1ère – E3C2 – Spécimen 4 – Fonctions

Spécimen 4 – Fonctions

E3C2 – 1ère

Exercice

Un rameur est une machine d’exercice physique simulant les mouvements d’une personne qui fait de l’aviron.
Il est souvent utilisé pour l’entraînement sportif afin d’améliorer sa condition physique.
La courbe ci-dessous représente la puissance (en Watt) en fonction du temps (en dixième de seconde) développée par un rameur débutant.

Partie A : Répondre par lecture graphique aux deux questions suivantes

  1. Quelle est la puissance maximale atteinte par ce rameur?
    $\quad$
  2. Pendant combien de temps la puissance développée reste-t-elle au-dessus de $100$ Watts ?
    $\quad$

Partie B : Modélisation par une fonction

On suppose que la courbe est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,2;4]$ par :$$f(x)=(-8x+32)\e^x$$
On noté $f’$ la fonction dérivée de $f$. On admet que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0,2;4]$, $$f'(x)=(-8x+24)\e^x$$

  1. Étudier le signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f$ sur $[0,2 ; 4]$.
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur exacte du maximum de la fonction $f$.
    On suppose que le sportif améliore sa meilleure performance de $5\%$ tous les mois. Combien de mois d’entrainement seront-ils nécessaires pour qu’il dépasse les $200$ W ?
    $\quad$

$\quad$

Correction

Partie A

  1. D’après le graphique, la puissance maximale atteinte par le rameur est de $160$ Watts.
    $\quad$
  2. Graphiquement, la puissance développée reste au-dessus de $100$ Watts pendant environ $2$ dixièmes de seconde.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=(-8x+24)\e^x$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-8x+24$.
    $-8x+24=0 \ssi -8x=-24 \ssi x=3$
    $-8x+24>0 \ssi -8x>-24 \ssi x<3$
    Ainsi :
    $\bullet f'(x)<0$ sur l’intervalle $[0,2;3[$;
    $\bullet f'(3)=0$;
    $\bullet f'(x)>0$ sur l’intervalle $]3;4]$.
    Par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0,2;3]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[3;4]$.
    $\quad$
  2. D’après la question précédente la fonction $f$ atteint son maximum pour $x=3$.
    Or :
    $\begin{align*} f(3)&=(-8\times 3+32)\e^3\\
    &=8\e^3\end{align*}$
    $\quad$
    Le sportif améliore sa meilleure performance de $5\%$ tous les mois.
    On appelle $u_n$ la meilleure performance du sportif au bout de $n$ mois. On a ainsi $u_0=8\e^3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,05u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$.
    $u_0>0$ et $1,05>1$. La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
    D’après la calculatrice $u_4\approx 195,31<200$ et $u_5\approx 205,08>200$.
    Il faudra donc $5$ mois pour que le sportif dépasse les $200$ Watts.
    $\quad$

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$\quad$