1ère – Exercices – Probabilités et suites

Probabilités et suites

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.

On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant.

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :

  • à l’issue de la première semaine, la probabilité qu’un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9$ ;
  • si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95$ ;
  • si le client n’a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$.
    $\quad$

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l’agriculteur. Pour tout entier naturel n non nul, on note $R_n$ l’événement « le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine ».

  1. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $r_n$ la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la $n$-ième semaine. On a alors $r_n=P\left(R_n\right)$.
    Recopier et compléter l’arbre pondéré (aucune justification n’est attendue) :
    $\quad$
  2. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1}= 0,75 \times r_n + 0,2$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=r_n-0,8$.
    Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
  4. Déterminer, pour tout entier naturel $n$ non nul, l’expression de $r_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  5. Conjecturer la limite de la suite $\left(r_n\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. $R_n$ et $\conj{R_n}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} r_{n+1}&=P\left(R_{n+1}\right) \\
    &=P\left(R_n\cap R_{n+1}\right)+P\left(\conj{R_n}\cap R_{n+1}\right) \\
    &=0,95r_n+0,2\left(1-r_n\right) \\
    &=0,95r_n+0,2-0,2r_n \\
    &=0,75r_n+0,2\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=r_n-0,8 \ssi r_n=v_n+0,8$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=r_{n+1}-0,8 \\
    &=0,75r_n+0,2-0,8 \\
    &=0,75\left(v_n+0,8\right)-0,6 \\
    &=0,75v_n+0,6-0,6\\
    &=0,75v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_1=r_1-0,8=0,1$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $v_n=0,1\times 0,75^{n-1}$.
    Or $r_n=v_n+0,8$ donc $r_n=0,8+0,1\times 0,75^{n-1}$.
    $\quad$
  5. Il semblerait que $0,75^{n-1}$ tende vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
    Par conséquent, il semblerait que $r_n$ tende vers $0,8$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
    Cela signifie que, sur le long terme, la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier est $0,8$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B.

On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

  • si le joueur achève une partie de type A, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type A avec une probabilité de $0,8$ ;
  • si le joueur achève une partie de type B, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type B avec une probabilité de $0,7$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on note $A_n$ et $B_n$ les évènements :
$A_n$ : « la $n$-ième partie est une partie de type A. »
$B_n$ : « la $n$-ième partie est une partie de type B. »
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on note $a_n$ la probabilité de l’évènement $A_n$.

  1. a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

    $\quad$
    b. Montrer que pour tout entier naturel $n \pg 1$, on a : $$a_{n+1}=0,5a_n+0,3$$

Dans la suite de l’exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue au jeu A lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[0; 1]$. La suite $\left(a_n\right)$ est donc définie par :
$a_1=a$, et pour tout entier naturel $n\pg 1, $a_{n+1}=0,5a_n+0,3$.

  1. Étude d’un cas particulier : Dans cette question, on suppose que $a = 0,5$.
    On suppose que pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a : $0\pg a_n \pg 0,6$.
    Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  2. Étude du cas général : Dans cette question, le réel $a$ appartient à l’intervalle $[0; 1]$.
    On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n>1 1$ par : $u_n=a_n-0,6$.
    a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a : $a_n= (a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, $A_n$ et $B_n$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=P\left(A_{n+1}\right) \\
    &=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(B_n\cap A_{n+1}\right) \\
    &=0,8a_n+0,3\left(1-a_n\right) \\
    &=0,5a_n+0,3\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ :
    $\begin{align*} a_{n+1}-a_n&=0,5a_n+0,3-a_n \\
    &=0,3-0,5a_n \\
    &\pg 0,3-0,5\times 0,6\\
    &\pg 0\end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a $u_n=a_n-0,6 \ssi a_n=u_n+0,6$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,6\\
    &=0,5a_n+0,3-0,6\\
    &=0,5a_n-0,3\\
    &=0,5\left(u_n+0,6\right)-0,3\\
    &=0,5u_n+0,3-0,3\\
    &=0,5u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_0=a_0-0,6=a-0,6$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $u_n=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}$.
    Donc $a_n=u_n+0,6=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Un détaillant en fruits et légumes étudie l’évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir anticiper ses commandes.

Le détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que :

  •  parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, $90 \%$ d’entre eux achètent un melon la semaine suivante ;
  • parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée, $60 \%$ d’entre eux n’achètent pas de melon la semaine suivante.

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine $1$ et, pour $n \pg 1$, on note $A_n$ l’événement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ ».

On a ainsi $P\left(A_1\right)=1$ .

  1. a. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.

    $\quad$
    b. Démontrer que $P\left(A_3\right)= 0,85$ .
    $\quad$
    c. Sachant que le client achète un melon au cours
    de la semaine $3$, quelle est la probabilité qu’il
    en ait acheté un au cours de la semaine $2$ ?
    Arrondir au centième.
    $\quad$
    Dans la suite, on pose pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n=P\left(A_n\right)$. On a ainsi $p_1=1$.
  2. Démontrer que, pour tout entier $n\pg 1$, $p_{n+1}=0,5p_n+0,4$.
    $\quad$
  3. On suppose que, pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n > 0,8$.
    Démontrer que la suite $\left(p_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  4. On pose pour tout entier $n \pg 1$ : $v_n=p_n-0,8$.
    a. Démontrer que $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme $v_1$ et la raison.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que, pour tout $n\pg 1$, $p_n=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
    b. $A_2$ et $\conj{A_2}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(A_3\right)&=P\left(A_2\cap A_3\right)+P\left(\conj{A_2}\cap A_3\right) \\
    &=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
    &=0,81+0,04 \\
    &=0,85
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{A_3}\left(A_2\right) &=\dfrac{P\left(A_2\cap A_3\right)}{P\left(A_3\right)} \\
    &=\dfrac{0,9\times 0,9}{0,85} \\
    &=\dfrac{81}{85} \\
    &\approx 0,95
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On peut représenter la situation par l’arbre de probabilité suivant :

    $A_n$ et $\conj{A_n}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} p_{n+1}&=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(\conj{A_n}\cap A_{n+1}\right) \\
    &=0,9p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
    &=0,5p_n+0,4 \end{align*}$
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} p_{n+1}-p_n&=0,5p_n+0,4-p_n \\
    &=-0,5p_n+0,4 \\
    &=0,5\left(-p_n+0,8\right)
    \end{align*}$
    On sait d’après la question précédente que $p_n> 0,8 \ssi 0,8-p_n<0$.
    Par conséquent $p_{n+1}-p_n<0$.
    La suite $\left(p_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a $v_n=p_n-0,8 \ssi p_n=v_n+0,8$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,8 \\
    &=0,5p_n-0,4 \\
    &=0,5\left(p_n+0,8\right)-0,4 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,4 \\
    &=0,5p_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_1=p_1-0,8=0,2$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier $n\pg 1$ on a $v_n=0,2\times 0,5^{n-1}$.
    Or $p_n=v_n+0,8=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On dispose d’un dé équilibré à 6 faces numérotées de $1$ à $6$ et de $2$ pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient $5$ ou $6$, alors on ne retourne aucune des deux pièces.
Au début du jeu, les $2$ pièces sont du côté face.

Pour tout entier naturel $n$, on note :
$\bullet$ $X_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face”
$\bullet$ $Y_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face”
$\bullet$ $Z_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile”.
De plus on note, $x_n = P\left(X_n\right)$ ; $y_n = P\left(Y_n\right)$ et $z_n = P\left(Z_n\right)$ les probabilités respectives des événements $X_n$, $Y_n$ et $Z_n$.

  1. Donner les probabilités $x_0$ , $y_0$ et $z_0$ respectives qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$ ou $2$ pièces du côté pile.
    $\quad$
  2. Justifier que $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  3. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches, certaines pouvant être nulles :

    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
    $\quad$
  5. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_{n+1} = -\dfrac{1}{3}y_n + \dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  6. On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n = y_n-\dfrac{1}{2}$.
    Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_n = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$.
    $\quad$
  7. Calculer $\lim\limits_{n \to + \infty} y_n$.
    Interpréter le résultat.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $P\left(X_0\right)=1$, $P\left(Y_0\right)=0$ et $P\left(Z_0\right)=0$
    $\quad$
  2. On appelle $D$ la variable indiquant la face du dé obtenue.
    $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right)=P\left(D\in\left\{5;6\right\}\right) = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  3. Si les pièces sont du côté face alors au bout de $n$ lancers alors, au lancer $n+1$, soit les pièces sont du côté face, soit une est du côté pile et l’autre du côté face.
    Par conséquent $P\left(X_n\cap Y_{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    Si, au lancer $n$, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face, alors la seule possibilité de conserver un tel état, au lancer $n+1$, est d’obtenir $5$ ou $6$ avec le dé.
    Donc $P\left(Y_n\cap Y_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$.
    De même $P\left(Y_n\cap X_{n+1}\right) =\dfrac{1}{3}$ et $P\left(Y_n\cap Z_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
    Si, au lancer $n$, les deux pièces sont du côté pile alors, au lancer $n+1$, on ne peut avoir que deux possibilités : les deux pièces sont toujours du côté pile ou alors l’une est du côté pile et l’autre du côté face.
    Pour garder les pièces du côté pile il faut obtenir $5$ ou $6$ avec le dé.
    Donc $P\left(Z_n\cap Z_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$ et $P\left(Z_n\cap Y_{n+1}\right)=\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    ts-metropole-sept-2016-ex3obl-1
  4. Pour tout entier naturel $n$, on a $x_n+y_n+z_n=1$ donc $z_n=1-x_n-y_n$.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$, $X_n$, $Y_n$ et $Z_n$ forment un système complet d’événement fini.
    D’après la formule des probabilité totale on a :
    $\begin{align*} y_{n+1}&=P\left(Y_{n+1}\right) \\
    &=P\left(X_n\cap Y_{n+1}\right)+P\left(Y_n\cap Y_{n+1}\right)+P\left(Z_n\cap Y_{n+1}\right) \\
    &=\dfrac{2}{3}x_n+\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}z_n \\
    &=\dfrac{2}{3}x_n+\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}\left(1-x_n-y_n\right) \\
    &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} b_{n+1}&=y_{n+1}-\dfrac{1}{2} \\
    &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2} \\
    &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{1}{6} \\
    &=-\dfrac{1}{3}\left(y_n-\dfrac{1}{2}\right)\\
    &=-\dfrac{1}{3}b_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $b_0=0-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}$
    Par conséquent $b_n=-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
    Et $y_n=b_n+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

  • Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est $\dfrac{1}{4}$;
  • Si le joueur perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$;
  • La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l’événement “la $n^{\ieme}$ partie est gagnée” et on note $p_n$ la probabilité de cet événement. On a donc $p_1=\dfrac{1}{4}$.

  1. Montrer que $p_2=\dfrac{7}{16}$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    p_n&0,25&0,4375&0,3906&0,4023&0,3994&0,4001&0,3999\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle conjecture peut-on émettre?
    $\quad$
  4. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=p_n-\dfrac{2}{5}$.
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $G_1$ et $\conj{G_1}$ forment un système complet d’événement finis.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p_2&=p\left(G_2\right) \\
    &=p\left(G_1\cap G_2\right)+p\left(\conj{G_1}\cap G_2\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{7}{16}
    \end{align*}$

    $\quad$
  2. $G_n$ et $\conj{G_n}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(G_{n+1}\right) \\
    &=p\left(G_n\cap G_{n+1}\right)+p\left(\conj{G_n}\cap G_{n+1}\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\times p_n+\dfrac{1}{2}\times \left(1-p_n\right) \\
    &=\dfrac{p_n}{4}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{p_n}{2} \\
    &=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Il semblerait que la limite de la suite $\left(p_n\right)$ soit $0,4$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_n=p_n-\dfrac{2}{5}$ soit $p_n=u_n+\dfrac{2}{5}$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-\dfrac{2}{5} \\
    &=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5} \\
    &=-\dfrac{1}{4}\left(u_n+\dfrac{2}{5}\right)+\dfrac{1}{10} \\
    &=-\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10} \\
    &=-\dfrac{1}{4}u_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $u_1=p_1-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{20}$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=-\dfrac{3}{20}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
    Or $p_n=u_n+\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{20}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}+\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
    c. On a $-1<-\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$.
    Donc la suite $\left(p_n\right)$ converge vers $\dfrac{2}{5}=0,4$.
    Sur le long terme, la probabilité qu’un joueur gagne une partie est $0,4$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$