1ère – E3C2 – Spécimen 1 – Fonctions

Spécimen 1 – Fonctions

E3C2 – 1ère

Exercice

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+7x^2+11x-19$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère $\Oij$.

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. Déterminer l’expression de $f'(x)$.
    $\quad$
  2. Résoudre dans $\R$ l’inéquation $3x^2+14x+11>0$.
    En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  4. Justifier que $1$ est solution de $x^3+7x^2+11x-19=0$.
    Vérifier que pour tout réel $x$ : $f(x)=(x-1)\left(x^2+8x+19\right)$.
    $\quad$
  5. Étudier le signe de la fonction $f$ et en dresser le tableau de signes sur $\R$.
    $\quad$

$\quad$

Correction

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2+7\times 2x+11 \\
    &=3x^2+14x+11\end{align*}$
    $\quad$
  2. Calculons le discriminant du polynôme du second degré $3x^2+14x+11$.
    $\begin{align*} \Delta &= 14^2-4\times 3\times 11  \\
    &=64\\
    &>0\end{align*}$
    Le polynôme possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1 &= \dfrac{-14-\sqrt{64}}{6} \\
    &=-\dfrac{11}{3}\end{align*}$ et $\begin{align*} x_2 &= \dfrac{-14+\sqrt{64}}{6} \\
    &=-1\end{align*}$
    Le coefficient principal du polynôme est $a=3>0$.
    Ainsi la solution de l’inéquation $3x^2+14x+11>0$ est $\left]-\infty;-\dfrac{11}{3}\right[\cup]-1;+\infty[$.
    $\quad$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} f(1)&=1^3+7\times 1^2+11\times 1-19 \\
    &=1+7+11-19 \\
    &=0\end{align*}$
    Par conséquent $1$ est solution de l’équation $x^3+7x^2+11x-19=0$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} &(x-1)\left(x^2+8x+19\right) \\
    =~& x^3+8x^2+19x-x^2-8x-19 \\
    =~& x^3+7x^2+19x-19\\
    =~&f(x)\end{align*}$
    $\quad$
  4. Pour étudier le signe de $f(x)$ on va étudier le signe de $x-1$ et celui de $x^2+8x+19$.
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    Pour étudier le signe de $x^2+8x+19$ on calcule tout d’abord son discriminant.
    $\begin{align*} \Delta &=8^2-4\times 1\times 19\\
    &=-12 \\
    &<0\end{align*}$
    Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=1>0$.
    Ainsi pour tout réel $x$ on a $x^2+8x+19>0$.
    On obtient alors le tableau de signes suivant :
    $\quad$

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$\quad$