1ère – Exercices – Lois binomiales

Lois binomiales – QCM

Exercices corrigés – 1ère

Pour la fête du village de Boisjoli, le maire a invité les enfants des villages voisins.
Les services de la mairie ayant géré les inscriptions dénombrent $400$ enfants à cette fête; ils indiquent aussi que $32\%$ des enfants présents sont des enfants qui habitent le village de Boisjoli.
Lors de cette fête, huit enfants sont choisis au hasard afin de former une équipe qui participera à un défi sportif. On admet que le nombre d’enfants est suffisamment grand pour que cette
situation puisse être assimilée à un tirage au hasard avec remise.
On appelle $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d’enfants de l’équipe habitant le village de Boisjoli.
Les probabilités sont données à $0,001$ près.

  1. La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres :
    a. $n = 400$ et $p = 0,32$
    b. $n = 8$ et $p = 0,32$
    c. $n = 400$ et $p = 8$
    d. $n = 8$ et $p = 0,68$
    $\quad$
    Correction question 1

    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,32$.
    Réponse b
    $\quad$

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    $\quad$
  2. La probabilité que dans l’équipe il y ait au moins un enfant habitant le village de Boisjoli est :
    a. 0,125
    b. 0,875
    c. 0,954
    d. 1
    $\quad$
    Correction question 2

    $P(X>=1) = 1-P(X=0) = 1-0,68^8\approx 0,954$.
    Réponse c
    $\quad$

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    $\quad$
  3. L’espérance mathématique de $X$ est :
    a. $1,740~8$
    b. $2,56$
    c. $87,04$
    d. $128$
    $\quad$
    Correction question 3

    $E(X)=np=2,56$ Réponse c
    $\quad$

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    $\quad$
  4. On lance une pièce de monnaie bien équilibrée $10$ fois de suite. $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de « pile » obtenus.
    La probabilité d’obtenir exactement $5$ « pile » est, arrondie au centième :
    a. $0,13$
    b. $0,19$
    c. $0,25$
    d. $0,5$
    $\quad$
    Correction question 4

    Les $10$ tirages sont aléatoires, indépendants, identiques et ne possède que de issues : “pile” et “face”. De plus la probabilité d’obtenir “pile” est de $0,5$.
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10;0,5)$.
    $P(X = 5) = \displaystyle \binom{10}{5} \times 0,5^5 \times 0,5^5 \approx 0,25$
    Réponse c
    $\quad$

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    $\quad$

    $\quad$

  5. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10 ; 0,6)$.
    La probabilité qui admet pour valeur approchée $0,012$ est :
    a. $p(X = 2)$
    b. $p(X > 2)$
    c. $p(X \pp 2)$
    d. $p(X < 2)$
    $\quad$
    Correction question 5

    Les $10$ tirages sont aléatoires, indépendants, identiques et ne possède que de issues : “pile” et “face”. De plus la probabilité d’obtenir “pile” est de $0,5$.
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10;0,5)$.
    $P(X = 5) = \displaystyle \binom{10}{5} \times 0,5^5 \times 0,5^5 \approx 0,25$
    Réponse c
    $\quad$

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    $\quad$
  6. Pour un archer, la probabilité d’atteindre la cible est de $0,8$. Les tirs sont supposés indépendants.
    Quelle est la probabilité qu’il touche $3$ fois la cible sur une série de $6$ tirs ?
    $\quad$
    Correction question 6

    On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fois où l’archer touche la cible.
    L’expérience est répétée $6$ fois. Les lancers sont indépendants, identiques et aléatoires. A chaque tir il y a deux issues : il touche la cible, avec une probabilité de $0,8$, ou il ne la touche pas.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,8$.
    On veut détermine $P(X=3)=\displaystyle \binom{6}{3}0,8^3\times 0,2^3 = 0,081~92$
    Réponse d
    $\quad$

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    $\quad$
  7. On lance cinq fois de suite un dé équilibré à six faces.
    On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de $6$ qu’on obtient.
    La probabilité $p(X = 1)$ d’obtenir exactement un $6$, arrondie à $10^{-2}$, est :
    a. $0,08$
    b. $0,17$
    c. $0,40$
    d. $0,80$
    $\quad$
    Correction question 7

    L’expérience est répétée $5$ fois. Les lancers sont indépendants, identiques et aléatoires. A chaque lancer il y a deux issues : on obtient $6$, avec une probabilité de $\dfrac{1}{6}$, ou on obtient un autre nombre.
    La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{1}{6}$.
    Donc d’après la calculatrice $p(X=1)\approx 0,40$
    Réponse c
    $\quad$

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    $\quad$
  8. Un pépiniériste cultive des bulbes de fleurs. La probabilité qu’un bulbe germe, c’est-à-dire qu’il donne naissance à une plante qui fleurit, est de $0,85$.
    Il prélève au hasard $20$ bulbes du lot. La production est assez grande pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $20$ bulbes.
    On peut affirmer que :
    a. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,103$
    b. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,067$
    c. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,830$
    d. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,933$
    $\quad$
    Correction question 8

    On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre bulbes qui germent.
    On effectue $20$ tirages indépendants, aléatoires et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $S$ : “le bulbe germe” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=0,85$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,85$.
    À l’aide de la calculatrice on trouve :
    $P(X \pp 15) \approx 0,170$.
    $P(X \pg 15) = 1-P(X\pp 14) \approx 0,933$.
    Réponse d
    $\quad$

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    $\quad$
  9. Pour la recherche d’un emploi, une personne envoie sa candidature à $25$ entreprises.
    La probabilité qu’une entreprise lui réponde est de $0,2$ et on suppose que ces réponses sont indépendantes.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins $5$ réponses ?
    a. $0,20$
    b. $0,62$
    c. $0,38$
    d. $0,58$
    $\quad$
    Correction question 9

    On effectue $25$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage il n’y a que deux issues : l’événement $E$ “l’entreprise lui répond” et $\conj{E}$.
    De plus $p(E)=0,2$.
    La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de réponse suit donc la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,2$.
    Ainsi $p(X\pg 5)=1-p(X \pp 4) \approx 0,58$.
    Réponse d
    $\quad$

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    $\quad$
  10. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n=10$ et $p=0,3$.
    a. $P(X=3)=120\times 0,3^2\times 0,7^8$
    b. $P(X=3)=12\times 0,3^3\times 0,7^7$
    c. $P(X\pg 1)\approx 0,972$
    d. L’espérance de $X$ est $5,15$
    $\quad$
    Correction question 10

    $P(X=3)=\ds\binom{10}{3}0,3^3\times (1-0,3)^{10-3}=120\times 0,3^3\times 0,7^7$
    $P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,7^{10}\approx 0,972 \checkmark$
    $E(X)=np=3$
    Réponse c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$