1ère – E3C2 – Spécimen 2 – Probabilités

Spécimen 2 – Probabilités

E3C2 – 1ère

Exercice 

  1. On lance deux dés cubiques équilibrés « classiques » et on note les numéros apparaissant sur la face supérieure de chaque dé.
    Soit $X$ la variable aléatoire égale au produit des numéros apparaissant sur les deux faces.
    Le jeu est gagné si le produit des numéros apparaissant sur les faces supérieures des deux dés lancés est strictement inférieur à $10$.
    a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
    b. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
    c. Déterminer la probabilité de gagner.
    $\quad$
  2. On lance à présent deux dés spéciaux : ce sont des dés cubiques parfaitement équilibrés dont les faces sont numérotées différemment des dés classiques.
    $\bullet$ Les faces du premier dé sont numérotées avec les chiffres : $1$, $2$, $2$, $3$, $3$, $4$.
    $\bullet$ Les faces du deuxième dé sont numérotées avec les chiffres : $1$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$.
    On note $Y$ la variable aléatoire égale au produit des numéros apparaissant sur les deux faces après lancer de ces deux dés spéciaux.
    Déterminer $P(Y<10)$
    $\quad$
  3. Est-il préférable de jouer au jeu de la question 1 avec des dés classiques ou avec des dés spéciaux?
    $\quad$


$\quad$
Correction

  1. a. Voici un tableau récapitulant les différents produits obtenus:
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \boldsymbol{\times}&~\textbf{1}~&~\textbf{2}~&~\textbf{3}~&~\textbf{4}~&~\textbf{5}~&~\textbf{6}~\\
    \hline
    \textbf{1}&1&2&3&4&5&6\\
    \hline
    \textbf{2}&2&4&6&8&10&12\\
    \hline
    \textbf{3}&3&6&9&12&15&18\\
    \hline
    \textbf{4}&4&8&12&16&20&24\\
    \hline
    \textbf{5}&5&10&15&20&25&30\\
    \hline
    \textbf{6}&6&12&18&24&30&36\\
    \hline
    \end{array}$$
    La variable aléatoire $X$ peut donc prendre les valeurs $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$, $10$, $12$, $15$, $16$, $18$, $20$, $24$, $25$, $30$ et $36$.
    $\quad$
    b. D’après le tableau précédent on a :
    $P(X=1)=\dfrac{1}{36}$ , $P(X=2)=\dfrac{2}{36}$, $P(X=3) = \dfrac{2}{36}$ , $P(X=4)=\dfrac{3}{36}$ , $P(X=5)=\dfrac{2}{36}$ , $P(X=6)=\dfrac{4}{36}$ , $P(X=8)=\dfrac{2}{36}$ , $P(X=9)=\dfrac{1}{36}$ , $P(X=10)=\dfrac{2}{36}$ , $P(X=12)=\dfrac{4}{36}$ , $P(X=15)=\dfrac{2}{36}$ , $P(X=16)=\dfrac{1}{36}$ , $P(X=18)=\dfrac{2}{36}$ , $P(X=20)=\dfrac{2}{36}$ , $P(X=24)=\dfrac{2}{36}$ , $P(X=25)=\dfrac{1}{36}$ , $P(X=30)=\dfrac{2}{36}$ , $P(X=36)=\dfrac{1}{36}$.
    $\quad$
    c. Ainsi
    $\begin{align*} P(X<10)&=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\\
    &\phantom{=}+P(X=6)+P(X=8)+P(X=9)\\
    &=\dfrac{1+2+2+3+2+4+2+1}{36}\\
    &=\dfrac{17}{36}\end{align*}$
    La probabilité de gagner est donc égale à $\dfrac{17}{36}$.
    $\quad$
  2. Avec ces nouveaux dés on obtient les différents produits suivants :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \boldsymbol{\times}&~\textbf{1}~&~\textbf{2}~&~\textbf{2}~&~\textbf{3}~&~\textbf{3}~&~\textbf{4}~\\
    \hline
    \textbf{1}&1&2&2&3&3&4\\
    \hline
    \textbf{3}&3&6&6&9&9&12\\
    \hline
    \textbf{4}&4&8&8&12&12&16\\
    \hline
    \textbf{5}&5&10&10&15&15&20\\
    \hline
    \textbf{6}&6&12&12&18&18&24\\
    \hline
    \textbf{8}&8&16&16&24&24&32\\
    \hline
    \end{array}$$
    On constate donc que $P(Y<10)=\dfrac{17}{36}$
    $\quad$
  3. On constate donc que $P(X<10)=P(Y<10)$.
    Les deux sortes de dés ont donc la même probabilité de gagner.
    $\quad$

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$\quad$