1ère – E3C2 – Spécimen 2 – Suites

Spécimen 2 – Suites

E3C2 – 1ère

Exercice 

Une collectivité locale octroie une subvention de $116~610$ € pour le forage d’une nappe d’eau souterraine. Une entreprise estime que le forage du premier mètre coûte $130$ € ; le forage du deuxième mètre coûte $52$ € de plus que celui du premier mètre ; le forage du troisième mètre coûte $52$ € de plus que celui du deuxième mètre, etc.
Plus généralement, le forage de chaque mètre supplémentaire coûte $52$ € de plus que celui du mètre précédent.
Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, on note : $u_n$ le coût du forage du $n$-ième mètre en euros et $S_n$ le coût du forage de $n$ mètres en euros; ainsi $u_1=130$.

  1. Calculer $u_2$ et $u_3$.
    $\quad$
  2. Préciser la nature de la suite $\left(u_n\right)$. En déduire l’expression de $u_n$ en fonction de $n$, pour tout $n$ entier naturel non nul.
    $\quad$
  3. Calculer $S_2$ puis $S_3$.
    $\quad$
  4. Afin de déterminer le nombre maximal de mètres que l’entreprise peut forer avec la subvention qui est octroyée, on considère la fonction Python suivante :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nombre_metre(S):}\\
    \quad \text{C} ~=~130 \\
    \quad \text{n} ~=~1 \\
    \quad \text{while C < S :}\\
    \qquad \text{C} ~=~ \text{C + } \ldots \\
    \qquad \text{n} ~=~ \text{n + 1} \\
    \quad \text{ return n}\\
    \hline
    \end{array}$$Compléter cet algorithme de sorte que l’exécution de la fonction $\text{nombre_metre(S)}$ renvoie le nombre maximal de mètres que l’entreprise peut forer avec la subvention octroyée. Justifier votre réponse.
    $\quad$
  5. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n = 26n^2+104n$ . En déduire la valeur de $n$ que fournit la fonction Python donnée à la question 4. On expliquera la démarche utilisée.
    $\quad$

$\quad$

Correction

  1. On a $u_2=u_1+52$ donc $u_2=182$
    et $u_3=u_2+52$ dp,c $u_3=234$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=u_n+52$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $r=52$ et de premier terme $u_1=130$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=130+52(n-1)$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} S_2&=u_1+u_2 \\
    &=S_1+u_2 \\
    &=130+182 \\
    &=312\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} S_3&=u_1+u_2+u_3 \\
    &=S_2+u_3 \\
    &=312+234 \\
    &=546\end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nombre_metre(S):}\\
    \quad \text{C} ~=~130 \\
    \quad \text{n} ~=~1 \\
    \quad \text{while C < S :}\\
    \qquad \text{C} ~=~ \text{C + 130 + 52 * n} \\
    \qquad \text{n} ~=~ \text{n + 1} \\
    \quad \text{ return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    La variable $\text{C}$ doit contenir le coût  du forage de $n$ mètres. Il faut donc lui affecter la précédente valeur augmentée du coût de forage du $\text{n+1}$ mètre.
    $\quad$
  5. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que : $S_n\pg 116~610 \ssi 26n^2+104n-116~610\pg 0$
    $\Delta = 12~138~256>0$
    Les deux racines sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-104-\sqrt{12~138~256}}{2\times 26} \\
    &=-69\end{align*}$ $~$ et $~$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-104+\sqrt{12~138~256}}{2\times 26} \\
    &=65\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=26>0$.
    Ainsi :
    $\bullet ~26n^2+104n-116~610<0$ sur $[0;65[$;
    $\bullet ~26n^2+104n-116~610=0$ si $n=65$;
    $\bullet ~26n^2+104n-116~610>0$ sur $]65;+\infty[$.
    La fonction Python fournit donc le nombre $65$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$