1ère – Exercices – Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1

$A$ et $B$ désignent deux événements d’un même univers.
Dans chacun des cas suivants calculer $p_A(B)$ et $p_B(A)$.

  1. $p(A)=0,4$, $p(B)=0,3$ et $p(A\cap B)=0,1$
    $\quad$
  2. $p(A)=0,7$, $p(B)=0,5$ et $p(A\cap B)=0,2$
    $\quad$
  3. $p(A)=0,9$, $p(B)=0,4$ et $p(A\cap B)=0,3$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,1}{0,4} \\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    $\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,1}{0,3}\\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,2}{0,7} \\
    &=\dfrac{2}{7}\end{align*}$
    $\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,2}{0,5}\\
    &=\dfrac{2}{5}\end{align*}$
  3. On a :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,3}{0,9} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    $\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,3}{0,4}\\
    &=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

$A$ et $B$ désignent deux événements d’un même univers.
Dans chacun des cas suivants calculer $p(A\cap B)$.

  1. $p(A)=0,5$ et $p_A(B)=0,7$
    $\quad$
  2. $p(B)=0,2$ et $p_B(A)=0,3$
    $\quad$
Correction Exercice 2

Par définition, si $p(A)\neq 0$ alors $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap b)}{p(A)}$.
Donc $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$.

  1. On a :
    $\begin{align*}p(A\cap B)&=p(A)\times p_A(B) \\
    &=0,5\times 0,7 \\
    &=0,35 \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}p(A\cap B)&=p(B)\times p_B(A) \\
    &=0,2\times 0,3 \\
    &=0,06 \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $p(A)=0,4$, $p(B)=0,8$, $p_B(A)=0,3$.
Déterminer $p_A(B)$.
$\quad$

Correction Exercice 3

On a :
$\begin{align*} p(A\cap B)&=p(B)\times p_B(A) \\
&=0,8\times 0,3 \\
&=0,24 \end{align*}$

Par conséquent :
$\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
&=\dfrac{0,24}{0,4} \\
&=0,6\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 4

$A$ et $B$ désignent deux événements d’un même univers tels que $p(A)=0,6$, $p(B)=0,7$ et $p(A\cup B)=0,9$.
Déterminer $p_A(B)$ et $p_B(A)$.
$\quad$

Correction Exercice 4

On a :
$\begin{align*}
& p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cup B) \\
\ssi~ &0,9=0,6+0,7-p(A\cup B) \\
\ssi~ &-0,4=-p(A\cup B) \\
\ssi~ &p(A\cup B)=0,4\end{align*}$

Ainsi :
$\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cup B)}{p(A)} \\
&=\dfrac{0,4}{0,6} \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$

et
$\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cup B)}{p(B)} \\
&=\dfrac{0,4}{0,7} \\
&=\dfrac{4}{7}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Dans une population, les individus sont répartis en $4$ groupes sanguins: A, B, AB et O et à l’intérieur de chaque groupe en Rhésus + ou – selon le tableau suivant en pourcentages:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{groupe}&\textbf{A}&\textbf{B}&\textbf{AB}&\textbf{O}\\
\hline
\textbf{Rhésus +}&38&8&3&36\\
\hline
\textbf{Rhésus -}&7&1&1&6\\
\hline
\end{array}$$

Un individu est choisi au hasard. Calculer la probabilité :

  1. qu’il soit du groupe O sachant qu’il a un rhésus –.
    $\quad$
  2. qu’il ait un rhésus – sachant qu’il est du groupe O.
    $\quad$
Correction Exercice 5

On note $M$ l’événement  « l’individu a un rhésus – » et $O$ l’événement « l’individu a du groupe O ».
Ainsi $p(O)=0,36+0,06=0,42$, $p(M)=0,07+0,01+0,01+0,06=0,15$ et $p(M\cap O)=0,06$.

  1. La probabilité que l’individu soit du groupe O sachant qu’il a un rhésus – est :
    $\begin{align*} p_M(O)&=\dfrac{p(M\cap O)}{p(M)} \\
    &=\dfrac{0,06}{0,15} \\
    &=0,4\end{align*}$
    $\quad$
  2. La probabilité que l’individu ait un rhésus – sachant qu’il est du groupe O est :
    $\begin{align*} p_O(M)&=\dfrac{p(M\cap O)}{p(O)} \\
    &=\dfrac{0,06}{0,42} \\
    &=\dfrac{1}{7}\end{align*}$
    $\quad$

 

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$\quad$

Exercice 6

Au cours d’une épidémie de grippe, on vaccine un tiers de la population. On a constaté qu’un malade sur $10$ est vacciné et que la probabilité qu’une personne choisie au hasard soit grippée est de $0,25$.
Quelle est la probabilité pour un individu vacciné d’être grippé malgré tout.
$\quad$

Correction Exercice 6

On considère les événements :

  • $V$ : « l’individu est vacciné »;
  • $G$ : « l’individu est grippé ».

On a donc $p(V)=\dfrac{1}{3}$, $p_G(V)=\dfrac{1}{10}$ et $p(G)=0,25$.

Par conséquent :
$\begin{align*} p(G\cap V)&=p(G)\times p_G(V) \\
&=0,25\times \dfrac{1}{10} \\
&=0,025\end{align*}$

Ainsi :
$\begin{align*} p_V(G)&=\dfrac{p(G\cap V)}{p(V)} \\
&=\dfrac{0,025}{\dfrac{1}{3}} \\
&=0,075\end{align*}$

la probabilité pour un individu vacciné d’être grippé malgré tout est donc égale à $0,075$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

La bibliothèque d’un lycée comporte $150$ romans policiers et $50$ romans de science-fiction.
On sait que $40\%$ des romans policiers sont français et que $70\%$ des romans de science-fiction sont français.
Jacques choisit au hasard un ouvrage parmi les $200$ livres de la bibliothèque.

  1. Quelle est la probabilité qu’il choisisse un roman policier est ?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité qu’il choisisse un roman français?
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité qu’il choisisse un ouvrage d’un auteur français est $0,475$.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité qu’il choisisse un roman policier sachant que l’auteur est français ?
    $\quad$
Correction Exercice 7

On considère les événements :

  • $R$ : « le livre choisi est un roman policier»;
  • $S$ : « le livre choisi est un roman de science-fiction»;
  • $F$ : « le livre choisi est un roman français».

On a ainsi $p(F)=0,4$, $p_S(F)=0,7$, $p_R(F)=0,4$ et $p_S(F)=0,7$

  1. La probabilité qu’il choisisse un roman policier est :
    $\begin{align*} p(R)&=\dfrac{150}{200} \\
    &=0,75 \end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(R\cap F)&=p(R)\times p_R(F) \\
    &=0,75\times 0,4 \\
    &=0,3
    \end{align*}$
    la probabilité qu’il choisisse un roman français est égale à $0,3$.
    $\quad$
  3. $40\%$ des romans policiers sont français. Cela représente donc $0,4\times 150 = 60$ livres.
    $70\%$ des romans de science-fiction sont français. Cela représente donc $0,7\times 50=35$ livres.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} p(F)&=\dfrac{60+35}{200}\\
    &=0,475\end{align*}$
    La probabilité qu’il choisisse un ouvrage d’un auteur français est $0,475$.
    $\quad$
  4. La probabilité qu’il choisisse un roman policier sachant que l’auteur est français est :
    $\begin{align*} p_F(R)&=\dfrac{p(F\cap R)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,3}{0,475} \\
    &=\dfrac{12}{19}
    \end{align*}$$\quad$

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$\quad$