Spécimen 3 – Fonctions

E3C2 – 1ère

Exercice

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x)=(2x+1)\e^x$$
Sur le graphique ci-dessous, sont tracées la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ et la droite $T$, tangente à cette courbe au point d’abscisse $0$.

Déterminer les coordonnées des éventuels points d’intersection de la courbe $C_f$ avec l’axe des abscisses.
$\quad$
Montrer que, pour tout $x$ réel, que $f'(x) = (2x + 3)\e^x$.
$\quad$
Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ sur $\R$, puis préciser les variations de $f$ sur $\R$.
$\quad$
a. Déterminer l’équation réduite de la tangente $T$.
$\quad$
b. Justifier graphiquement que, pour tout réel $x$, on a : $$(2x+1)\e^x\pg 3x+1$$

$\quad$

Correction

On veut résoudre l’équation
$\begin{align*} f(x)=0&\ssi (2x+1)\e^x=0 \\
&\ssi 2x+1=0 \quad (*)\\
&\ssi 2x=-1 \\
&\ssi x=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
$(*)$ La fonction exponentielle est en effet strictement positive sur $\R$.
La courbe $C_f$ possède un unique point d”intersection avec l’axe des abscisses dont les coordonnées sont $\left(-\dfrac{1}{2};0\right)$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^x+(2x+1)\e^x \\
&=(2+2x+1)\e^x \\
&=(2x+3)\e^x\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x+3$.
$2x+3=0\ssi 2x=-3 \ssi x=-\dfrac{3}{2}$
$2x+3>0 \ssi 2x>-3 \ssi x>-\dfrac{3}{2}$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

$\quad$
a. L’équation réduite de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
Or $f'(0)=3$ et $f(0)=1$
Ainsi, une équation de la droite $T$ est $y=3x+1$.
$\quad$
b. Graphiquement, la courbe $C_f$ semble être toujours au-dessus de la tangente $T$.
Ainsi, pour tout réel $x$, on a $(2x+1)\e^x\pg 3x+1$.
$\quad$

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$\quad$