1. On a :
   $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
   &=\dfrac{0,1}{0,4} \\
   &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
   $\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} \\
   &=\dfrac{0,1}{0,3}\\
   &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
   &=\dfrac{0,2}{0,7} \\
   &=\dfrac{2}{7}\end{align*}$
   $\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} \\
   &=\dfrac{0,2}{0,5}\\
   &=\dfrac{2}{5}\end{align*}$
3. On a :
   $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
   &=\dfrac{0,3}{0,9} \\
   &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
   $\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} \\
   &=\dfrac{0,3}{0,4}\\
   &=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
   $\quad$

Par définition, si $p(A)\neq 0$ alors $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap b)}{p(A)}$.
Donc $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$.

1. On a :
   $\begin{align*}p(A\cap B)&=p(A)\times p_A(B) \\
   &=0,5\times 0,7 \\
   &=0,35 \end{align*}$
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*}p(A\cap B)&=p(B)\times p_B(A) \\
   &=0,2\times 0,3 \\
   &=0,06 \end{align*}$
   $\quad$

On a :
$\begin{align*} p(A\cap B)&=p(B)\times p_B(A) \\
&=0,8\times 0,3 \\
&=0,24 \end{align*}$

Par conséquent :
$\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
&=\dfrac{0,24}{0,4} \\
&=0,6\end{align*}$

$\quad$

On a :
$\begin{align*}
& p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
\ssi~ &0,9=0,6+0,7-p(A\cap B) \\
\ssi~ &-0,4=-p(A\cap B) \\
\ssi~ &p(A\cap B)=0,4\end{align*}$

Ainsi :
$\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
&=\dfrac{0,4}{0,6} \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$

et
$\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} \\
&=\dfrac{0,4}{0,7} \\
&=\dfrac{4}{7}\end{align*}$

$\quad$

On note $M$ l’événement  « l’individu a un rhésus – » et $O$ l’événement « l’individu a du groupe O ».
Ainsi $p(O)=0,36+0,06=0,42$, $p(M)=0,07+0,01+0,01+0,06=0,15$ et $p(M\cap O)=0,06$.

1. La probabilité que l’individu soit du groupe O sachant qu’il a un rhésus – est :
   $\begin{align*} p_M(O)&=\dfrac{p(M\cap O)}{p(M)} \\
   &=\dfrac{0,06}{0,15} \\
   &=0,4\end{align*}$
   $\quad$
2. La probabilité que l’individu ait un rhésus – sachant qu’il est du groupe O est :
   $\begin{align*} p_O(M)&=\dfrac{p(M\cap O)}{p(O)} \\
   &=\dfrac{0,06}{0,42} \\
   &=\dfrac{1}{7}\end{align*}$
   $\quad$

On considère les événements :

• $V$ : « l’individu est vacciné »;
• $G$ : « l’individu est grippé ».

On a donc $p(V)=\dfrac{1}{3}$, $p_G(V)=\dfrac{1}{10}$ et $p(G)=0,25$.

Par conséquent :
$\begin{align*} p(G\cap V)&=p(G)\times p_G(V) \\
&=0,25\times \dfrac{1}{10} \\
&=0,025\end{align*}$

Ainsi :
$\begin{align*} p_V(G)&=\dfrac{p(G\cap V)}{p(V)} \\
&=\dfrac{0,025}{\dfrac{1}{3}} \\
&=0,075\end{align*}$

la probabilité pour un individu vacciné d’être grippé malgré tout est donc égale à $0,075$.
$\quad$

On considère les événements :

• $R$ : « le livre choisi est un roman policier»;
• $S$ : « le livre choisi est un roman de science-fiction»;
• $F$ : « le livre choisi est un roman français».

On a ainsi $p_S(F)=0,7$, et $p_R(F)=0,4$

1. La probabilité qu’il choisisse un roman policier est :
   $\begin{align*} p(R)&=\dfrac{150}{200} \\
   &=0,75 \end{align*}$
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $\begin{align*} p(R\cap F)&=p(R)\times p_R(F) \\
   &=0,75\times 0,4 \\
   &=0,3
   \end{align*}$
   la probabilité qu’il choisisse un roman policier français est égale à $0,3$.
   $\quad$
3. $40\%$ des romans policiers sont français. Cela représente donc $0,4\times 150 = 60$ livres.
   $70\%$ des romans de science-fiction sont français. Cela représente donc $0,7\times 50=35$ livres.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} p(F)&=\dfrac{60+35}{200}\\
   &=0,475\end{align*}$
   La probabilité qu’il choisisse un ouvrage d’un auteur français est $0,475$.
   $\quad$
4. La probabilité qu’il choisisse un roman policier sachant que l’auteur est français est :
   $\begin{align*} p_F(R)&=\dfrac{p(F\cap R)}{p(F)} \\
   &=\dfrac{0,3}{0,475} \\
   &=\dfrac{12}{19}
   \end{align*}$$\quad$