Spécimen 2 – Suites

E3C2 – 1ère

Exercice

Une collectivité locale octroie une subvention de $116~610$ € pour le forage d’une nappe d’eau souterraine. Une entreprise estime que le forage du premier mètre coûte $130$ € ; le forage du deuxième mètre coûte $52$ € de plus que celui du premier mètre ; le forage du troisième mètre coûte $52$ € de plus que celui du deuxième mètre, etc.
Plus généralement, le forage de chaque mètre supplémentaire coûte $52$ € de plus que celui du mètre précédent.
Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, on note : $u_n$ le coût du forage du $n$-ième mètre en euros et $S_n$ le coût du forage de $n$ mètres en euros; ainsi $u_1=130$.

Calculer $u_2$ et $u_3$.
$\quad$
Préciser la nature de la suite $\left(u_n\right)$. En déduire l’expression de $u_n$ en fonction de $n$, pour tout $n$ entier naturel non nul.
$\quad$
Calculer $S_2$ puis $S_3$.
$\quad$
Afin de déterminer le nombre maximal de mètres que l’entreprise peut forer avec la subvention qui est octroyée, on considère la fonction Python suivante :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def nombre_metre(S):}\\
\quad \text{C} ~=~130 \\
\quad \text{n} ~=~1 \\
\quad \text{while C < S :}\\
\qquad \text{C} ~=~ \text{C + } \ldots \\
\qquad \text{n} ~=~ \text{n + 1} \\
\quad \text{ return n}\\
\hline
\end{array}$$Compléter cet algorithme de sorte que l’exécution de la fonction $\text{nombre_metre(S)}$ renvoie le nombre maximal de mètres que l’entreprise peut forer avec la subvention octroyée. Justifier votre réponse.
$\quad$
On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n = 26n^2+104n$ . En déduire la valeur de $n$ que fournit la fonction Python donnée à la question 4. On expliquera la démarche utilisée.
$\quad$

$\quad$

Correction

On a $u_2=u_1+52$ donc $u_2=182$
et $u_3=u_2+52$ dp,c $u_3=234$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=u_n+52$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $r=52$ et de premier terme $u_1=130$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=130+52(n-1)$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} S_2&=u_1+u_2 \\
&=S_1+u_2 \\
&=130+182 \\
&=312\end{align*}$
et
$\begin{align*} S_3&=u_1+u_2+u_3 \\
&=S_2+u_3 \\
&=312+234 \\
&=546\end{align*}$
$\quad$
On obtient l’algorithme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def nombre_metre(S):}\\
\quad \text{C} ~=~130 \\
\quad \text{n} ~=~1 \\
\quad \text{while C < S :}\\
\qquad \text{C} ~=~ \text{C + 52} \\
\qquad \text{n} ~=~ \text{n + 1} \\
\quad \text{ return n}\\
\hline
\end{array}$$
La variable $\text{C}$ doit contenir le coût du forage de $n$ mètres. Il faut donc lui affecter la précédente valeur augmentée du coût de forage du $\text{n+1}$ mètre.
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que : $S_n\pg 116~610 \ssi 26n^2+104n-116~610\pg 0$
$\Delta = 12~138~256>0$
Les deux racines sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-104-\sqrt{12~138~256}}{2\times 26} \\
&=-69\end{align*}$ $~$ et $~$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-104+\sqrt{12~138~256}}{2\times 26} \\
&=65\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=26>0$.
Ainsi :
$\bullet ~26n^2+104n-116~610<0$ sur $[0;65[$;
$\bullet ~26n^2+104n-116~610=0$ si $n=65$;
$\bullet ~26n^2+104n-116~610>0$ sur $]65;+\infty[$.
La fonction Python fournit donc le nombre $65$.
$\quad$
Remarque : Pour simplifier les calculs des racines on pouvait remarquer que $104$ et $116~610$ étaient divisibles par $26$.
On obtenait alors l’équation du second degré $n^2+4n-4~485=0$ dont le discriminant est $\Delta=17~956=134^2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$