Spécimen 3 – Suites

E3C2 – 1ère

Exercice 

Bob s’est fixé un objectif : participer à un marathon qui aura lieu très bientôt dans sa ville.

Pour cela, il désire programmer sa préparation au marathon de la manière suivante :

• lors du premier entraînement, il décide de courir $20$ km ;
• il augmente ensuite, à chaque entraînement, la distance à courir de $5 \%$.

On peut modéliser la distance parcourue lors de ses entraînements par une suite $\left(d_n\right)$, où, pour tout entier naturel $n$ non nul, le nombre $d_n$ désigne la distance à courir en kilomètre, lors de son $n$-ième entraînement.
On a ainsi $d_1 = 20$.

1. Calculer $d_2$, puis vérifier que $d_3 = 22,05$.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $d_{n+1}$ en fonction de $d_n$.
   $\quad$
3. Justifier que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, $d_n=20\times 1,05^{n-1}$.
   $\quad$
4. Quelle distance, arrondie à $1$ m près, va courir Bob lors de son $10^{\e}$ entraînement ?
   $\quad$
5. La distance à courir lors d’un marathon est de $42,195$ km. Bob estime qu’il sera prêt pour la course, s’il parvient à courir au moins $43$ km lors d’un de ses entraînements.
   Recopier et compléter le script suivant, écrit en langage Python, dont la valeur de $n$, après exécution de ce script, est le nombre minimal d’entraînements permettant à Bob d’être prêt pour le marathon.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{n = 1}\\
   \text{d = 20}\\
   \textbf{while } \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots :\\
   \quad \text{n = $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$}\\
   \quad \text{d = 1,05 * d}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$

$\quad$

$\quad$