Fonction exponentielle – Propriétés algébriques

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1 $\boldsymbol{\exp(a+b)=\exp(a)\times \exp(b)}$

Simplifier les expressions suivantes en n’utilisant qu’un seul terme en $\exp(\ldots)$

$\exp(3)\times \exp(5)$
$\quad$
$\exp(2)\times \exp(-3)$
$\quad$
$\exp(-5)\times \exp(-8)$
$\quad$
$\exp(4)\times \exp(0,5)$
$\quad$
$\exp(-7)\times \exp(7)$
$\quad$

Correction Exercice 1

$\quad$
$\begin{align*} \exp(3)\times \exp(5)&=\exp(3+5) \\
&=\exp(8)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \exp(2)\times \exp(-3)&=\exp\left((2+(-3)\right) \\
&=\exp(-1)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \exp(-5)\times \exp(-8)&=\exp\left(-5+(-8)\right) \\
&=\exp(-13)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \exp(4)\times \exp(0,5)&=\exp(4+0,5) \\
&=\exp(4,5)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \exp(-7)\times \exp(7)&=\exp(-7+7)\\
&=\exp(0) \\
&=1\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2 $\boldsymbol{\exp(a+b)=\exp(a)\times \exp(b)}$

Simplifier les expressions suivantes en n’utilisant qu’un seul terme en $\exp(\ldots)$

$\exp(2x)\times \exp(5x)$
$\quad$
$\exp(-8x)\times \exp(3x)$
$\quad$
$\exp(-4x)\times \exp(-5x)$
$\quad$
$\exp(4+5x)\times \exp(-2x)$
$\quad$
$\exp(7-4x)\times \exp(3+2x)$
$\quad$
$\exp(3x)\times \exp(-3)$
$\quad$

Correction Exercice 2

$\quad$
$\begin{align*} \exp(2x)\times \exp(5x)&=\exp(2x+5x) \\
&=\exp(7x)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \exp(-8x)\times \exp(3x)&=\exp(-8x+3x) \\
&=\exp(-5x)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \exp(-4x)\times \exp(-5x)&=\exp\left(-4x+(-5x)\right) \\
&=\exp(-9x) \end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\exp(4+5x)\times \exp(-2x)&=\exp\left(4+5x+(-2x)\right) \\
&=\exp(4+3x)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \exp(7-4x)\times \exp(3+2x)&=\exp\left(7-4x+(3+2x)\right) \\
&=\exp(10-2x)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\exp(3x)\times \exp(-3)&=\exp\left(3x+(-3)\right) \\
&=\exp(3x-3)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3 $\boldsymbol{\exp(-a)=\dfrac{1}{\exp(a)}}$

Écrire les expressions suivante sans fraction

$\dfrac{1}{\exp(2)}$
$\quad$
$\dfrac{1}{\exp(5)}$
$\quad$
$\dfrac{1}{\exp(-3)}$
$\quad$
$\dfrac{1}{\exp(-1)}$
$\quad$
$\dfrac{1}{\exp(2x)}$
$\quad$
$\dfrac{1}{\exp(-5x)}$
$\quad$
$\dfrac{1}{\exp(4-3x)}$
$\quad$

Correction Exercice 3

$\dfrac{1}{\exp(2)}=\exp(-2)$
$\quad$
$\dfrac{1}{\exp(5)}=\exp(-5)$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{1}{\exp(-3)}&=\exp\left(-(-3)\right) \\
&=\exp(3)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{1}{\exp(-1)}&=\exp\left(-(-1)\right) \\
&=\exp(1)\end{align*}$
$\quad$
$\dfrac{1}{\exp(2x)}=\exp(-2x)$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{1}{\exp(-5x)}&\exp\left(-(-5x)\right) \\
&=\exp(5x)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{1}{\exp(4-3x)}&=\exp\left(-(4-3x)\right) \\
&=\exp(-4+3x)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 $\boldsymbol{\exp(a-b)=\dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}}$

Simplifier les expressions suivantes en n’utilisant qu’un seul terme en $\exp(\ldots)$

$\dfrac{\exp(5)}{\exp(2)}$
$\quad$
$\dfrac{\exp(-4)}{\exp(3)}$
$\quad$
$\dfrac{\exp(7)}{\exp(-5)}$
$\quad$
$\dfrac{\exp(-2)}{\exp(-6)}$
$\quad$
$\dfrac{\exp(-7)}{\exp(-5)}$
$\quad$

Correction Exercice 4

$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{\exp(5)}{\exp(2)}&=\exp(5-2) \\
&=\exp(3)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \dfrac{\exp(-4)}{\exp(3)}&=\exp(-4-3) \\
&=\exp(-7)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{\exp(7)}{\exp(-5)}&=\exp\left(7-(-5)\right) \\
&=\exp(7+5)\\
&=\exp(12)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{\exp(-2)}{\exp(-6)}&=\exp\left(-2-(-6)\right) \\
&=\exp(-2+6)\\
&=\exp(4)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \dfrac{\exp(-7)}{\exp(-5)}&=\exp\left(-7-(-5)\right) \\
&=\exp(-7+5)\\
&=\exp(-2)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5 $\boldsymbol{\exp(a-b)=\dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}}$

Simplifier les expressions suivantes en n’utilisant qu’un seul terme en $\exp(\ldots)$

$\dfrac{\exp(5x)}{\exp(2x)}$
$\quad$
$\dfrac{\exp(x+3)}{\exp(x)}$
$\quad$
$\dfrac{\exp(4x)}{\exp(3+6x)}$
$\quad$
$\dfrac{\exp(3x+5)}{\exp(x+2)}$
$\quad$
$\dfrac{\exp(5-4x)}{\exp(x+4)}$
$\quad$
$\dfrac{\exp(-7x)}{\exp(-5x)}$
$\quad$

Correction Exercice 5

$\quad$
$\begin{align*} \dfrac{\exp(5x)}{\exp(2x)}&=\exp(5x-2x)\\
&=\exp(3x)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{\exp(x+3)}{\exp(x)}&=\exp(x+3-x)\\
&=\exp(3)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{\exp(4x)}{\exp(3+6x)}&=\exp\left(4x-(3+6x)\right) \\
&=\exp(4x-3-6x)\\
&=\exp(-3-2x)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{\exp(3x+5)}{\exp(x+2)}&=\exp\left(3x+5-(x+2)\right)\\
&=\exp(3x+5-x-2)\\
&=\exp(2x+3)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{\exp(5-4x)}{\exp(x+4)}&=\exp\left(5-4x-(x+4)\right)\\
&=\exp(5-4x-x-4)\\
&=\exp(1-5x)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{\exp(-7x)}{\exp(-5x)}&=\exp\left(-7x-(-5x)\right)\\
&=\exp(-7x+5x)\\
&=\exp(-2x)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6 $\boldsymbol{\left[\exp(a)\right]^n=\exp(na)}$

Simplifier les expressions suivantes en n’utilisant qu’un seul terme en $\exp(\ldots)$

$\left[\exp(5)\right]^3$
$\quad$
$\left[\exp(-4)\right]^2$
$\quad$
$\left[\exp(6)\right]^{-4}$
$\quad$
$\left[\exp(-10)\right]^{-2}$
$\quad$
$\left[\exp(5x)\right]^2$
$\quad$
$\left[\exp(4x-3)\right]^5$
$\quad$
$\left[\exp(8x-2)\right]^{-4}$
$\quad$

Correction Exercice 6

$\quad$
$\begin{align*}\left[\exp(5)\right]^3&=\exp(3\times 5) \\
&=\exp(15)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\left[\exp(-4)\right]^2&=\exp\left(2\times (-4)\right)\\
&=\exp(-8)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\left[\exp(6)\right]^{-4}&=\exp(-4\times 6) \\
&=\exp(-24)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\left[\exp(-10)\right]^{-2}&=\exp\left(-2\times (-10)\right) \\
&=\exp(20)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \left[\exp(5x)\right]^2&=\exp(2\times 5x)\\
&=\exp(10x)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\left[\exp(4x-3)\right]^5&=\exp\left(5(4x-3)\right) \\
&=\exp(20x-15)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\left[\exp(8x-2)\right]^{-4}&=\exp\left(-4(8x-2)\right) \\
&=\exp(-32x+8)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7 Mélange

Simplifier les expressions suivantes :

$\dfrac{\exp(5)\times \exp(-2)}{\exp(4)}$
$\quad$
$\left[\exp(3)\right]^2\times \exp(7)$
$\quad$
$\dfrac{\exp(-2)\times \exp(7)}{\exp(3)\times \exp(-2)}$
$\quad$
$\left(\dfrac{\exp(6)}{\exp(-2)}\right)^3$
$\quad$
$\left(\exp(4x)\right)^3\times \exp(5x)$
$\quad$
$\left(\exp(x)\right)^2\times \exp(-x)$
$\quad$
$\left(\exp(2x)\right)^{-3}\times \left(\exp(3x)\right)^2$
$\quad$
$\dfrac{\exp(5x)\times \exp(2x)}{\exp(7x)\times \exp(3x)}$
$\quad$
$\dfrac{\exp(-2x)\times \exp(4x)}{\exp(5x)\times \exp(-6x)}$
$\quad$
$\dfrac{\exp(x-3)\times \exp(4x)}{\exp(1-3x)}$
$\quad$

Correction Exercice 7

$\quad$
$\begin{align*} \dfrac{\exp(5)\times \exp(-2)}{\exp(4)}&=\dfrac{\exp\left(5+(-2)\right)}{\exp(4)}\\
&=\dfrac{\exp(3)}{\exp(4)} \\
&=\exp\left(3-(4)\right) \\
&=\exp(-1)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\left[\exp(3)\right]^2\times \exp(7)&=\exp(3\times 2)\times \exp(7)\\
&=\exp(6)\times \exp(7)\\
&=\exp(6+7)\\
&=\exp(13)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{\exp(-2)\times \exp(7)}{\exp(3)\times \exp(-2)}&=\dfrac{\exp(-2+7)}{\exp\left(3+(-2)\right)} \\
&=\dfrac{\exp(5)}{\exp(1)} \\
&=\exp(5-1) \\
&=\exp(4)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \left(\dfrac{\exp(6)}{\exp(-2)}\right)^3&=\left(\exp\left(6-(-2)\right)\right)^3 \\
&=\left(\exp(8)\right)^3 \\
&=\exp(3\times 8) \\
&=\exp(24)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\left(\exp(4x)\right)^3\times \exp(5x)&=\exp(3\times 4x)\times \exp(5x) \\
&=\exp(12x)\times \exp(5x)\\
&=\exp(12x+5x)\\
&=\exp(17x)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \left(\exp(x)\right)^2\times \exp(-x)&=\exp(2x)\times \exp(-x) \\
&=\exp\left(2x+(-x)\right) \\
&=\exp(x)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\left(exp(2x)\right)^{-3}\times \left(\exp(3x)\right)^2&=\exp(-3\times 2x)\times \exp(2\times 3x)\\
&=\exp(-6x)\times \exp(6x)\\
&=\exp(-6x+6x)\\
&=\exp(0)\\
&=1\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{\exp(5x)\times \exp(2x)}{\exp(7x)\times \exp(3x)}&=\dfrac{\exp(5x+2x)}{\exp(7x+3x)}\\
&=\dfrac{\exp(7x)}{\exp(10x)}\\
&=\exp(7x-10x)\\
&=\exp(-3x)\end{align*}$
On peut aussi fournir comme réponse $\dfrac{1}{\exp(3x)}$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{\exp(-2x)\times \exp(4x)}{\exp(5x)\times \exp(-6x)}&=\dfrac{\exp(-2x+4x)}{\exp\left(5x+(-6x)\right)} \\
&=\dfrac{\exp(2x)}{\exp(-x)} \\
&=\exp\left(2x-(-x)\right)\\
&=\exp(3x)\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{\exp(x-3)\times \exp(4x)}{\exp(1-3x)}&=\dfrac{\exp(x-3+4x)}{\exp(1-3x)} \\
&=\dfrac{\exp(5x-3)}{\exp(1-3x)} \\
&=\exp\left(5x-3-(1-3x)\right) \\
&=\exp(5x-3-1+3x) \\
&=\exp(8x-4) \end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Démontrer que pour tout réel $x$ on a :

$\dfrac{2\exp(-x)}{1+\exp(-x)}=\dfrac{2}{\exp(x)+1}$
$\quad$
$\dfrac{2}{1+\exp(x)}=2-\dfrac{2}{1+\exp(-x)}$
$\quad$
$\dfrac{\exp(x)-\exp(-x)}{\exp(x)+\exp(-x)}=\dfrac{1-\exp(-2x)}{1+\exp(-2x)}$
$\quad$
$\dfrac{\exp(2x)-1}{\exp(2x)+1}=\dfrac{1-\exp(-2x)}{1+\exp(-2x)}$
$\quad$

Correction Exercice 8

Pour ce type de question, il existe plusieurs façons de procéder : en factorisant ou en multipliant par un terme astucieusement choisi, en comparant les produits en croix ou en utilisant le fait que $\exp(-a)=\dfrac{1}{\exp(a)}$. Chacune de ces méthodes sera utilisée dans cette correction.

$\quad$
$\begin{align*} \dfrac{2\exp(-x)}{1+\exp(-x)}&\dfrac{~\dfrac{2}{\exp(x)}~}{1+\dfrac{1}{\exp(x)}} \\
&=\dfrac{2}{exp(x)\left(1+\dfrac{1}{\exp(x)}\right)} \\
&=\dfrac{2}{\exp(x)+1}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}2-\dfrac{2}{1+\exp(-x)}&=\dfrac{2+2\exp(-x)-2}{1+\exp(-x)} \\
&=\dfrac{2\exp(-x)}{\exp(-x)\times \exp(x)+\exp(-x)\times 1} \\
&=\dfrac{2\exp(-x)}{\exp(-x)\left(\exp(x)+1\right)} \\
&=\dfrac{2}{\exp(x)+1}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \dfrac{\exp(x)-\exp(-x)}{\exp(x)+\exp(-x)}&=\dfrac{\exp(x)-\exp(-x)}{\exp(x)+\exp(-x)} \times \dfrac{\exp(-x)}{\exp(-x)} \\
&=\dfrac{\exp(x)\times \exp(-x)-\exp(-x)\times \exp(-x)}{\exp(x)\times \exp(-x)+\exp(-x)\times \exp(-x)} \\
&=\dfrac{1-\exp(-2x)}{1+\exp(-2x)}\end{align*}$
$\quad$
Comparons les produits en croix :
$\begin{align*}\left(\exp(2x)-1\right)\times \left(1+\exp(-2x)\right)&=\exp(2x)+\exp(-2x)\times \exp(2x)-1-\exp(-2x) \\
&=\exp(2x)+1-1-\exp(-2x)\\
&=\exp(2x)-\exp(-2x)\end{align*}$
et
$\begin{align*} \left(\exp(2x)+1\right)\times \left(1-\exp(-2x)\right) &=\exp(2x)-\exp(2x)\times \exp(-2x)+1-\exp(-2x) \\
&=\exp(2x)-1+1-\exp(-2x)\\
&=\exp(2x)-\exp(-2x)\end{align*}$
Les produits en croix sont égaux.
Par conséquent : $\dfrac{\exp(2x)-1}{\exp(2x)+1}=\dfrac{1-\exp(-2x)}{1+\exp(-2x)}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$