1ère – E3C2 – Spécimen 4 – Géométrie repérée

Spécimen 4 – Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Exercice

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\Oij$ d’unité $1$ cm.
On considère la droite $D$ d’équation $x+3y-5= 0$.

  1. Montrer que le point $A$ de coordonnées $(2; 1)$ appartient à la droite $D$ et tracer la droite $D$ dans le repère $\Oij$.
    $\quad$
  2. Montrer que la droite $D’$ passant par le point $B$ de coordonnées $(4; 2)$ et perpendiculaire à la droite $D$ admet pour équation $3x-y-10=0$.
    $\quad$
  3. Soit $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $D$.
    Déterminer, par le calcul, les coordonnées de $H$.
    $\quad$
  4. On considère le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $[AB]$ et on note $\Omega$ son centre.
    a. Déterminer une équation de $\mathcal{C}$ ; préciser son rayon et les coordonnées de $\Omega$.
    $\quad$
    b. Le point H appartient-il à $\mathcal{C}$? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction

  1. On a :
    $\begin{align*} &2+3\times 1-5\\
    =~&2+3-5 \\
    =~&0\end{align*}$
    Ainsi le point $A$ appartient bien à la droite $D$.
    $\quad$
    Le point $E(5,0)$ appartient à la droite $D$.
    En effet $5+0-5=0$
    Figure à la fin de la correction
    $\quad$
  2. Un vecteur normal à la droite $D$ est $\vec{n}(1;3)$.
    La droite $D’$ est perpendiculaire à la droite $D$. Donc $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $D’$.
    Une équation de cette droite est donc de la forme $3x-y+c=0$.
    Le point $B(4;2)$ appartient à cette droite.
    Ainsi $3\times 4-2+c=0 \ssi c=-10$
    Une équation de la droite $D’$ est donc $3x-y-10=0$.
    $\quad$
  3. Le point $H$ est donc le point d’intersection des droites $D$ et $D’$.
    Ses coordonnées sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases}x+3y-5=0 \\3x-y-10=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=5-3y\\3(5-3y)-y-10=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=5-3y \\15-9y-y-10=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=5-3y\\5-10y=0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=5-3y\\10y=5 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=0,5\\x=5-3\times 0,5 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=0,5\\x=3,5 \end{cases} \end{align*}$
    Le point $H$ a pour coordonnées $(3,5;0,5)$.
    $\quad$
  4. a. On appelle $M\left(x_M;y_M\right)$ le milieu du segment $[AB]$.
    Ainsi :
    $\begin{cases} X_M=\dfrac{2+4}{2}\\y_M=\dfrac{1+2}{2}\end{cases} \ssi \begin{cases} x_M=3\\y_m=1,5\end{cases}$
    Le diamètre du cercle $\mathcal{C}$ est :
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\\
    &=\sqrt{(4-2)^2+(2-1)^2} \\
    &=\sqrt{2^2+1^2}\\
    &=\sqrt{5}\end{align*}$
    Ainsi le rayon du cercle est $R=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
    Une équation du cercle $\mathscr{C}$ est alors :
    $(x-3)^2+(y-1,5)^2=\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$ soit $(x-3)^2+(y-1,5)^2=1,25$
    $\quad$
    b. Testons si les coordonnées du point $H$ vérifient l’équation précédente.
    $\begin{align*} &(3,5-3)^2+(0,5-1,5)^2 \\
    =~&0,5^2+(-1)^2 \\
    =~&0,25+1\\
    =~&1,25\end{align*}$
    Le point $H$ appartient donc au cercle $\mathscr{C}$.
    $\quad$

$\quad$

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$\quad$