1ES – Exercices – loi de probabilité

Lois de probabilité

Exercice 1

Une entreprise conditionne des pièces mécaniques sous forme de sachets. Le service qualité a relevé deux types de défauts sur les $120~000$ sachets produits chaque jour.

  • $360$ sachets présentent une erreur d’étiquetage. Ce défaut est noté $D_1$.
  • $600$ sachets ont été déchirés. Ce défaut est noté $D_2$.
  • $120$ sachets présentent simultanément les deux défauts $D_1$ et $D_2$.
  1. On choisit au hasard un sachet parmi les $120~000$ sachets.
    a. Montrer que la probabilité que le sachet choisi présente uniquement le défaut $D_1$ est $0,002$.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que le sachet choisi présente uniquement le défaut $D_2$ est égale à $0,004$.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que le sachet choisi ne présente aucun défaut est égale à $0,993$.
    $\quad$
  2. Pour l’entreprise, le coût de revient d’un sachet sans défaut est $2,45$ €, celui d’un sachet ayant seulement le défaut $D_1$ est $4,05$ €, celui d’un sachet ayant seulement le défaut $D_2$ est $6,45$ € et celui d’un sachet ayant les deux défauts est $8,05$ €.
    On appelle $X$ la variable aléatoire égale au coût de revient en euros d’un sachet choisi au hasard.
    a. Donner la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance de $X$ et interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. a. $360-120=240$ sachets présentent uniquement le défaut $D_1$.
    Ainsi, la probabilité que le sachet choisi présente uniquement le défaut $D_1$ est $p_1=\dfrac{240}{120~000}=0,002$.
    $\quad$
    b. $640-120=480$ sachets présentent uniquement le défaut $D_2$.
    Ainsi, la probabilité que le sachet choisi présente uniquement le défaut $D_2$ est $p_2=\dfrac{480}{120~000}=0,004$.
    $\quad$
    c. La probabilité que le sachet choisi présente les deux défauts est $p\left(D_1\cup D_2\right)=\dfrac{120}{120~000}=0,001$.
    La probabilité que le sachet choisi présente au moins un défaut est :
    $\begin{align*} p\left(D_1\cup D_2\right)&=p\left(D_1\right)+p\left(D_2\right)-p\left(D_1\cup D_2\right) \\
    &=\dfrac{360}{120~000}+\dfrac{600}{120~000}-0,001 \\
    &=0,007
    \end{align*}$
    Par conséquent, la probabilité que le sachet choisi ne présente aucun défaut est égale à $1-0,007=0,993$.
  2. a. On obtient la loi de probabilité suivante :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&4,05&6,45&8,05&2,45\\
    \hline
    p\left(X=x_i\right)&0,002&0,004&0,001&0,997\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. L’espérance de $X$ est donc :
    $\begin{align*} E(X)&=4,05\times 0,002+6,45\times 0,004+8,05\times 0,001+2,45\times 0,993 \\
    &=2,779~45\end{align*}$
    Cela signifie, qu’en moyenne, le coût de revient d’un sachet est de $2,779~45$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Une entreprise fabrique des hand spinners.
Dans la production totale, $40\%$ sont bicolores et $60\%$ sont unicolores. Ces objets sont conditionnés par paquets de $8$ avant d’être envoyés chez les revendeurs. On suppose que les paquets sont remplis aléatoirement et que l’on peut assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d’objets bicolores parmi les $8$ objets d’un paquet.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Combien valent les paramètres $n$ et $p$ de cette loi?
    $\quad$
  2. Montrer que $p(X=5) \approx 0,123~9$.
    $\quad$
  3. Compléter le tableau suivant. Il est inutile de donner le détail de vos calculs. On arrondira les résultats $10^{-4}$ près.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
    \hline
    n_i&0,016~8&0,089~6&&&&0,123~9&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux objets bicolores?
    $\quad$
  5. Calculer l’espérance de $X$. Interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On répète $8$ fois une expérience aléatoire. Les événements sont identiques, indépendants. Chaque événement ne possède que deux issues : $S$ “l’objet est bicolore” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=0,4$
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,4$.
    $\quad$
  2. $p(X=5)=\ds \binom{8}{5}\times 0,4^5\times 0,6^3 \approx 0,123~9$.
    $\quad$
  3. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
    \hline
    n_i&0,016~8&0,089~6&0,209&0,278~7&0,232~2&0,123~9&0,041~3&0,007~9&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. La probabilité d’obtenir au moins deux objets bicolores est :
    $p=1-p(X=0)+p(X=1)\approx 0,893~6$
    $\quad$
  5. L’espérance de $X$ est $E(X)=np=3,2$.
    En moyenne, les paquets vont contenir $3,2$ hand spinners bicolores.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Au cours du weekend, trois personnes sont maladent et appellent une fois un médecin. Chacune téléphone aléatoirement à l’un des trois médecins de garde $A$, $B$ et $C$.
On constate que le médecin $B$ est appelé deux fois plus souvent que $A$ et que $C$ est appelé trois plus souvent que $A$.
On note $N$ le nombre de médecins qui ont été contactés au cours du weekend.

  1. Donner la loi de probabilité de $N$.
    $\quad$
  2. Déterminer son espérance.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On a $p(B)=2p(A)$ et $p(C)=3p(A)$.
    De plus $p(A)+p(B)+p(C)=1$
    Donc $6p(A)=1$ et $p(A)=\dfrac{1}{6}$.
    Par conséquent $p(B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
    Et $p(C)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
    La probabilité qu’un seul médecin ait été contacté est :
    $\begin{align*} p_1&=p(AAA)+p(BBB)+p(CCC) \\
    &=\left(\dfrac{1}{6}\right)^3+\left(\dfrac{1}{3}\right)^3+\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    $\quad$
    La probabilité que trois médecins aient été contactés est :
    $\begin{align*} p_3&=p(ABC)+p(ACB)+p(BAC)+p(BCA)+p(CAB)+p(CBA) \\
    &=6\times \dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    $\quad$
    Par conséquent, la probabilité que deux médecins aient été contactés est :
    $p_2=1-p_1-p_3=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    La loi de probabilité de $N$ est donc donnée par le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    n_i&1&2&3\\
    \hline
    p\left(N=n_i\right)&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{6} \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. L’espérance de $N$ est :
    $\begin{align*} E(N)&=1\times \dfrac{1}{6}+2\times \dfrac{2}{3}+3\times \dfrac{1}{6} \\
    &=2
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Un jeu consiste à lancer un dé normal.
Le joueur empoche une somme équivalente au nombre apparu si ce nombre est un multiple de trois et paye le montant indiqué à la banque dans le cas contraire.

  1. Donner la loi de probabilité associée à ce gain (positif ou négatif) pour une partie.
    $\quad$
  2. Calculer l’espérance de la loi déterminée à la question précédente.
    Le jeu est-il équitable?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Les multiples de $3$ inférieurs ou égaux à $6$ sont $3$ et $6$.
    On appelle $X$ la variable aléatoire associée au gain.
    La loi de probabilité de $X$ est donc :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&-1&-2&3&-4&-5&6\\
    \hline
    p\left(X=x_i\right)&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. L’espérance de $X$ est donc :
    $\begin{align*} E(X)&=\dfrac{-1}{6}+\dfrac{-2}{6}+\dfrac{3}{6}+\dfrac{-4}{6}+\dfrac{-5}{6}+\dfrac{6}{6} \\
    &=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Le jeu n’est donc pas équitable.

[collapse]

$\quad$