1ère – Exercices corrigés – Fonction exponentielle – Problèmes

Fonction exponentielle – Problèmes

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1     D’après Bac ES Amérique du Nord 2019

Dans le repère orthogonal donné ci-dessous, $\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0;30]$.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d’abscisse $0$ passe par le point $B(5 ; 0)$.
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $C$ d’abscisse $11$ est parallèle à l’axe des abscisses.

Dans toute la suite, on note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0;30]$ sur $[0 ; 30]$.

Partie A – Étude d’une fonction

La fonction $f$ est définie sur $[0;30]$ par : $$f(x)=\left(x^2-11\right)\e^{-0,2x}$$

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
$$\begin{array}{|c|l|c|}
\hline
&\hspace{1.5cm}\textbf{Instruction :}&\hspace{0.5cm}\textbf{Résultat :}\\
\hline
1&f(x):=\left(x^2-11\right)*\exp(-0,2*x)&\left(x^2-11\right)\e^{-0,2x}\\
\hline
2&\text{Dérivée}\left(f(x)\right)&\left(-0,2x^2+2x+2,2\right)\e^{-0,2x}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Pour tout réel $x\in[0 ; 30]$, justifier le résultat de l’instruction obtenu en ligne 2 du logiciel.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f’$ sur $[0 ; 30]$ puis dresser le tableau des variations de $f$ sur $[0 ; 30]$.
    $\quad$

Partie B – Application économique

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ si nécessaire.

La fonction de demande d’un produit est modélisée sur l’intervalle $[5 ; 30]$ par la fonction $f$ étudiée dans la partie B.

Le nombre $f(x)$ représente la quantité demandée, exprimée en centaines de milliers d’objets, lorsque le prix unitaire est égal à $x$ euros.

  1. Calculer le nombre d’objets demandés, au millier près, lorsque le prix unitaire est fixé à $15$ euros.
    $\quad$
  2. L’élasticité $E(x)$ de la demande par rapport au prix est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de $1\%$ du prix.
    On admet qu’une bonne approximation de $E(x)$ est donnée par :
    $\hspace{3cm} E(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\times x$ lorsque $x\in [5;30]$.
    Calculer E(15) et interpréter le résultat.
    $\quad$
Correction Exercice 1

Partie A – Étude d’une fonction

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;30]$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x$ de cet intervalle on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\e^{-0,2x}+\left(x^2-11\right)\times (-0,2)\e^{-0,2x} \\
    &=\left(2x-0,2x^2+2,2\right)\e^{-0,2x} \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-0,2x^2+2x+2,2$.
    On calcule le discriminant de ce polynôme du second degré :
    $\Delta = 2^2-4\times (-0,2)\times 2,2=5,76>0$
    Les racines du polynômes sont donc :
    $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{5,76}}{-0,4}=11$ et $x_2=\dfrac{-2-\sqrt{5,76}}{-0,4}=-1$.
    Le coefficient principal est $a=-0,2<0$.
    Ainsi le polynôme est positif entre les racines et négatif à l’extérieur.
    par conséquent :
    $f'(x)<0$ sur l’intervalle $[0,11[$
    $f'(11)=0$
    $f(x)<0$ sur l’intervalle $]11;30]$
    $\quad$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    $f(11)=110\e^{-2,2}\approx 12,19$
    $f(30)=889\e^{-6} \approx 2,20$
    $\quad$

Partie B – Application économique

  1. $f(15)=214\times \e^{-3}\approx 10,65$
    Lorsque le prix unitaire est fixé à $15$ euros, environ $1~065~000$ objets sont demandés.
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*}E(15)&=\dfrac{f'(15)}{f(15)}\times 15\\
    &=\dfrac{-12,8\e^{-3}}{214\e^{-3}}\times 15 \\
    &=-\dfrac{192}{214} \\
    &\approx -0,90\end{align*}$
    Lorsque le prix augmente de $1\%$ la demande diminue d’environ $0,9\%$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2     D’après Bac ES Liban 2019

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-4,10]$ par : $$f(x)=1+\left(-4x^2-10x+8\right)\e^{-0,5x}$$

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[−4 ; 10]$ : $$f'(x)=\left(2x^2-3x-14\right)\e^{-0,5x}$$
    $\quad$
  2. Dresser, en justifiant, le tableau des variations de $f$ sur l’intervalle $[−4 ; 10]$.
    On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau.
    $\quad$
  3. a. On considère l’algorithme suivant.
    $$\begin{array}{lcl}
    \textbf{Pseudo code} & \phantom{123}&\textbf{Code Python} \\
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    a\leftarrow -4\\
    b\leftarrow -2\\
    \text{Tant que }(b-a)>10^{-1}\\
    \hspace{1cm} m\leftarrow \dfrac{a+b}{2}\\
    \hspace{1cm} p\leftarrow f(a)\times f(m)\\
    \hspace{1cm} \text{Si } p>0 \text{ alors }\\
    \hspace{2cm} a\leftarrow m\\
    \hspace{1cm} \text{Sinon}\\
    \hspace{2cm} b\leftarrow m\\
    \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}
    &&\begin{array}{l}
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    a = -4\\
    b = -2\\
    \text{while }(b-a)>10**(-1) :\\
    \hspace{1cm} m = (a+b)/2\\
    \hspace{1cm} p = f(a)* f(m)\\
    \hspace{1cm} \text{if } p>0 : \\
    \hspace{2cm} a = m\\
    \hspace{1cm} \text{else} :\\
    \hspace{2cm} b = m\\
    \hline
    \end{array}\\
    \text{où $f$ désigne une fonction python renvoyant le nombre $f(x)$.}\end{array}
    \end{array}$$
    Recopier et compléter la deuxième ligne du tableau ci-dessous correspondant au deuxième passage dans la boucle.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &m&\text{signe de }p&a&b&b-a&b-a>10^{-1}\\
    \hline
    \text{Initialisation}&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\bbox[black]{\phantom{\text{Négatif}}}&-4&-2&2&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 1$\ier$  passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3&\text{Négatif}&-4&-3&1&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 2$^\text{ième}$ passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. À la fin de l’exécution de l’algorithme, les variables $a$ et $b$ contiennent les valeurs $-3,187~5$ et $-3,125$. Interpréter ces résultats dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-4;10]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\in[-4;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\left(-4\times 2x-10\right)\e^{-0,5x}+\left(-4x^2-10x+8\right)\times (-0,5)\e^{-0,5x} \\
    &=\left(-8x-10+2x^2+5x-4\right)\e^{-0,5x} \\
    &=\left(2x^2-3x-14\right)\e^{-0,5x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2-3x-14$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
    $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times (-14)=121>0$
    Les deux racines réelles sont donc :
    $x_1=\dfrac{3-\sqrt{121}}{4}=-2$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt{121}}{4}=3,5$.
    Le coefficient principal est $a=2>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    avec $f(-4)=1-16\e^2$
    $f(-2)=1+12\e$
    $f(3,5)=1-76\e^{-1,75}$
    $f(10)=1-492\e^{-5}$
    $\quad$
  3. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &m&\text{signe de }p&a&b&b-a&b-a>10^{-1}\\
    \hline
    \text{Initialisation}&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\bbox[black]{\phantom{\text{Négatif}}}&-4&-2&2&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 1$\ier$  passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3&\text{Négatif}&-4&-3&1&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 2$^\text{ième}$ passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3,5&\text{Positif}&-3,5&-3&0,5&\text{VRAI}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que la solution de l’équation $f(x)=0$ sur l’intervalle $[-4;-2]$ est comprise entre $-3,187~5$ et $-3,125$.
    Remarque : Il s’agit ici de l’algorithme de dichotomie.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3     D’après Bac ES Centres étrangers 2019

Partie A
Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$. On a placé les points $A(0 ; 2)$, $B(2 ; 0)$ et $C(-2 ; 0)$.
On dispose des renseignements suivants :

  • Le point $B$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
  • La droite $(AC)$ est tangente en $A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$.
  • La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$ est une droite horizontale.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

  1. Indiquer les valeurs de $f(0)$ et de $f(2)$.
    $\quad$
  2. Indiquer la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  3. Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.
    $\quad$
  4. Indiquer le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 1$ dans l’intervalle $[−10 ; 2]$.
    $\quad$
  5. Indiquer les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on cherche à vérifier par le calcul les résultats lus graphiquement dans la partie A.

On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$ par : $$f(x)=(2-x)\e^x$$

  1. Calculer $f(0)$ et $f(2)$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $f'(x)$ pour tout nombre $x$ appartenant à l’intervalle $[−10 ; 2]$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  4. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

Partie A

  1. Graphiquement $f(0)=2$ et $f(2)=0$.
    $\quad$
  2. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$ est horizontale. Donc $f'(1)=0$.
    $\quad$
  3. Graphiquement, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est $1$.
    Une équation de cette tangente est donc $y=x+2$.
    $\quad$
  4. Graphiquement, la courbe $\mathcal{C}_f$ ne coupe $2$ fois la droite d’équation $y=1$.
    L’équation $f(x)=1$ ne possède donc $2$ solutions.
    $\quad$
  5. La fonction semble :
    – croissante sur l’intervalle $[-10;1]$;
    – décroissante sur l’intervalle $[1;2]$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(0)=(2-0)\e^0=2$ et $f(2)=(2-2)\e^2=0$
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-10;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-10;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-1\times \e^x+(2-x)\times \e^x \\
    &=(-1+2-x)\e^x\\
    &=(1-x)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
    b. Ainsi $f'(1)=(1-1)\e^1=0$.
    $\quad$
  3. Une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    Or $f'(0)=\e^0=1$ et $f(0)=2\e^0=2$.
    Une équation de $T$ est donc $y=x+2$.
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
    On obtient donc le tableau des variations suivant :

    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4     D’après Bac ES Antilles-Guyane juin 2019

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-10 ; 5 ]$, ayant pour expression $f (x) = (x-5)\e^{0,2x} +5$.

  1. Montrer que $f'(x)=0, 2x\e^{0,2x}$.
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 5 ]$.
    $\quad$
  3. Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $-5$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^{0,2x}+(x-5)\times 0,2\e^{0,2x} \\
    &=\left(1+0,2(x-5)\right)\e^{0,2x} \\
    &=(1+0,2x-1)\e^{0,2x} \\
    &=0,2x\e^{0,2x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    avec $f(-10)=-15\e^{-2}+5$.
    $\quad$
  3. Le coefficient directeur de la tangente $T$ est $f'(-5)=-\e^{-1}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5     D’après Bac S Antilles-Guyane juin 2019

Partie A

Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{a}{1+\e^{-bx}}$$

La courbe $C_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
La courbe $C_f$ passe par le point $A(0;0,5)$.
La tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ passe par le point $B(10 ; 1)$.

  1. Justifier que $a=1$.
    On obtient alors, pour tout réel $x\pg 0$, $$f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-bx}}$$
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Vérifier que, pour tout réel $x\pg 0$, $$f'(x)=\dfrac{b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2}$$
    $\quad$
  3. En utilisant les données de l’énoncé, déterminer $b$.
    $\quad$

Partie B

La proportion d’individus qui possèdent un certain type d’équipement dans une population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $$p(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}}$$
Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1$\ier$ janvier 2000.
Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d’individus équipés après $x$ années.
Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d’individus équipés au 1$\ier$ janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d’individus équipés au milieu de l’année 2003.

  1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d’individus équipés au 1$\ier$ janvier 2010 ? On en donnera une valeur arrondie au centième.
    $\quad$
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Vérifier que, pour tout réel $x\pg 0$, $$p(x)=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}$$
    $\quad$
Correction Exercice 5

Partie A

  1. Le point $A(0;0,5)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$.
    Donc
    $\begin{align*} f(0)=0,5&\ssi \dfrac{a}{1+1} =0,5 \\
    &\ssi a=1\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\pg 0$ on a $f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-bx}}$
    Donc :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{-b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2 }\\
    &=\dfrac{b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2 }\end{align*}$
    $\quad$
  3. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ passe également par le point $B(10;1)$.
    Son coefficient directeur est donc $a=\dfrac{1-0,5}{10-0}=0,05$.
    On a également $a=f'(0)$.
    Or $f'(0)=\dfrac{b}{(1+1)^2}=\dfrac{b}{4}$
    Par conséquent $\dfrac{b}{4}=0,05\ssi b=0,2$
    $\quad$

Partie B

  1. Au $1\ier$ janvier 2010 on a $x=10$
    Or $p(10)=\dfrac{1}{1+\e^{-2}}\approx 0,88$.
    Ainsi, environ $88\%$ des individus sont équipés au $1\ier$ janvier 2010.
    $\quad$
  2. La fonction $p$ correspond à la fonction $f$ pour $b=0,2$.
    La fonction $p$ est donc dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et $p'(x)=\dfrac{\e^{-0,2x}}{\left(1+\e^{-0,2x}\right)^2}$.
    La fonction carré est positive et la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent, pour tout réel $x\pg 0$ on a $p'(x)>0$ et la fonction $p$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} p(x)&=\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}} \\
    &=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\e^{0,2x}}} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{\e^{0,2x}+1}{\e^{0,2x}}} \\
    &=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6     D’après Bac S Amérique du Sud 2019

La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l’eau par l’organisme.

Le taux de vasopressine dans le sang est considéré normal s’il est inférieur à $2,5$ $\mu$g/mL.
Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite à une hémorragie.

On utilisera dans la suite la modélisation suivante: $$f(t) = 3t\e^{-t/4} +2 ~~ \text{ avec } t \pg 0$$
où $f(t)$ représente le taux de vasopressine (en $\mu$g/mL) dans le sang en fonction du temps $t$ (en minute) écoulé après le début d’une hémorragie.

  1. a. Quel est le taux de vasopressine dans le sang à l’instant $t = 0$ ?
    $\quad$
    b. Justifier que douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n’est pas normal.
    $\quad$
    c. Montrer que, pour tout réel $t$ on a $f(t)=12\times \dfrac{1}{~~\dfrac{\e^{t/4}~~}{\dfrac{t}{4}}}+2$
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0; +\infty[$.
    Vérifier que pour tout nombre réel $t$ positif, $$f'(t) = \dfrac{3}{4}(4-t)\e^{-t/4}$$
    $\quad$
  3. a. Étudier le sens de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ (en incluant la limite en $+\infty$ ).
    $\quad$
    b. À quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ?
    Quel est alors ce taux? On en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. a. $f(0)=3\times 0\e^0+2=2$.
    À l’instant $t=0$ le taux de vasopressine dans le sang est de $2$ µg/mL.
    $\quad$
    b. $12$ s $= 0,2$ min
    $f(0,2)=3\times 0,2\e^{-0,2/4}+2 \approx 2,57 > 2,5$.
    Douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n’est pas normal.
    $\quad$
    c. Pour tout réel $t$ positif ou nul on a :
    $\begin{align*} f(t)&=3t\e^{-t/4}+2 \\
    &=\dfrac{3t}{\e^{t/4}}+2 \\
    &=\dfrac{12\dfrac{t}{4}}{\e^{t/4}}+2 \\
    &=12\times \dfrac{1}{~~\dfrac{\e^{t/4}~~}{\dfrac{t}{4}}}+2\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $t$ positif on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=3\e^{-t/4}+3t\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)\e^{-t/4} \\
    &=\left(3-\dfrac{3t}{4}\right)\e^{-t/4} \\
    &=\dfrac{3}{4}(4-t)\e^{-t/4}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de celui de $4-t$.
    Or $4-t=0 \ssi t=4$ et $4-t>0 \ssi t<4$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :$\quad$
    b. La fonction $f$ atteint son maximum pour $t=4$.
    Le taux de vasopressine dans le sang est donc maximal au bout de $4$ minutes.
    $f(4)=\dfrac{12}{\e}+2 \approx 6,415$.
    Ce taux est alors d’environ $6,415$ µg/mL.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7     D’après Bac S Nouvelle Calédonie 2020

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $$f(x)=(ax+b)\e^{-\frac{1}{2}x},$$ où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels. On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
Sa courbe représentative $\mathscr{C}_f$ est tracée ci-dessous.

 

Elle coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $1$ et admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.

  1. Donner les valeurs de $f (0)$ et $f'(1)$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout réel positif $x$, $f'(x)=\left(-\dfrac{1}{2}ax-\dfrac{1}{2}b+a\right)\e^{-\frac{1}{2}x}$.
    $\quad$
  3. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
    $\quad$

Partie B

Pour la suite de l’exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur $[0 ; +\infty[$ par : $$f(x)=(x+1)\e^{-\frac{1}{2}x}$$

  1. Justifier que, pour tout réel $x$ positif, $f (x) = 2\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}x}{\e^{\frac{1}{2}x}}\right)+\e^{-\frac{1}{2}x}$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et construire son tableau de variations.
    $\quad$
Correction Exercice 7

Partie A

  1. La courbe coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $1$ donc $f(0)=1$.
    La courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$ donc $f'(1)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=a\e^{-\frac{x}{2}}+(ax+b)\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=\left(a-\dfrac{1}{2}ax-\dfrac{1}{2}b\right)\e^{-\frac{x}{2}}\\
    &=\left(-\dfrac{1}{2}ax-\dfrac{1}{2}b+a\right)\e^{-\frac{x}{2}}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $f(0)=(a\times 0+b)\e^{0}=b$ et $f'(1)=\left(\dfrac{1}{2}a\times 1-\dfrac{1}{2}b+a\right)\e^{-\frac{1}{2}}=\left(-\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}a\right)\e^{-\frac{1}{2}}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \begin{cases} b=1\\\left(-\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}a\right)\e^{-\frac{1}{2}}=0\end{cases} &\ssi \begin{cases}b=1\\-\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}a=0 \qquad (*)\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=1\\a=b \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1\\b=1\end{cases}\end{align*}$
    $(*)$ la fonction exponentielle est en effet strictement positive sur $\R$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f(x)&=(x+1)\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=x\times \e^{-\frac{x}{2}}+\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=\dfrac{x}{~\e^{\frac{x}{2}}~}+\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=\dfrac{2\times \dfrac{1}{2}\times x}{~\e^{\frac{x}{2}}~}+\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=2\dfrac{\dfrac{1}{2}x}{~\e^{\frac{x}{2}}~}+\e^{-\frac{x}{2}} \end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ positif on a, d’après la question A.2 :
    $f'(x)=\left(-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-\frac{x}{2}}=\dfrac{1}{2}(-x+1)\e^{-\frac{x}{2}}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(-x+1)$.
    Or $-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    Avec $f(1)=2\e^{-\frac{1}{2}}$.
    $\quad$

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$\quad$