1ère – E3C2 – Spécimen 2 – Fonctions

Spécimen 2 – Fonctions

E3C2 – 1ère

Exercice 

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{2x}+6\e^x-8x-4$.
Dans le plan rapporté à un repère orthogonal on considère :

  • $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$
  • $\mathscr{D}$ la droite d’équation réduite $y=-8x-4$.
  1. Montrer que, pour tout $x\in \R$, $f'(x)=2\left(\e^x-1\right)\left(\e^x+4\right)$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. En déduire le signe de $f(x)$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. La courbe $\mathscr{C}_f$ et la droite $\mathscr{D}$ ont-elles un point commun? Justifier.
    $\quad$


$\quad$
Correction

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a d’une part : $f'(x)=2\e^{2x}+6\e^x-8$
    D’autre part :
    $\begin{align*} &2\left(\e^x-1\right)\left(\e^x+4\right) \\
    =~&2\left(\e^{2x}+4\e^x-\e^x-4\right) \\
    =~&2\left(\e^{2x}+3\e^x-4\right) \\
    =~&-2\e^{2x}+6\e^x-8\end{align*}$
    Ainsi $f'(x)=2\left(\e^x-1\right)\left(\e^x+4\right)$.
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Donc $2\left(\e^x+4\right)>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $\e^x-1$.
    Or $\e^x-1=0 \ssi \e^x =1 \ssi x=0$
    et $\e^x-1>0\ssi \e^x >1 \ssi x>0$
    Par conséquent :
    – $f'(x)<0$ sur $]-\infty;0[$;
    – $f'(0)=0$;
    – $f'(x)>0$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. D’après le tableau de variations, pour tout réel $x$ on a $f(x)\pg 3$.
    Ainsi $f(x)$ est strictement positif sur $\R$.
    $\quad$
  5. On veut donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=-8x-4&\ssi \e^{2x}+6\e^x-8x-4=-8x-4\\
    &\ssi \e^{2x}+6\e^x=0 \\
    &\ssi \e^x\left(\e^x+6\right)=0\end{align*}$
    Or, pour tout réel $x$ on a $\e^x>0$ et donc $\e^x+6>0$.
    L’équation $f(x)=-8x-4$ ne possède par conséquent pas de solution sur $\R$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ et la droite $\mathscr{D}$ n’ont pas de point commun.
    $\quad$

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$\quad$