1ère – Exercices – Événements Indépendants

Événements indépendants

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1

Dans chacun des cas $A$ et $B$ sont des événements indépendants d’un univers $\Omega$. Déterminer $p(A\cap B)$.

  1. $p(A)=0,4$ et $p(B)=0,6$
    $\quad$
  2. $p(A)=0,5$ et $p(B)=0,7$
    $\quad$
  3. $p(A)=0,8$ et $p(B)=0,2$
    $\quad$
Correction Exercice 1

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants. Donc $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.

  1. $p(A)=0,4$ et $p(B)=0,6$
    Donc :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
    &=0,4\times 0,6\\
    &=0,24\end{align*}$
    $\quad$
  2. $p(A)=0,5$ et $p(B)=0,7$
    Donc :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
    &=0,5\times 0,7\\
    &=0,35\end{align*}$
    $\quad$
  3. $p(A)=0,8$ et $p(B)=0,2$
    Donc :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
    &=0,8\times 0,2\\
    &=0,16\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas dire si les événements $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$ sont indépendants.

  1. $p(A)=0,7$, $p(B)=0,9$ et $p(A\cap B)=0,72$
    $\quad$
  2. $p(A)=\dfrac{1}{2}$, $p(B)=\dfrac{2}{3}$ et $p(A\cap B)=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  3. $p(A)=\dfrac{2}{5}$, $p(B)=0,3$ et $p(A\cap B)=0,15$
    $\quad$
  4. $p(A)=0,3$, $p(B)=0,7$ et $p(A\cap B)=0,21$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $p(A)=0,7$, $p(B)=0,9$ et $p(A\cap B)=0,72$
    On a :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=0,7\times 0,9 \\
    &=0,63 \\
    &\neq p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$
  2. $p(A)=\dfrac{1}{2}$, $p(B)=\dfrac{2}{3}$ et $p(A\cap B)=\dfrac{1}{3}$
    On a :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} \\
    &=\dfrac{1}{3} \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont donc indépendants.
    $\quad$
  3. $p(A)=\dfrac{2}{5}$, $p(B)=0,3$ et $p(A\cap B)=0,15$
    On a :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{2}{5}\times 0,3 \\
    &=0,12 \\
    &\neq p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$
  4. $p(A)=0,3$, $p(B)=0,7$ et $p(A\cap B)=0,21$
    On a :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=0,3\times 0,7 \\
    &=0,21 \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont donc indépendants.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Dans chacun des cas déterminer si les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

  1. On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes.
    $A$ est l’événement « la carte tirée est un roi » et $B$ est l’événement « la carte tirée est un trèfle ».
    $\quad$
  2. On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes.
    $A$ est l’événement « la carte tirée est rouge » et $B$ est l’événement « la carte tirée est un cœur ».
    $\quad$
  3. On lance un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$.
    $A$ est l’événement « le nombre obtenu est pair » et $B$ est l’événement « le nombre obtenu est un multiple de $3$ ».
    $\quad$
  4. On lance un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$.
    $A$ est l’événement « le nombre obtenu est inférieur ou égal à $3$ » et $B$ est l’événement « le nombre obtenu est un multiple de $3$ ».
  5. On lance un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$.
    $A$ est l’événement « le nombre obtenu est pair » et $B$ est l’événement « le nombre obtenu est inférieur ou égal à $3$ ».
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Il y a $4$ rois dans un jeu de $32$ cartes. Donc $p(A)=\dfrac{4}{32}$ soit $p(A)=\dfrac{1}{8}$.
    Un quart des cartes sont des trèfle. Donc $p(B)=\dfrac{1}{4}$.
    Il n’y a qu’un seul roi de trèfle dans le jeu. Par conséquent $p(A\cap B)=\dfrac{1}{32}$.
    Ainsi:
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{8}\times \dfrac{1}{4} \\
    &=\dfrac{1}{32} \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
    $\quad$
  2. La moitié des cartes du jeu sont rouges. Donc $p(A)=0,5$.
    Un quart des cartes sont des cœurs. Donc $p(B)=0,25$.
    Toutes les cartes de cœurs sont rouges. Donc $p(A\cap B)=p(B)=0,25$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=0,5\times 0,25 \\
    &=0,125 \\
    &\neq p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$
  3. $3$ nombres sont pairs. Donc
    $\begin{align*}p(A)&=\dfrac{3}{6}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Seuls $3$ et $6$ sont des multiples de $3$. Donc :
    $\begin{align*} p(B)&=\dfrac{2}{6} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Le seul nombre pair qui soit un multiple de $3$ est $6$. Donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$.
    Ainsi:
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3} \\
    &=\dfrac{1}{6} \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
    $\quad$
  4. Les nombres inférieurs ou égaux à $3$ sont $1$, $2$ et $3$.
    Donc :
    $\begin{align*} p(A)&=\dfrac{3}{6} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Seuls $3$ et $6$ sont des multiples de $3$. Donc :
    $\begin{align*} p(B)&=\dfrac{2}{6} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Le seul nombre inférieur ou égal à $3$ qui soit également un multiple de $3$ est $3$. Donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$.
    Ainsi:
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3} \\
    &=\dfrac{1}{6} \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
    $\quad$
  5. $3$ nombres sont pairs. Donc
    $\begin{align*}p(A)&=\dfrac{3}{6}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Les nombres inférieurs ou égaux à $3$ sont $1$, $2$ et $3$.
    Donc :
    $\begin{align*} p(B)&=\dfrac{3}{6} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Le seul nombre pair inférieur ou égal à $3$ est $2$. Donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$.
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{4} \\
    &\neq p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère deux événements incompatibles $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$ tels que $p(A)=0,8$ et $p(A\cap B)=0,3$.
Déterminer $p(B)$.
$\quad$

Correction Exercice 4

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants donc :
$\begin{align*} &p(A\cap B)=p(A)\times p(B) \\
\ssi ~&0,3=0,8p(B) \\
\ssi ~&p(B)=\dfrac{0,3}{0,8} \\
\ssi ~&p(B)=\dfrac{3}{8} \end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère deux événements incompatibles $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$ tels que $p(A)=0,6$ et $p(A\cup B)=0,7$.
Déterminer $p(B)$.
$\quad$

Correction Exercice 5

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants donc $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.
Or :
$\begin{align*} &p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
\ssi ~& p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A)\times p(B) \\
\ssi ~& 0,7=0,6+p(B)-0,6p(B) \\
\ssi ~& 0,1=0,4p(B) \\
\ssi ~& p(B)=\dfrac{0,1}{0,4}\\
\ssi ~& p(B)=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On considère deux événements $A$ et $B$ d’un univers fini $\Omega$ tels que $p(A)=\dfrac{1}{5}$ et $p(B)=\dfrac{2}{3}$.
Dans chacun des cas calculer $p(A\cup B)$ et $p_A(B)$.

  1. $A$ et $B$ sont indépendants.
    $\quad$
  2. $A$ et $B$ sont incompatibles.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. $A$ et $B$ sont indépendants donc :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
    &=\dfrac{1}{5}\times \dfrac{2}{3} \\
    &=\dfrac{2}{15} \end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} p(A\cup B)&=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
    &=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{15} \\
    &=\dfrac{11}{15}\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ étant indépendants, on a donc :
    $\begin{align*} p_A(B)&=p(B) \\
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $A$ et $B$ sont incompatibles donc $p(A\cap B)=0$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} p(A\cup B)&=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
    &=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{3}-0\\
    &=\dfrac{13}{15}\end{align*}$
    Et :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

On considère deux événements indépendant $A$ et $B$ d’un univers fini $\Omega$ ayant la même probabilité tels que $p(A\cup B)=0,64$.
Calculer $p(A)$.
$\quad$

Correction Exercice 7

On appelle $x$ la probabilité $p(A)$.
$A$ et $B$ sont indépendants donc :
$\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
&=x^2\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} &p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
\ssi ~&0,64=x+x-x^2 \\
\ssi ~&x^2-2x+0,64=0\end{align*}$

Il s’agit d’une équation du second degré.
$\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 0,64  \\
&=1,44\end{align*}$
L’équation possède donc deux solutions réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{2-\sqrt{1,44}}{2}\\
&=0,4\end{align*}$
et
$\begin{align*} x_2&=\dfrac{2+\sqrt{1,44}}{2}\\
&=1,6\end{align*}$
Une probabilité appartient nécessairement à l’intervalle $[0;1]$.
Par conséquent $p(A)=0,4$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$