Lois de probabilité

Exercice 1

Une entreprise conditionne des pièces mécaniques sous forme de sachets. Le service qualité a relevé deux types de défauts sur les $120~000$ sachets produits chaque jour.

$360$ sachets présentent une erreur d’étiquetage. Ce défaut est noté $D_1$.
$600$ sachets ont été déchirés. Ce défaut est noté $D_2$.
$120$ sachets présentent simultanément les deux défauts $D_1$ et $D_2$.

On choisit au hasard un sachet parmi les $120~000$ sachets.
a. Montrer que la probabilité que le sachet choisi présente uniquement le défaut $D_1$ est $0,002$.
$\quad$
b. Montrer que la probabilité que le sachet choisi présente uniquement le défaut $D_2$ est égale à $0,004$.
$\quad$
c. Montrer que la probabilité que le sachet choisi ne présente aucun défaut est égale à $0,993$.
$\quad$
Pour l’entreprise, le coût de revient d’un sachet sans défaut est $2,45$ €, celui d’un sachet ayant seulement le défaut $D_1$ est $4,05$ €, celui d’un sachet ayant seulement le défaut $D_2$ est $6,45$ € et celui d’un sachet ayant les deux défauts est $8,05$ €.
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au coût de revient en euros d’un sachet choisi au hasard.
a. Donner la loi de probabilité de $X$.
$\quad$
b. Calculer l’espérance de $X$ et interpréter le résultat obtenu.
$\quad$

Correction Exercice 1

a. $360-120=240$ sachets présentent uniquement le défaut $D_1$.
Ainsi, la probabilité que le sachet choisi présente uniquement le défaut $D_1$ est $p_1=\dfrac{240}{120~000}=0,002$.
$\quad$
b. $640-120=480$ sachets présentent uniquement le défaut $D_2$.
Ainsi, la probabilité que le sachet choisi présente uniquement le défaut $D_2$ est $p_2=\dfrac{480}{120~000}=0,004$.
$\quad$
c. La probabilité que le sachet choisi présente les deux défauts est $p\left(D_1\cup D_2\right)=\dfrac{120}{120~000}=0,001$.
La probabilité que le sachet choisi présente au moins un défaut est :
$\begin{align*} p\left(D_1\cup D_2\right)&=p\left(D_1\right)+p\left(D_2\right)-p\left(D_1\cup D_2\right) \\
&=\dfrac{360}{120~000}+\dfrac{600}{120~000}-0,001 \\
&=0,007
\end{align*}$
Par conséquent, la probabilité que le sachet choisi ne présente aucun défaut est égale à $1-0,007=0,993$.
a. On obtient la loi de probabilité suivante :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&4,05&6,45&8,05&2,45\\
\hline
p\left(X=x_i\right)&0,002&0,004&0,001&0,993\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. L’espérance de $X$ est donc :
$\begin{align*} E(X)&=4,05\times 0,002+6,45\times 0,004+8,05\times 0,001+2,45\times 0,993 \\
&=2,474~8\end{align*}$
Cela signifie, qu’en moyenne, le coût de revient d’un sachet est de $2,474~8$ €.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Une entreprise fabrique des hand spinners.
Dans la production totale, $40\%$ sont bicolores et $60\%$ sont unicolores. Ces objets sont conditionnés par paquets de $8$ avant d’être envoyés chez les revendeurs. On suppose que les paquets sont remplis aléatoirement et que l’on peut assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d’objets bicolores parmi les $8$ objets d’un paquet.

Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Combien valent les paramètres $n$ et $p$ de cette loi?
$\quad$
Montrer que $p(X=5) \approx 0,123~9$.
$\quad$
Compléter le tableau suivant. Il est inutile de donner le détail de vos calculs. On arrondira les résultats $10^{-4}$ près.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
n_i&0,016~8&0,089~6&&&&0,123~9&&&\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux objets bicolores?
$\quad$
Calculer l’espérance de $X$. Interpréter le résultat obtenu.
$\quad$

Correction Exercice 2

On répète $8$ fois une expérience aléatoire. Les événements sont identiques, indépendants. Chaque événement ne possède que deux issues : $S$ “l’objet est bicolore” et $\conj{S}$.
De plus $p(S)=0,4$
La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,4$.
$\quad$
$p(X=5)=\ds \binom{8}{5}\times 0,4^5\times 0,6^3 \approx 0,123~9$.
$\quad$
On obtient le tableau suivant :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
n_i&0,016~8&0,089~6&0,209&0,278~7&0,232~2&0,123~9&0,041~3&0,007~9&0,000~7\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
La probabilité d’obtenir au moins deux objets bicolores est :
$p=1-\left(p(X=0)+p(X=1)\right)\approx 0,893~6$
$\quad$
L’espérance de $X$ est $E(X)=np=3,2$.
En moyenne, les paquets vont contenir $3,2$ hand spinners bicolores.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Au cours du weekend, trois personnes sont malades et appellent une fois un médecin. Chacune téléphone aléatoirement à l’un des trois médecins de garde $A$, $B$ et $C$.
On constate que le médecin $B$ est appelé deux fois plus souvent que $A$ et que $C$ est appelé trois plus souvent que $A$.
On note $N$ le nombre de médecins qui ont été contactés au cours du weekend.

Donner la loi de probabilité de $N$.
$\quad$
Déterminer son espérance.
$\quad$

Correction Exercice 3

On a $p(B)=2p(A)$ et $p(C)=3p(A)$.
De plus $p(A)+p(B)+p(C)=1$
Donc $6p(A)=1$ et $p(A)=\dfrac{1}{6}$.
Par conséquent $p(B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
Et $p(C)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
La probabilité qu’un seul médecin ait été contacté est :
$\begin{align*} p_1&=p(AAA)+p(BBB)+p(CCC) \\
&=\left(\dfrac{1}{6}\right)^3+\left(\dfrac{1}{3}\right)^3+\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
$\quad$
La probabilité que trois médecins aient été contactés est :
$\begin{align*} p_3&=p(ABC)+p(ACB)+p(BAC)+p(BCA)+p(CAB)+p(CBA) \\
&=6\times \dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2} \\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
$\quad$
Par conséquent, la probabilité que deux médecins aient été contactés est :
$p_2=1-p_1-p_3=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
$\quad$
La loi de probabilité de $N$ est donc donnée par le tableau suivant :
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
n_i&1&2&3\\
\hline
p\left(N=n_i\right)&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{6} \\
\hline
\end{array}$
$\quad$
L’espérance de $N$ est :
$\begin{align*} E(N)&=1\times \dfrac{1}{6}+2\times \dfrac{2}{3}+3\times \dfrac{1}{6} \\
&=2
\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Un jeu consiste à lancer un dé normal.
Le joueur empoche une somme équivalente au nombre apparu si ce nombre est un multiple de trois et paye le montant indiqué à la banque dans le cas contraire.

Donner la loi de probabilité associée à ce gain (positif ou négatif) pour une partie.
$\quad$
Calculer l’espérance de la loi déterminée à la question précédente.
Le jeu est-il équitable?
$\quad$

Correction Exercice 4

Les multiples de $3$ inférieurs ou égaux à $6$ sont $3$ et $6$.
On appelle $X$ la variable aléatoire associée au gain.
La loi de probabilité de $X$ est donc :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&-1&-2&3&-4&-5&6\\
\hline
p\left(X=x_i\right)&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
L’espérance de $X$ est donc :
$\begin{align*} E(X)&=\dfrac{-1}{6}+\dfrac{-2}{6}+\dfrac{3}{6}+\dfrac{-4}{6}+\dfrac{-5}{6}+\dfrac{6}{6} \\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
Le jeu n’est donc pas équitable.

[collapse]

$\quad$