Fonction exponentielle – Problèmes

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1     D’après Bac ES Amérique du Nord 2019

Dans le repère orthogonal donné ci-dessous, $\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0;30]$.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d’abscisse $0$ passe par le point $B(5 ; 0)$.
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $C$ d’abscisse $11$ est parallèle à l’axe des abscisses.

Dans toute la suite, on note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0;30]$ sur $[0 ; 30]$.

Partie A – Étude d’une fonction

La fonction $f$ est définie sur $[0;30]$ par : $$f(x)=\left(x^2-11\right)\e^{-0,2x}$$

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
$$\begin{array}{|c|l|c|}
\hline
&\hspace{1.5cm}\textbf{Instruction :}&\hspace{0.5cm}\textbf{Résultat :}\\
\hline
1&f(x):=\left(x^2-11\right)*\exp(-0,2*x)&\left(x^2-11\right)\e^{-0,2x}\\
\hline
2&\text{Dérivée}\left(f(x)\right)&\left(-0,2x^2+2x+2,2\right)\e^{-0,2x}\\
\hline
\end{array}$$

1. Pour tout réel $x\in[0 ; 30]$, justifier le résultat de l’instruction obtenu en ligne 2 du logiciel.
   $\quad$
2. Étudier le signe de $f’$ sur $[0 ; 30]$ puis dresser le tableau des variations de $f$ sur $[0 ; 30]$.
   $\quad$

Partie B – Application économique

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ si nécessaire.

La fonction de demande d’un produit est modélisée sur l’intervalle $[5 ; 30]$ par la fonction $f$ étudiée dans la partie A.

Le nombre $f(x)$ représente la quantité demandée, exprimée en centaines de milliers d’objets, lorsque le prix unitaire est égal à $x$ euros.

1. Calculer le nombre d’objets demandés, au millier près, lorsque le prix unitaire est fixé à $15$ euros.
   $\quad$
2. L’élasticité $E(x)$ de la demande par rapport au prix est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de $1\%$ du prix.
   On admet qu’une bonne approximation de $E(x)$ est donnée par :
   $\hspace{3cm} E(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\times x$ lorsque $x\in [5;30]$.
   Calculer E(15) et interpréter le résultat.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     D’après Bac ES Liban 2019

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-4,10]$ par : $$f(x)=1+\left(-4x^2-10x+8\right)\e^{-0,5x}$$

1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
   Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[−4 ; 10]$ : $$f'(x)=\left(2x^2-3x-14\right)\e^{-0,5x}$$
   $\quad$
2. Dresser, en justifiant, le tableau des variations de $f$ sur l’intervalle $[−4 ; 10]$.
   On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau.
   $\quad$
3. a. On considère l’algorithme suivant.
   $$\begin{array}{lcl}
   \textbf{Pseudo code} & \phantom{123}&\textbf{Code Python} \\
   \begin{array}{|l|}
   \hline
   a\leftarrow -4\\
   b\leftarrow -2\\
   \text{Tant que }(b-a)>10^{-1}\\
   \hspace{1cm} m\leftarrow \dfrac{a+b}{2}\\
   \hspace{1cm} p\leftarrow f(a)\times f(m)\\
   \hspace{1cm} \text{Si } p>0 \text{ alors }\\
   \hspace{2cm} a\leftarrow m\\
   \hspace{1cm} \text{Sinon}\\
   \hspace{2cm} b\leftarrow m\\
   \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}
   &&\begin{array}{l}
   \begin{array}{|l|}
   \hline
   a = -4\\
   b = -2\\
   \text{while }(b-a)>10**(-1) :\\
   \hspace{1cm} m = (a+b)/2\\
   \hspace{1cm} p = f(a)* f(m)\\
   \hspace{1cm} \text{if } p>0 : \\
   \hspace{2cm} a = m\\
   \hspace{1cm} \text{else} :\\
   \hspace{2cm} b = m\\
   \hline
   \end{array}\\
   \text{où $f$ désigne une fonction python renvoyant le nombre $f(x)$.}\end{array}
   \end{array}$$
   Recopier et compléter la deuxième ligne du tableau ci-dessous correspondant au deuxième passage dans la boucle.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   &m&\text{signe de }p&a&b&b-a&b-a>10^{-1}\\
   \hline
   \text{Initialisation}&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\bbox[black]{\phantom{\text{Négatif}}}&-4&-2&2&\text{VRAI}\\
   \hline
   \begin{array}{c}\text{Après le 1$\ier$  passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3&\text{Négatif}&-4&-3&1&\text{VRAI}\\
   \hline
   \begin{array}{c}\text{Après le 2$^\text{ième}$ passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   c. À la fin de l’exécution de l’algorithme, les variables $a$ et $b$ contiennent les valeurs $-3,187~5$ et $-3,125$. Interpréter ces résultats dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

$\quad$

$\quad$

Exercice 3     D’après Bac ES Centres étrangers 2019

Partie A
Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$. On a placé les points $A(0 ; 2)$, $B(2 ; 0)$ et $C(-2 ; 0)$.
On dispose des renseignements suivants :

• Le point $B$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
• La droite $(AC)$ est tangente en $A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$.
• La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$ est une droite horizontale.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

1. Indiquer les valeurs de $f(0)$ et de $f(2)$.
   $\quad$
2. Indiquer la valeur de $f'(1)$.
   $\quad$
3. Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.
   $\quad$
4. Indiquer le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 1$ dans l’intervalle $[−10 ; 2]$.
   $\quad$
5. Indiquer les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
   $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on cherche à vérifier par le calcul les résultats lus graphiquement dans la partie A.

On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$ par : $$f(x)=(2-x)\e^x$$

1. Calculer $f(0)$ et $f(2)$.
   $\quad$
2. a. Calculer $f'(x)$ pour tout nombre $x$ appartenant à l’intervalle $[−10 ; 2]$.
   $\quad$
   b. En déduire la valeur de $f'(1)$.
   $\quad$
3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
   $\quad$
4. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     D’après Bac ES Antilles-Guyane juin 2019

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-10 ; 5 ]$, ayant pour expression $f (x) = (x-5)\e^{0,2x} +5$.

1. Montrer que $f'(x)=0, 2x\e^{0,2x}$.
   $\quad$
2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 5 ]$.
   $\quad$
3. Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $-5$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 5     D’après Bac S Antilles-Guyane juin 2019

Partie A

Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{a}{1+\e^{-bx}}$$

La courbe $C_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
La courbe $C_f$ passe par le point $A(0;0,5)$.
La tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ passe par le point $B(10 ; 1)$.

1. Justifier que $a=1$.
   On obtient alors, pour tout réel $x\pg 0$, $$f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-bx}}$$
   $\quad$
2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
   Vérifier que, pour tout réel $x\pg 0$, $$f'(x)=\dfrac{b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2}$$
   $\quad$
3. En utilisant les données de l’énoncé, déterminer $b$.
   $\quad$

Partie B

La proportion d’individus qui possèdent un certain type d’équipement dans une population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $$p(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}}$$
Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1$\ier$ janvier 2000.
Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d’individus équipés après $x$ années.
Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d’individus équipés au 1$\ier$ janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d’individus équipés au milieu de l’année 2003.

1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d’individus équipés au 1$\ier$ janvier 2010 ? On en donnera une valeur arrondie au centième.
   $\quad$
2. Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0 ; +\infty[$.
   $\quad$
3. Vérifier que, pour tout réel $x\pg 0$, $$p(x)=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}$$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 6     D’après Bac S Amérique du Sud 2019

La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l’eau par l’organisme.

Le taux de vasopressine dans le sang est considéré normal s’il est inférieur à $2,5$ $\mu$g/mL.
Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite à une hémorragie.

On utilisera dans la suite la modélisation suivante: $$f(t) = 3t\e^{-t/4} +2 ~~ \text{ avec } t \pg 0$$
où $f(t)$ représente le taux de vasopressine (en $\mu$g/mL) dans le sang en fonction du temps $t$ (en minute) écoulé après le début d’une hémorragie.

1. a. Quel est le taux de vasopressine dans le sang à l’instant $t = 0$ ?
   $\quad$
   b. Justifier que douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n’est pas normal.
   $\quad$
   c. Montrer que, pour tout réel $t$ on a $f(t)=12\times \dfrac{1}{~~\dfrac{\e^{t/4}~~}{\dfrac{t}{4}}}+2$
   $\quad$
2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0; +\infty[$.
   Vérifier que pour tout nombre réel $t$ positif, $$f'(t) = \dfrac{3}{4}(4-t)\e^{-t/4}$$
   $\quad$
3. a. Étudier le sens de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ (en incluant la limite en $+\infty$ ).
   $\quad$
   b. À quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ?
   Quel est alors ce taux? On en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 7     D’après Bac S Nouvelle Calédonie 2020

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $$f(x)=(ax+b)\e^{-\frac{1}{2}x},$$ où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels. On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
Sa courbe représentative $\mathscr{C}_f$ est tracée ci-dessous.

 

Elle coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $1$ et admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.

1. Donner les valeurs de $f (0)$ et $f'(1)$.
   $\quad$
2. Démontrer que, pour tout réel positif $x$, $f'(x)=\left(-\dfrac{1}{2}ax-\dfrac{1}{2}b+a\right)\e^{-\frac{1}{2}x}$.
   $\quad$
3. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
   $\quad$

Partie B

Pour la suite de l’exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur $[0 ; +\infty[$ par : $$f(x)=(x+1)\e^{-\frac{1}{2}x}$$

1. Justifier que, pour tout réel $x$ positif, $f (x) = 2\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}x}{\e^{\frac{1}{2}x}}\right)+\e^{-\frac{1}{2}x}$.
   $\quad$
2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et construire son tableau de variations.
   $\quad$

$\quad$