1ère – E3C2 – Spécimen 4 – Probabilités

Spécimen 4 – Probabilités

E3C2 – 1ère

Exercice

Un magasin commercialise des canapés et des tables de salon.
Quand un client se présente, il achète au plus un canapé et au plus une table de salon. Une étude a montré que :

  • la probabilité pour qu’un client achète un canapé est $0,24$ ;
  • la probabilité pour qu’un client achète une table de salon quand il a acheté un canapé est $0,25$ ;
  • la probabilité pour qu’un client achète une table de salon quand il n’achète pas de canapé est $0,1$.

 

On choisit un client au hasard parmi ceux ayant participé à l’étude. On note :

  • $C$ l’événement « le client achète un canapé » et $\conj{C}$ son événement contraire ;
  • $T$ l’événement « le client achète une table de salon » et 𝑇̅ son événement contraire.
  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client achète un canapé et une table de salon.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité $P(T)$ est égale à $0,136$ .
    $\quad$
  4. Dans ce magasin, le prix moyen d’un canapé est de $1~000$ € et le prix moyen d’une table de salon est de $300$ €. On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la somme payée par le client.
    a. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&0&300&1~000&1~300\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&\phantom{1~234}&\phantom{1~234}&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance de $X$.
    Donner une interprétation de ce nombre dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :


    $\quad$

  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(C\cap T)&=P(C)\times P_C(T)\\
    &=0,24\times 0,24 \\
    &=0,06\end{align*}$
    La probabilité que le client achète un canapé et une table de salon est égale à $0,06$.
    $\quad$
  3. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T)&=P(C\cap T)+P\left(\conj{C}\cap T\right) \\
    &=0,06+0,76\times 0,1\\
    &=0,136\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. On a :
    $\begin{align*} P(X=0)&=P\left(\conj{C}\cap \conj{T}\right) \\
    &=P\left(\conj{C}\right)\times P_{\conj{C}}\left(\conj{T}\right) \\
    &=0,76\times 0,9 \\
    &=0,684\end{align*}$
    $\quad$
    D’après la question 2.
    $\begin{align*}P(X=1~300)&=P(C\cap T) \\
    &=0,06\end{align*}$
    $\quad$
    On a également
    $\begin{align*} P(X=1~000)&=P\left(C\cap \conj{T}\right) \\
    &=0,24\times 0,75 \\
    &=0,18\end{align*}$
    $\quad$
    Ainsi :
    $\begin{align*} P(X=300)&=\small{1-\left(P(X=0)+P(X=1~000)+P(X=1~300)\right)}\\
    &=1-\left(0,684+0,18+0,06\right) \\
    &=0,076\end{align*}$
    $\quad$
    On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&0&300&1~000&1~300\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,684&0,076&0,18&0,06\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=0\times P(X=0)+300\times P(X=300)\\
    &\phantom{=}+1~000\times P(X=1~000)+1~300\times P(X=1~300) \\
    &=300\times 0,076+1~000\times 0,18+1~300\times 0,06 \\
    &=280,8\end{align*}$
    En moyenne un client dépense donc $280,8$ € dans ce magasin.
    $\quad$

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$\quad$