1ère – Exercices – Suites – Problèmes de synthèse

Suites – Problèmes de synthèse

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1

Une commune dispose de $380$ voitures et propose un système de locations de ces voitures selon les modalités suivantes :

  • chaque voiture est louée pour une durée d’un mois ;
  • la location commence le 1$\ier$ jour du mois et se termine le dernier jour du même mois ;
  • le nombre de voitures louées est comptabilisé à la fin de chaque mois.

À la fin du mois de janvier 2019, $280$ voitures ont été louées avec ce système de location.

Le responsable de ce système souhaite étudier l’évolution du nombre de locations de voitures.

Pour cela il modélise le nombre de voitures louées chaque mois par une suite $\left(u_n\right)$, où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de voitures louées le $n$-ième mois après le mois de janvier 2019. Ainsi $u_0=280$.

On admet que cette modélisation conduit à l’égalité : $u_{n+1}=0,9u_n+42$.

  1. Combien de voitures ont-elles été louées avec ce système de location au mois de février 2019 ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n=u_n-420$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. On précisera le premier terme $v_0$ et la raison.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que $u_n=-140\times 0,9^n+420$.
    $\quad$
  3. Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. La commune, qui possède initialement $380$ véhicules, envisage d’acheter des voitures supplémentaires pour répondre à la demande. Le responsable de la commune souhaite prévoir à partir de quelle date le nombre de voitures sera insuffisant.
    On souhaite utiliser l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{lcl}
    \textbf{Pseudo code}&\phantom{123}&\textbf{Code Python}\\
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 280\\
    \text{Tant que }\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\ldots\ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array} & &
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    N = 0\\
    U = 280\\
    \text{while }\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} N = N + 1\\
    \hspace{1cm} U = \ldots\ldots\ldots\\
    \hline
    \end{array}\end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme ou le code python.
    $\quad$
    b. Que contient la variable $N$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    $\quad$
    c. En déduire le mois durant lequel la commune devra augmenter le nombre de voitures.
    $\quad$
  5. Sans calculer tous les termes de la suite nécessaires, déterminer, en arrondissant à l’unité, le nombre de voitures louées sur l’année.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Au mois de février on a $n=1$.
    $u_1=0,9u_0+42=0,9\times 280+42=294$.
    $294$ voitures ont dont été louées avec ce système de location au mois de février 2019.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-420$ soit $u_n=v_n+420$.
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-420\\
    &=0,9u_n+42-420\\
    &=0,9u_n-378\\
    &=0,9\left(v_n+420\right)-378\\
    &=0,9v_n+378-378\\
    &=0,9v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=280-420=-140$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-140\times 0,9^n$.
    Et $u_n=v_n+420=420-140\times 0,9^n$.
    $\quad$
  3. On peut conjecturer que la limite de $0,9^n$ quand $n$ tend vers $\infty$ est $0$ et donc que la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est $420$.
    Sur le long terme, cela signifie donc que $420$ voitures seront louées chaque mois.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{lcl}
    \textbf{Pseudo code}&\phantom{123}&\textbf{Code Python}\\
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 280\\
    \text{Tant que }U\pp 380\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,9\times U+42\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}& &
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    N = 0\\
    U = 280\\
    \text{while } U <=380 :\\
    \hspace{1cm} N = N + 1\\
    \hspace{1cm} U = 0.9 * U + 42\\
    \hline
    \end{array}\end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les différentes valeurs prises par $U$, arrondie au dixième et $N$
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&U\\
    \hline
    0&280\\
    \hline
    1&294\\
    \hline
    2&306,6\\
    \hline
    3&317,9\\
    \hline
    4&328,1\\
    \hline
    5&337,3\\
    \hline
    6&345,6\\
    \hline
    7&353,0\\
    \hline
    8&359,7\\
    \hline
    9&365,8\\
    \hline
    10&371,2\\
    \hline
    11&376,1\\
    \hline
    12&380,5\\
    \hline\end{array}$
    $N$ contient donc la valeur $12$.
    C’est donc en janvier 2020 que la commune devra augmenter le nombre de voitures.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots+u_{11} \\
    &=-140\times 0,9^0+420+-140\times 0,9^1+420+\ldots+-140\times 0,9^{11}+420\\
    &=-140\left(0,9^0+0,9^1+\ldots +0,9^{11}\right)+420\times 12\\
    &=-140\dfrac{1-0,9^{12}}{1-0,9}+5~040 \\
    &=-1~400\left(1-0,9^{12}\right)+5~040\\
    &\approx 4~035 \end{align*}$
    Environ $4~035$ voitures ont été louées en une année.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

La Pyrale du buis est une espèce de lépidoptères de la famille des Crambidæ, originaire d’Extrême-Orient. Introduite accidentellement en Europe dans les années 2000, elle y est rapidement devenue invasive. Une étude décomptant le nombre de chenilles de Pyrale dans un camping d’Ardèche donne les estimations suivantes :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Date}&01/06/18&02/06/18&03/06/18\\
\hline
n&0&1&2\\
\hline
\text{Nombre de chenilles en centaines}&97&181&258\\
\hline
\end{array}$$
L’exercice étudie et compare deux modélisations de l’évolution du nombre de chenilles.

Partie 1 : Modèle 1
Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le $1\ier$ juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q=1,63$. Ainsi $u_0 = 97$.

  1. Calculer $u_ç2$. Arrondir à l’unité.
    $\quad$
  2. Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  4. Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018 ? Arrondir à la centaine.
    $\quad$

Partie 2 : Modèle 2
Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le $1\ier$ juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite $\left(v_n\right)$ telle que :
$\hspace{2cm} v_0=97$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}= 0,91v_n+93$.

  1. On admet que, pour tout entier naturel $n$ : $v_n=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^n+3~100\right)$.
    Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018 ? Arrondir à la centaine.
    $\quad$
  2. En étudiant le signe de $v_{n+1}-v_n$, montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante.
    $\quad$

Partie 3 : Comparaison des différents modèles
La valeur relevée dans le camping le 13 juin 2018 est de $745$ centaines de chenilles.
À partir de ce relevé, quel modèle paraît le plus adapté ?
$\quad$

Correction Exercice 2

Partie 1 : Modèle 1

  1. On a $u_1=q\times u_0=158,11$
    et $u_2=q\times u_1=257,719~3 \approx 258$.
    $\quad$
  2. $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,63$ et de premier terme $u_0=97$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=97\times 1,63^n$.
    $\quad$
  3. On a $u_0=97>0$ et $1,63>1$.
    La suite suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $1,63$ et de premier terme $u_0=97$ est donc croissante.
    $\quad$
  4. Le 12 juin 2018 on a $n=11$.
    Or $u_{11}=97\times 1,63^{11}\approx 20~900$
    Il y aura donc environ $2~093~300$ chenilles le 12 juin 2018.
    $\quad$

Partie 2 : Modèle 2

  1. Le 13 juin 2018 on a $n=12$.
    $v_{12}=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{12}+3~100\right) \approx 731$.
    Selon ce modèle il y aura environ $73~100$ chenilles le 13 juin 2018.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{n+1}+3~100\right)-\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{n}+3~100\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}\times -2~809\times\left( 0,91^{n+1}-0,91^n\right)\\
    &=-\dfrac{2~809}{3}\times 0,91^n\times (0,91-1) \\
    &=-\dfrac{2~809}{3}\times 0,91^n\times (-0,09) \\
    &=84,27\times 0,91^n\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$

Partie 3 : Comparaison des différents modèles

On a $u_{12}=97 \times 1,63^{12} \approx 34~121$ et $v_{12} \approx 731$.
$v_{12}$ est plus proche de $745$ que $u_{12}$
Le modèle 2 paraît donc le plus adapté.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Afin de conserver au fil des années un parc en bon état, un loueur de vélos se sépare chaque hiver de $20 \%$ de son stock et achète ensuite $35$ nouveaux vélos.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de vélos présents dans le stock de ce loueur au $1\ier$ juillet de l’année (2018 $+n$).
Au $1\ier$ juillet 2018, le loueur possède $150$ vélos, ainsi $u_0 = 150$.

  1. a. Déterminer le nombre de vélos dans le stock du loueur au $1\ier$ juillet 2019.
    $\quad$
    b. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=0,8u_n+35$.
    $\quad$
  2. On a calculé les premiers termes de cette suite à l’aide d’un tableur.
    Une copie d’écran est donnée ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}\\
    \hline
    \hspace{1cm}1\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\text{rang }n\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\text{terme }u_n\hspace{1cm}\\
    \hline
    2&0&150\\
    \hline
    3&1&155\\
    \hline
    4&2&159\\
    \hline
    5&3&162,2\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $B3$ pour obtenir, par copie vers le bas, les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
    b) Pour les termes de rang $36$, $37$, $38$, $39$ et $40$, on obtient les résultats suivants (arrondis au millième) :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \hspace{1cm}38\hspace{1cm}&\hspace{1cm}36\hspace{1cm}&\hspace{1cm}174,992\hspace{1cm}\\
    \hline
    39&37&174,994\\
    \hline
    40&38&174,995\\
    \hline
    41&39&174,996\\
    \hline
    42&40&174,997\\
    \hline
    \end{array}$$
    Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Pour cela, on pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n=u_n-175$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=-25\times 0,8^n+175$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. a. On veut calculer $u_1=(1-0,2)\times u_0+35=0,8\times 150+35=155$.
    Au $1\ier$ juillet 2019 il y aura donc $155$ vélos dans le stock.
    $\quad$
    b. On considère un entier naturel $n$.
    Le loueur se sépare de $20\%$ du stock chaque hiver. Il reste donc $0,8u_n$ vélos.
    Il achète ensuite $35$ nouveaux vélos.
    Par conséquent $u_{n+1}=0,8u_n+35$.
    $\quad$
  2. a. On a pu saisir en $B3$ la formule $=0,8*B2+35$.
    $\quad$
    b. D’après les résultats obtenus, il semblerait que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit $175$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-175$ soit $u_n=v_n+175$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-175 \\
    &=0,8u_n+35-175\\
    &=0,8u_n-140 \\
    &=0,8\left(v_n+175\right)-140\\
    &=0,8v_n+140-140\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-175=-25$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-25\times 0,8^n$.
    De plus $u_n=v_n+175=175-25\times 0,8^n$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Sur un site de vente en ligne, Antoine a commandé une machine à café à capsules.

  1. Au 1$\ier$ janvier 2017, on comptait $60~000$ utilisateurs de cette machine à café. On estime que chaque mois, $10 \%$ des propriétaires cessent de l’utiliser mais on compte $24~000$ nouveaux utilisateurs.
    a. Expliquer pourquoi le nombre d’utilisateurs de cette machine à café n mois après le 1$\ier$ janvier 2017, peut être modélisé par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$u_0
    = 60~000 \text{ et } u_{n+1}= 0,9u_n+ 24~000$$
    $\quad$
    b. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_n= u_n−240~000$.
    Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
  2. a. $n$ étant un entier naturel, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n= 240~000−180~000×0,9^n$.
    $\quad$
  3. Au bout de combien de mois le nombre d’utilisateurs de cette machine à café dépassera-t-il pour la première fois $230~000$ ?
    $\quad$
  4. L’entreprise qui fabrique cette machine à café prétend qu’elle touchera un certain mois plus de $250~000$ utilisateurs. Que penser de cette affirmation ?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. a. on considère un entier naturel $n$.
    $10\%$ des propriétaires cessent d’utiliser la machine. Cela signifie donc $90\%$ des propriétaires continuent à l’utiliser, cela représente donc $0,9u_n$.
    Chaque mois il y a $24~000$ nouveaux utilisateurs. Donc $u_{n+1}=0,9u_n+24~000$.
    De plus en 2017, on comptait $60~000$ utilisateurs. Donc $u_0=60~000$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-240~000$ donc $_n=v_n+240~000$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-240~000\\
    &=0,9u_n+24~000-240~000\\
    &=0,9u_n-216~000\\
    &=0,9\left(v_n+240~000\right)-216~000\\
    &=0,9v_n+216~000-216~000\\
    &=0,9v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=u_0-240~000=-180~000$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $^v_n=-180~000\times 0,9^n$.
    $\quad$
    b. Ainsi, $u_n=v_n+240~000=240~000-180~000\times 0,9^n$.
    $\quad$
  3. Montrons que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=240~000-180~000\times 0,9^{n+1}-\left(240~000-180~000\times 0,9^n\right) \\
    &=-180~000\times 0,9^{n+1}+180~000\times 0,9^{n}\\
    &=180~000\times 0,9^n(-0,9+1) \\
    &=18~000\times 0,9^n\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    De plus $u_{27}\approx 229~533<230~000$ et $u_{28}\approx 230~579>230~000$.
    Le nombre d’utilisateurs de cette machine à café dépassera donc pour la première fois $230~000$ au bout de $28$ mois.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a $-180~000\times 0,9^n<0$.
    Par conséquent $u_n<240~000<250~000$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n \pg 0$ par: $\begin{cases}u_{n+1}&=&3-\dfrac{10}{u_n + 4}\\u_0&=&5\end{cases}.$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n \pg 1$.

Partie A :

  1. Déterminer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier nature $n$, $u_{n + 1}-u_n = \dfrac{\left(1-u_n \right)\left(u_n +2\right)}{u_n + 4}$.
    $\quad$
  3. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  4. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$

Partie B :

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n + 2}$.

  1. a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n \pg 1$.
    $\quad$
  2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{2v_n + 1}{1-v_n}$.
    $\quad$
  3. Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie C :

On considère l’algorithme ci-dessous.

$$\begin{array}{lcl}\textbf{Pseudo code}&\phantom{123}&\textbf{Code Python}\\
\begin{array}{|l|}\hline
u \gets 5\\
n \gets 0\\
\text{Tant que }u \pg 1,01\\
\hspace{1cm} n \gets n+1\\
\hspace{1cm} u \gets 3-\dfrac{10}{u+4}\\
\text{Fin du Tant que}\\ \hline
\end{array}&&
\begin{array}{|l|}\hline
u = 5\\
n = 0\\
\text{while }u <=  1.01 :\\
\hspace{1cm} n = n + 1\\
\hspace{1cm} u = 3 – 10 / (u + 4)\\
\\ \hline
\end{array}\end{array}$$

  1. Après exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable $n$ ?
    $\quad$
  2. À l’aide des parties A et B, interpréter cette valeur.
    $\quad$
Correction Exercice 5

Partie A

  1. $u_1=3-\dfrac{10}{5+4}=\dfrac{17}{9}$
    $u_2=3-\dfrac{10}{\dfrac{17}{9}+4}=\dfrac{69}{53}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=3-\dfrac{10}{u_n+4}-u_n \\
    &=\dfrac{3\left(u_n+4\right)}{u_n+4}-\dfrac{10}{u_n+4}-\dfrac{u_n\left(u_n+4\right)}{u_n+4} \\
    &=\dfrac{3u_n+12-10-{u_n}^2-4u_n}{u_n+4} \\
    &=\dfrac{-{u_n}^2-u_n+2}{u_n+4}\end{align*}$
    Or $\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)=u_n+2-{u_n}^2-2u_n=-{u_n}^2-u_n+2$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)}{u_n+4}$.
    $\quad$
  3. D’après l’énoncé on a $u_n\pg 1$
    Donc $1-u_n\pp 0$, $u_n+2 \pg 3>0$ et $u_n+4 \pg 5>0$.
    Ainsi $u_{n+1}-u_n \pp 0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$. Elle est donc convergente.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2} \\
    &=\dfrac{3-\dfrac{10}{u_n+4}-1}{3-\dfrac{10}{u_n+4}+2} \\
    &=\dfrac{2-\dfrac{10}{u_n+4}}{5-\dfrac{10}{u_n+4}} \\
    &=\dfrac{~~\dfrac{2\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}~~}{\dfrac{5\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}} \\
    &=\dfrac{2u_n+8-10}{5u_n+20-10} \\
    &=\dfrac{2u_n-2}{5u_n+10}\\
    &=\dfrac{2\left(u_n-1\right)}{5\left(u_n+2\right)} \\
    &=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{u_n-1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{2}{5}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+2}=\dfrac{4}{7}$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=\dfrac{2}{3}\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.
    On a $-1<\dfrac{2}{5}<1$ et $v_0>0$ : la suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante.
    Pour tout entier naturel $n$, on a ainsi $v_n \pp v_0$ soit $v_n \pp \dfrac{2}{3}<1$.
    Donc $v_n \neq 1$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}&\ssi v_n\left(u_n+2\right)=u_n-1 \\
    &\ssi v_n\times u_n+2v_n=u_n-1 \\
    &\ssi v_n\times u_n-u_n=-1-2v_n \\
    &\ssi u_n\left(v_n-1\right)=-1-2v_n \\
    &\ssi u_n=\dfrac{-1-2v_n}{v_n-1} \quad \text{ car } v_n \neq 1\\
    &\ssi u_n=\dfrac{2v_n+1}{1-v_n}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Il semblerait que la limite de $\left(v_n\right)$ quand $n$ tend vers $\infty$ soit $0$.
    Par conséquent celle de  $\left(u_n\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ semble être $\dfrac{0+1}{1-0}=1$.
    $\quad$

Partie C

  1. Voici les différentes valeurs prises par les variables $u$, arrondie à $10^{-3}$ et $n$.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n& un \\
    \hline
    0& 5\\
    \hline
    1& 1,889\\
    \hline
    2& 1,302\\
    \hline
    3& 1,114\\
    \hline
    4& 1,04\\
    \hline
    5& 1,018\\
    \hline
    6& 1,008\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc, après l’exécution de cet algorithme, la variable $n$ contient la valeur $6$.
    $\quad$
  2. Cela signifie donc qu’à partir du rang $6$ on a $u_n < 1,01$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier.
À chaque fois qu’il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.

Soit $n$ un entier naturel.
On note $a_n$ la probabilité de l’événement : « le lapin est dans la galerie A à l’étape $n$ ».
On note $b_n$ la probabilité de l’événement : « le lapin est dans la galerie B à l’étape $n$ ».
On note $c_n$ la probabilité de l’événement : « le lapin est dans la galerie C à l’étape $n$ ».

À l’étape $n = 0$, le lapin est dans la galerie A.
Une étude antérieure des réactions du lapin face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant : $$\begin{cases} a_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{4}b_n\\
b_{n+1}&=&\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{2}b_n+\dfrac{2}{3}c_n\\
c_{n+1}&=&\dfrac{1}{4}b_n+\dfrac{1}{3}c_n \end{cases}$$

L’objectif de cet exercice est d’estimer dans quelle galerie le lapin a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.

Partie A

À l’aide d’un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant :

  1. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule $C3$ et recopier vers le bas pour remplir la colonne $C$ ?
    $\quad$
  2. Quelle conjecture peut-on émettre ?
    $\quad$

Partie B

  1. On définit la suite $\left(u_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = a_n−c_n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique en précisant sa raison.
    $\quad$
    b. Donner, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = b_n−\dfrac{4}{7}$ pour tout entier naturel $n$.
    a. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $a_n +b_n +c_n = 1$ et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n+1 =−\dfrac{1}{6}v_n$.
    $\quad$
    b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a :
    $a_n= \dfrac{3}{14}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$, $b_n=\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$ et $c_n=\dfrac{3}{14}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$
    $\quad$
Correction Exercice 6

Partie A

  1. On a pu écrire : $=2*B2/3+C2/2+2*D2/3$.
    $\quad$
  2. Il semblerait les suites $\left(a_n\right)$, $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$ convergent vers des limites dont des valeurs approchées sont respectivement $0,214$, $0,571$ et $0,214$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-c_n$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-c_{n+1} \\
    &=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{4}b_n-\left(\dfrac{1}{4}b_n+\dfrac{1}{3}c_n\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}a_n-\dfrac{1}{3}c_n \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(a_n-c_n\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}u_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme  $u_0=a_0-c_0=1$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a alors $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.
    $\quad$
  2. a. Le lapin ne peut aller que dans $3$ galeries.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n+c_n=1$.
    Par conséquent $a_n+c_n=1-b_n$.
    $\quad$
    On a $v_n=b_n-\dfrac{4}{7} \ssi b_n=v_n+\dfrac{4}{7}$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=b_{n+1}-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{2}b_n+\dfrac{2}{3}c_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}\left(a_n+c_n\right)+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}\left(1-b_n\right)+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}b_n+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}b_n \\
    &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}\left(v_n+\dfrac{4}{7}\right) \\
    &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}v_n-\dfrac{2}{21} \\
    &=-\dfrac{1}{6}v_n
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{6}$ et de premier terme $v_0=b_0-\dfrac{4}{7}=-\dfrac{4}{7}$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $b_n=v_n+\dfrac{4}{7}=\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$.
    On a $(S)\ssi\begin{cases} a_n-c_n=u_n\\a_n+c_n+b_n=1 \end{cases}$.
    En ajoutant les deux lignes on a : $2a_n=u_n+1-b_n \ssi a_n=\dfrac{u_n+1-b_n}{2}$.
    Donc $(S) \ssi \begin{cases} a_n=\dfrac{u_n+1-b_n}{2}\\c_n=1-a_n-b_n \end{cases}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} a_n &=\dfrac{u_n+1-b_n}{2} \\
    &=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+1-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n}{2} \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n
    \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} c_n&=1-a_n-b_n \\
    &=1-\left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n+\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n\right) \\
    &=1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-\dfrac{3}{14}-\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \\
    &=\dfrac{3}{14}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$