1ère – E3C2 – Spécimen 3 – Probabilités

Spécimen 3 – Probabilités

E3C2 – 1ère

Exercice 

Dans une école d’ingénieurs, certains étudiants s’occupent de la gestion des associations comme par exemple le BDS (bureau des sports).
Sur les cinq années d’études, le cycle « licence » dure les trois premières années, et les deux dernières années sont celles du cycle de « spécialisation ».
On constate que, dans cette école, il y a $40 \%$ d’étudiants dans le cycle « licence » et $60 \%$ dans le cycle de « spécialisation ».

  • Parmi les étudiants du cycle « licence », $8\%$ sont membres du BDS;
  • Parmi les étudiants du cycle de « spécialisation », $10\%$ sont membres du BDS.

On considère un étudiant de cette école choisi au hasard, et on considère les évènements suivants :

  • $L$ : « L’étudiant est dans le cycle « licence » ; $\conj{L}$ est son événement contraire.
  • $B$ : « L’étudiant est membre du BDS » ; $\conj{B}$ est son événement contraire.

La probabilité d’un événement $A$ est notée $P(A)$.

Partie A

  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré modélisant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que l’étudiant choisi soit en cycle « licence » et membre du BDS.
    $\quad$
  3. En utilisant l’arbre pondéré, montrer que $P(B) = 0,092$.
    $\quad$

Partie B

Le BDS décide d’organiser une randonnée en montagne. Cette sortie est proposée à tous les étudiants de cette école mais le prix qu’ils auront à payer pour y participer est variable. Il est de $60$ € pour les étudiants qui ne sont pas membres du BDS, et de $20$ € pour les étudiants qui sont membres du BDS.

On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant la somme à payer pour un étudiant qui désire faire cette randonnée.

  1. Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
    $\quad$
  2. Donner la loi de probabilité de $X$, et calculer l’espérance de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(L\cap B)&=P(L)\times P_L(B)\\
    &=0,4\times 0,08 \\
    &=0,032\end{align*}$
    La probabilité que l’étudiant choisi soit en cycle « licence » et membre du BDS est égale à $0,032$.
    $\quad$
  3. $L$ et $\conj{L}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(L\cap B)+P\left(\conj{L}\cap B\right) \\
    &=0,032+0,6\times 0,1 \\
    &=0,092\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $X$ prend deux valeurs $20$ et $60$.
    $\quad$
  2. On a obtient donc la loi de probabilité suivante :
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    x_i&20&60\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,092&0,908\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=20\times P(X=20)+60\times P(X=60) \\
    &=20\times 0,092+60\times 0,908\\
    &=56,32\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$