Fonction exponentielle – Propriétés analytiques

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1 Signe d’une expression

Déterminer, en fonction de $x$, le signe des fonction suivantes :

$f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2+4\right)\e^x$.
$\quad$
$g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\dfrac{\e^{-4x}}{-x^4-7}$.
$\quad$
$h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\left(1+\e^{2x}\right)\left(\e^{-3x}+4\right)$.
$\quad$
$i$ définie sur $\R$ par $i(x)=\left(x^2-x-6\right)\e^{x}$.
$\quad$

Correction Exercice 1

$f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2+4\right)\e^x$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $\e^x>0$.
De plus, pour tout réel $x$ on a $x^2+4>0$.
Ainsi $f(x)$ est strictement positif sur $\R$.
$\quad$
$g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\dfrac{\e^{-4x}}{-x^4-7}$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $\e^{-4x}>0$.
De plus, pour tout réel $x$ on a $-x^4-7<0$.
Ainsi $g(x)$ est strictement négatif sur $\R$.
$\quad$
$h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\left(1+\e^{2x}\right)\left(\e^{-3x}+4\right)$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $\e^{2x}>0$ et $\e^{-3x}>0$.
Donc $1+\e^{2x}>0$ et $\e^{-3x}+4>0$.
Ainsi $h(x)$ est strictement positif sur $\R$.
$\quad$
$i$ définie sur $\R$ par $i(x)=\left(x^2-x-6\right)\e^{x}$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $\e^x>0$.
On étudie donc le signe de $x^2-x-6$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré.
$\Delta=(-1)^2-4\times 1\times (-6)=25>0$.
Il possède deux racines réelles :
$\begin{align*}x_1&=\dfrac{1-\sqrt{25}}{2} \\
&=-2\end{align*}$ et $\begin{align*}x_2&=\dfrac{1+\sqrt{25}}{2} \\
&=3\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=1>0$.
Ainsi $x^2-x-6$ est positif sur $]-\infty;-2]\cup[3;+\infty[$ et négatif sur $[-2;3]$.
Par conséquent :
$\bullet~ i(x)>0$ sur $]-\infty;-2[\cup]3;+\infty[$;
$\bullet~ i(x)<0$ sur $]-2;3[$;
$\bullet~ i(x)=0$ si $x\in\left\{-2;3\right\}$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2 Dérivation

Dans chacun des cas, $f$ est une fonction dérivable sur $\R$ et il faut déterminer $f'(x)$.

$f(x)=\e^x+x^2$
$\quad$
$f(x)=3\e^x+4x+5$
$\quad$
$f(x)=3x^2-4\e^x$
$\quad$
$f(x)=x\e^x$
$\quad$
$f(x)=(1+x)\e^x$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{x^2+5}{\e^x}$
$\quad$

Correction Exercice 2

$f(x)=\e^x+x^2$
$f'(x)=\e^x+2x$
$\quad$
$f(x)=3\e^x+4x+5$
$f'(x)=3\e^x+4$
$\quad$
$f(x)=3x^2-4\e^x$
$\begin{align*} f'(x)&=3\times 2x-4\e^x \\
&=6x-4\e^x\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=x\e^x$
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+x\times\e^x \\
&=\e^x+x\e^x \\
&=(1+x)\e^x\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=(1+x)\e^x$
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+(1+x)\times \e^x \\
&=\left[1+(1+x)\right] \e^x \\
&=(2+x)\e^x\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{x^2+5}{\e^x}$
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x\times \e^x-\left(x^2+5\right)\e^x}{\left(\e^x\right)^2} \\
&=\dfrac{\left(2x-x^2-5\right)\e^x}{\e^{2x}} \\
&=\dfrac{-x^2+2x-5}{\e^x}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3 Dérivation $\boldsymbol{\e^{ax+b}}$

Dans chacun des cas $f$ est une fonction dérivable sur $\R$. Déterminer $f'(x)$.

$f(x)=\e^{2x}$
$\quad$
$f(x)=\e^{-4x}$
$\quad$
$f(x)=\e^{3x+4}$
$\quad$
$f(x)=\e^{5x-2}$
$\quad$
$f(x)=\e^{-7x+1}$
$\quad$
$f(x)=\e^{-6x-3}$
$\quad$

Correction Exercice 3

$f(x)=\e^{2x}$
$f'(x)=2\e^{2x}$
$\quad$
$f(x)=\e^{-4x}$
$f'(x)=-4\e^{-4x}$
$\quad$
$f(x)=\e^{3x+4}$
$f'(x)=3\e^{3x+4}$
$\quad$
$f(x)=\e^{5x-2}$
$f'(x)=5\e^{5x-2}$
$\quad$
$f(x)=\e^{-7x+1}$
$f'(x)=-7\e^{-7x+1}$
$\quad$
$f(x)=\e^{-6x-3}$
$f'(x)=-6\e^{-6x-3}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4 Résolution d’équations

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

$\e^x=\e^3$
$\quad$
$\e^x-\e^{-4}=0$
$\quad$
$\e^x=1$
$\quad$
$\e^x-\e=0$
$\quad$
$\e^{2x+4}=\e^2$
$\quad$
$\e^x+5=0$
$\quad$
$\e^{-3x+5}=1$
$\quad$
$\e^x=0$
$\quad$

Correction Exercice 4

$\e^x=\e^3 \ssi x=3$
La solution de l’équation est $3$.
$\quad$
$\e^x-\e^{-4}=0 \ssi \e^x=\e^{-4}\ssi x=-4$
La solution de l’équation est $-4$.
$\quad$
$\e^x=1 \ssi \e^x=\e^0 \ssi x=0$
La solution de l’équation est $0$.
$\quad$
$\e^x-\e=0\ssi \e^x=\e^1 \ssi x=1$
La solution de l’équation est $1$.
$\quad$
$\e^{2x+4}=\e^2 \ssi 2x+4=2 \ssi 2x=-2 \ssi x=-1$
La solution de l’équation est $-1$.
$\quad$
$\e^x+5=0$
La fonction exponentielle est strictement positive donc $e^x+5>0$.
L’équation ne possède donc aucune solution.
$\quad$
$\e^{-3x+5}=1 \ssi \e^{-3x+5}=\e^0 \ssi -3x+5=0$
$\phantom{\e^{-3x+5}=1}\ssi -3x=-5 \ssi x=\dfrac{5}{3}$
La solution de l’équation est $\dfrac{5}{3}$.
$\quad$
$\e^x=0$
La fonction exponentielle est strictement positive donc $e^x>0$.
L’équation ne possède donc aucune solution.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5 Résolution d’inéquations

Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :

$\e^x>\e^4$
$\quad$
$\e^{-2x} > 1$
$\quad$
$\e^{2x}<\e^6$
$\quad$
$\e^{3x+4} \pg \e^{13}$
$\quad$
$\e^{-2x+5} \pp \e^{9}$
$\quad$
$\e^{3x+5} \pg \e^{6x-1}$
$\quad$
$\e^{-3x+1} \pp \e^{-4x-5}$
$\quad$

Correction Exercice 5

$\e^x>\e^4 \ssi x>4$
L’ensemble solution est $]4;+\infty[$.
$\quad$
$\e^{-2x} > 1 \ssi \e^{-2x}>\e^0 \ssi -2x>0 \ssi x<0$
L’ensemble solution est $]-\infty;0[$.
$\quad$
$\e^{2x}<\e^6 \ssi 2x<6 \ssi x<3$
L’ensemble solution est $]-\infty;3[$.
$\quad$
$\e^{3x+4} \pg \e^{13} \ssi 3x+4\pg 13 \ssi 3x\pg 9 \ssi x\pg 3$
L’ensemble solution est $[3;+\infty[$.
$\quad$
$\e^{-2x+5} \pp \e^{9} \ssi -2x+5\pp 9 \ssi -2x\pp 4 \ssi x\pg -2$
L’ensemble solution est $[-2;+\infty[$.
$\quad$
$\e^{3x+5} \pg \e^{6x-1} \ssi 3x+5 \pg 6x-1 \ssi -3x\pg -6 \ssi x \pp 2 $
L’ensemble solution est $]-\infty;2]$.
$\quad$
$\e^{-3x+1} \pp \e^{-4x-5} \ssi -3x+1 \pp -4x-5 \ssi x \pp -6$
L’ensemble solution est $]-\infty;-6]$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 6 Équations un peu plus difficiles

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

$\e^x-5x\e^x=0$
$\quad$
$4x\e^x+3\e^{x+2}=0$
$\quad$
$\e^{2x}-\e^x-\e^{x+1}+\e=0$
$\quad$

Correction Exercice 6

$\e^x-5x\e^x=0 \ssi \e^x(1-5x)=0$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Ainsi :
$\e^x(1-5x)=0 \ssi 1-5x=0 \ssi x=\dfrac{1}{5}$
La solution de l’équation est $\dfrac{1}{5}$.
$\quad$
$4x\e^x+3\e^{x+2}=0 \ssi 4x\e^x+3\e^x\e^2=0 \ssi \e^x\left(4x+3\e^2\right)=0$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Ainsi :
$\e^x\left(4x+3\e^2\right)=0 \ssi 4x+3\e^2=0 \ssi 4x=-3\e^2$
$\phantom{\e^x\left(4x+3\e^2\right)=0}\ssi x=-\dfrac{3}{4}\e^2$
La solution de l’équation est $-\dfrac{3}{4}\e^2$
$\quad$
On a
$\begin{align*} \e^{2x}-\e^x-\e^{x+1}+\e=0 &\ssi \left(\e^x\right)^2-\e^x-\e^x\e^1+\e=0 \\
&\ssi \left(\e^x\right)^2-\e^x\left(1+\e\right)+\e=0\end{align*}$
On pose $X=\e^x$
L’équation devient donc $X^2-(1+\e)X+\e=0$
$\begin{align*}\Delta&=\left(-(1+\e)\right)^2-4\e \\
&=1+2\e+\e^2-4\e \\
&=\e^2-2\e+1\\
&=(\e-1)^2
&>0\end{align*}$
$\e-1\approx 1,72 >0$
L’équation $X^2-(1+\e)X+\e=0$ possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} X_1&=\dfrac{(1+\e)-\sqrt{(\e-1)^2}}{2} \\
&=\dfrac{1+\e-(\e-1)}{2} \\
&=1\end{align*}$ et $\begin{align*} X_2&=\dfrac{(1+\e)+\sqrt{(\e-1)^2}}{2} \\
&=\dfrac{1+\e+(\e-1)}{2} \\
&=\e\end{align*}$
Or $X=\e^x$
On doit donc résoudre les équations $\e^x=1$ et $\e^x=\e$.
Mais $\e^x=1 \ssi x=0$ et $\e^x=\e \ssi x=1$.
Ainsi les solutions de l’équation $\e^{2x}-\e^x-\e^{x+1}+\e=0$ sont $0$ et $1$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 7 Variations

Déterminer les variations des fonctions suivantes dérivables sur $\R$

$f(x)=\e^{x+4}+3x$
$\quad$
$f(x)=-\dfrac{\e^x}{\e^x+1}$
$\quad$
$f(x)=\left(x^2+1\right)\e^{2x}$
$\quad$
$f(x)=x\e^x$
$\quad$

Correction Exercice 7

$f(x)=\e^{x+4}+3x$
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^{x+4}+3 \\
&>0\end{align*}$
Car la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Ainsi la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
$\quad$
$f(x)=-\dfrac{\e^x}{\e^x+1}$
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{\e^x\left(\e^x+1\right)-\e^x\times \e^x}{\left(\e^x+1\right)^2} \\
&=-\dfrac{\e^{2x}+\e^x-\e^{2x}}{\left(\e^x+1\right)^2} \\
&=-\dfrac{\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2} \\
&<0\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc le numérateur et le dénominateur de la fraction sont positifs (et on considère son opposé).
Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
$\quad$
$f(x)=\left(x^2+1\right)\e^{2x}$
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2x\e^{2x}+\left(x^2+1\right)\times 2\e^{2x} \\
&=\left(2x+2x^2+2\right)\e^{2x} \\
&=2\left(x^2+x+1\right)\e^{2x}\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2+x+1$.
$\Delta=1^2-4\times 1\times 1=-3<0$.
Le coefficient principal est $a=1>0$.
Ainsi $x^2+x+1>0$ pour tout réel $x$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
$\quad$
$f(x)=x\e^x$
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x +x\times \e^x \\
&=(1+x)\e^x \end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+1$.
Or $x+1=0 \ssi x=-1$ et $x+1>0 \ssi x>-1$.
Ainsi $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]-\infty;-1[$ et $f'(x)>0$ sur l’intervalle $]-1;+\infty[$.
Par conséquent la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $]-\infty;-1]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[-1;+\infty[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$