 1)$, $B(−3 ; 3)$ et $C(2 ; 4)$.

  1.  Montrer que l’équation $x+3y-6= 0$ est une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$, perpendiculaire à la droite $(AB)$ et passant par le point $C$.
    $\quad$
  3. En déduire les coordonnées du point $K$, projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.
    $\quad$
  4. Calculer la distance $AB$ et déterminer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$.
    $\quad$
  5. En déduire une équation du cercle de diamètre $[AB]$.
    $\quad$

$\quad$

Correction

  1. Montrons que les coordonnées des points $A$ et $B$ vérifient l’équation cartésienne $x+3y-6=0$.
    Pour le point $A$ : $3+3\times 1-6=0 \checkmark$
    Pour le point $B$ : $-3+3\times 3-6=0 \checkmark$.
    Ainsi une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $x+3y-6=0$.
    $\quad$
  2. Un vecteur normal à la droite $(AB)$ est $\vec{n}(1;3)$.
    Ce vecteur est donc un vecteur directeur de la droite $(d)$.
    Ainsi une équation cartésienne de la droite $d$ est de la forme $-3x+y+c=0$.
    Le point $C(2;4)$ appartient à la droite $d$.
    Donc $-3\times 2+4+c=0 \ssi c=2$.
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est par conséquent $-3x+y+2=0$.
    $\quad$
  3. Le projeté orthogonal est donc le point d’intersection des droites $d$ et $(AB)$.
    Ses coordonnées sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x+3y-6=0\\-3x+y+2=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=6-3y\\-3(6-3y)+y+2=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=6-3y\\-18+9y+y+2=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=6-3y\\10y=16 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=6-3y\\y=1,6\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=1,6\\x=6-3\times 1,6\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=1,6\\x=1,2\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi le point $K$ a pour coordonnées $(1,2;1,6)$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2} \\
    &=\sqrt{(-3-3)^2+(3-1)^2} \\
    &=\sqrt{36+4}\\
    &=\sqrt{40}\\
    &=2\sqrt{10}\end{align*}$
    Les coordonnées du point $M\left(x_M;y_M\right)$ milieu du segment $[AB]$ sont :
    $\begin{cases} x_M=\dfrac{3+(-3)}{2}\\y_M=\dfrac{1+3}{2}\end{cases} \ssi \begin{cases} x_M=0\\y_M=2\end{cases}$.
    $\quad$
  5. Le rayon du cercle de diamètre $[AB]$ est :
    $\begin{align*} R&=\dfrac{AB}{2} \\
    &=\sqrt{10}\end{align*}$
    Le centre de ce cercle est le point $M$.
    Ainsi une équation cartésienne de ce cercle est : $(x-0)^2+(y-2)^2=R^2$ soit $x^2+(y-2)^2=10$.
    $\quad$

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$\quad$