Arbres de probabilité

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1

On rappelle que le triathlon est une discipline qui comporte trois sports : la natation, le cyclisme et la course à pied.
Fabien s’entraîne tous les jours pour un triathlon et organise son entraînement de la façon suivante :

chaque entraînement est composé d’un ou deux sports et commence toujours par une séance de course à pied ou de vélo ;
lorsqu’il commence par une séance de course à pied, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de $0,4$ ;
lorsqu’il commence par une séance de vélo, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de $0,8$.

Un jour d’entraînement, la probabilité que Fabien pratique une séance de vélo est de $0,3$.
On note :

$C$ l’événement : « Fabien commence par une séance de course à pied » ;
$V$ l’événement : « Fabien commence par une séance de vélo » ;
$N$ l’événement : « Fabien enchaîne par une séance de natation ».

Recopier et compléter l’arbre de probabilité suivant représentant la situation :

Correction Exercice 1

On obtient l’arbre de probabilité suivant :

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$\quad$

Exercice 2

On s’intéresse à la clientèle d’un musée.
Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l’acheter aux caisses du musée à son arrivée.
Pour l’instant, la location d’un audioguide pour la visite n’est possible qu’aux caisses du musée. Le directeur s’interroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que :

$70 \%$ des clients achètent leur billet sur internet ;
parmi les clients achetant leur billet sur internet, $35 \%$ choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un audioguide ;
parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, $55 \%$ choisissent une visite avec un audioguide.

On choisit au hasard un client du musée. On considère les événements suivants :

$A$ : « Le client choisit une visite avec un audioguide » ;
$B$ : « Le client achète son billet sur internet avant sa visite ».

Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

Correction Exercice 2

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Une grande enseigne décide d’organiser un jeu permettant de gagner un bon d’achat. Le jeu se déroule en deux étapes :

Étape 1 : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de $1$ à $50$, chaque numéro ayant la même probabilité d’être découvert;
Étape 2 :
– s’il découvre un numéro compris entre $1$ et $15$, il fait tourner une roue divisée en $10$ secteurs de même taille dont $8$ secteurs contiennent une étoile;
– sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en $10$ secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.

Un bon d’achat est gagné par le client si la roue s’arrête sur une étoile.

Partie A

Un client joue à ce jeu. On note :
$N$ l’évènement « Le client découvre un numéro entre $1$ et $15$ »;
$E$ l’évènement « Le client obtient une étoile ».

a. Justifier que $P(N) = 0,3$ et que $P_N(E) = 0,8$.
$\quad$
b. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre $1$ et $15$ et une étoile.
$\quad$

Correction Exercice 3

a. “Chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de $1$ à $50$, chaque numéro ayant la même probabilité d’être découvert”.
On a donc $P(N)=\dfrac{15}{50}=0,3$.
$\quad$
“S’il découvre un numéro compris entre $1$ et $15$, il fait tourner une roue divisée en $10$ secteurs de même taille dont $8$ secteurs contiennent une étoile”.
Par conséquent $P_N(E)=\dfrac{8}{10}=0,8$.
$\quad$
b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p(N \cap E)&=p(N)\times p_N(E) \\
&=0,3\times 0,8 \\
&=0,24\end{align*}$
La probabilité que le client trouve un numéro entre $1$ et $15$ et une étoile est égale à $0,24$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.
L’étude indique que :

$3 \%$ des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et parmi ceux-ci $2 \%$ ont aussi un défaut sur le condensateur.
$5 \%$ des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.

On choisit au hasard un téléviseur et on considère les évènements suivants :

$D$ : « le téléviseur a un défaut sur la dalle »
$C$ : « le téléviseur a un défaut sur le condensateur ».

Les résultats seront approchés si nécessaire à $10^{-4}$ près.

Exprimer les trois données numériques de l’énoncé sous forme de probabilités.
$\quad$
Recopier l’arbre ci-dessous et compléter uniquement les pointillés par les probabilités associées :
$\quad$
Calculer la probabilité $p(D\cap C)$ de l’événement $D\cap C$.
$\quad$

Correction Exercice 4

On a $p(D)=0,03$, $p_D(C)=0,02$ et $p(C)=0,05$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On a
$\begin{align*} p(D\cap C)&=p(D)\times p_D(C) \\
&=0,03\times 0,02\\
&=0,000~6\end{align*}$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Pour mieux cerner le profil de ses clients, une banque réalise un sondage qui permet d’établir que :

$53\%$ de ses clients ont plus de 50 ans;
$32\%$ de ses clients sont intéressés par des placements dits risqués ;
$25\%$ de ses clients de plus de 50 ans sont intéressés par des placements dits risqués.

On choisit au hasard un client de cette banque et on considère les évènements suivants:

$A$ : « Le client a plus de 50 ans » ;
$R$ : « Le client est intéressé par des placements dits risqués ».

Donner $P(R)$ et $P_A(R)$.
$\quad$
Représenter la situation par un arbre pondéré. Cet arbre pourra être complété par la suite.
$\quad$
Montrer que la probabilité que le client ait plus de $50$ ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
$\quad$
Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de $50$ ans ?
$\quad$

Correction Exercice 5

On a $P(R)=0,32$ et $P_A(R)=0,25$.
$\quad$
On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
D’après l’arbre pondéré on a :
$\begin{align*}P(A\cap R)&=P(A)\times P_A(R) \\
&=0,53\times 0,25\\
&=0,132~5\end{align*}$.
La probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
&=\dfrac{0,132~5}{0,32} \\
&\approx 0,414\end{align*}$
Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de 50 ans est environ égale à $0,414$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Lors d’une course cyclosportive, $70\%$ des participants sont licenciés dans un club, les autres ne sont pas licenciés.
Aucun participant n’abandonne la course.

Parmi les licenciés, $66\%$ font le parcours en moins de 5 heures; les autres en plus de 5 heures.
Parmi les non licenciés, $83\%$ font le parcours en plus de 5 heures; les autres en moins de 5 heures.

On interroge au hasard un cycliste ayant participé à cette course et on note:

$L$ « le cycliste est licencié dans un club » et $\conj{L}$ son évènement contraire,
$M$ l’évènement « le cycliste fait le parcours en moins de 5 heures » et $\conj{M}$ son évènement contraire.

À l’aide des données de l’énoncé préciser les valeurs de $P(L)$, $P_L(M)$ et $P_{\conj{L}}\left (\conj{M}\right )$.
$\quad$
Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant représentant la situation.

$\quad$
Calculer la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de 5 heures.
$\quad$

Correction Exercice 6

D’après l’énoncé on a $P(L)=0,7$, $P_L(M)=0,66$ et $P_{\conj{L}}\left(\conj{M}\right)=0,83$.
$\quad$
On obtient donc l’arbre de probabilité suivant :

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(L\cap M)&=P(L)\times P_L(M) \\
&=0,7\times 0,66\\
&=0,462\end{align*}$
Cela signifie donc que la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de $5$ heures est égale à $46,2\%$.
$\quad$

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$\quad$