Second degré

Exercice 1

Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. parmi ces réponses, une seule est juste. Quelle est-elle?

La forme développée de $f(x)=2(x-3)^2+7$ est :
a. $2x^2-6x+16$
b. $2x^2-12x+16$
c. $2x^2-12x+25$
d. $4x^2-24x+43$
$\quad$
La forme factorisée de $f(x)=4(x+1)^2-9$ est :
a. $(4x+1)(4x+7)$
b. $(2x-1)(2x+5)$
c. $(2x-2)(2x+4)$
d. $4(x-2)(x+4)$
$\quad$
La forme canonique de $f(x)=-2x^2-8x+1$ est :
a. $-2(x+2)^2+9$
b. $-2(x-4)^2-15$
c. $-2(x-2)^2-7$
d. $-2(x+4)^2+33$
$\quad$
Si $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a\neq 0$, si $S\left(x_S;y_S\right)$ est le sommet de la parabole représentant $f$, si $\Delta<0$ et $si $y_S<0$ alors :
a. Pour tout réel $x$ on a $f(x)>0$.
b. Le signe de $f(x)$ dépend de la valeur de $x$.
c. $a>0$
d. $a<0$
$\quad$

Correction Exercice 1

$\quad$
$\begin{align*} f(x)&=2(x-3)^2+7 \\
&=2\left(x^2-6x+9\right)+7 \\
&=2x^2-12x+18+7 \\
&=2x^2-12x+25
\end{align*}$
Réponse c
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} f(x)&=4(x+1)^2-9 \\
&=\left[2(x+1)\right]^2-3^2 \quad \text{identité remarquable }a^2-b^2\\
&=\left[2(x+1)-3\right]\left[2(x+1)+3\right] \\
&=(2x+2-3)(2x+2+3)\\
&=(2x-1)(2x+5)
\end{align*}$
Réponse b
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} f(x)&=-2x^2-8x+1 \\
&=-2\left(x^2+4x-\dfrac{1}{2}\right) \\
&=-2\left[(x+2)^2-4-\dfrac{1}{2}\right] \\
&=-2\left[(x+2)^2-\dfrac{9}{2}\right] \\
&=-2(x+2)^2+9
\end{align*}$
Réponse a
$\quad$
On sait que $\Delta<0$.
Cela signifie donc que pour tout réel $x$, $f(x)$ est du signe de $a$.
Puisque $y_S=f\left(x_S\right)<0$, cela signifie que $f(x)<0$ pour tout réel $x$ et donc que $a<0$
Réponse d
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Calculer les racines et factoriser (si c’est possible) :

$f(x)=2x^2+11x+5$
$\quad$
$g(x)=4x^2-12x+9$
$\quad$

Correction Exercice 2

$f(x)=2x^2+11x+5$
Le discriminant est $\Delta=11^2-4\times 2\times 5 = 121-40=81>0$.
$f(x)$ possède donc deux racines réelles :
$\begin{array}{rlcrl}x_1&=\dfrac{-11-\sqrt{81}}{2\times 2}&\hspace{1cm}&x_2&=\dfrac{-11+\sqrt{81}}{2\times 2}\\
&=\dfrac{-11-9}{4}&&&=\dfrac{-11+9}{4}\\
&=-5&&&=-0,5
\end{array}$
Les racines de $f(x)$ sont donc $-5$ et $-0,5$.
Une expression factorisée est donc $f(x)=2\left(x-(-5)\right)\left(x-(-0,5\right))=2(x+5)(x+0,5)$.
$\quad$
$f(x)=4x^2-12x+9$
Le discriminant est $\Delta=(-12)^2-4\times 4\times 9=144-144=0$
$f(x)$ possède une seule racine :
$\begin{align*} x_0&=\dfrac{12}{2\times 4} \\
&=1,5
\end{align*}$
Une expression factorisée est donc $f(x)=4(x-1,5)^2$
Remarque : On pouvait également procéder ainsi :
$\begin{align*} f(x)&=4x^2-12x+9 \\
&=(2x)^2-2\times 2 \times 3+3^2 \\
&=(2x-3)^2 \\
&=2^2(x-1,5)^2\\
&=4(x-1,5)^2
\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=-3x^2+2x+1$ et $g(x)=6x^2+14x+4$.

Mettre $f$ sous la forme canonique et en déduire son tableau de variation.
$\quad$
Les courbes représentatives de $f$ et de $g$ se coupent-elles?
$\quad$
Étudier les positions relatives des courbes représentatives de $f$ et de $g$.
$\quad$

Correction Exercice 3

$\quad$
$\begin{align*} f(x)&=-3x^2+2x+1 \\
&=-3\left(x^2-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}\right) \\
&=-3\left(x^2-2\times x \times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}^2-\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{3}\right) \\
&=-3\left[\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{4}{9}\right] \\
&=-3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{4}{3}
\end{align*}$
$\quad$
Le coefficient principal est $a=-3<0$. On obtient donc le tableau de variation suivant :

$\quad$
On cherche pour répondre à la question à résoudre l’équation :
$\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi -3x^2+2x+1=6x^2+14x+4 \\
&\ssi 9x^2+12x+3=0 \\
&\ssi 3\left(3x^2+4x+1\right)=0
\end{align*}$
Remarque : La factorisation n’est pas obligatoire mais permet de simplifier les calculs.
$\quad$
On considère l’expression $3x^2+4x+1$ et on calcule le discriminant :
$\delta=4^2-4\times 3\times 1=16-12=4>0$
L’expression possède donc deux racines réelles et les courbes représentatives des fonctions $f $et $g$ ont donc deux points d’intersection.
La question ne demande de préciser ces valeurs mais on en aura besoin à la question suivante.
Les racines sont :
$\begin{array}{rlcrl}x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2\times 3}&\hspace{1cm}&x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2\times 3}\\
&=\dfrac{-4-2}{6}&&&=\dfrac{-4+2}{6}\\
&=-1&&&=-\dfrac{1}{3}
\end{array}$
$f(x)-g(x)=-9x^2-12x-3$ est donc du signe de $a=-3$ à l’extérieur des racines.
Ainsi la courbe représentative de $f$ est en-dessous de celle de $g$ sur les intervalles $]-\infty;-1[$ et $\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$ et au-dessus sur l’intervalle $\left]-1;-\dfrac{1}{3}\right[$.
Les deux courbes se coupent aux points d’abscisses $-1$ et $-\dfrac{1}{3}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :

$-6x^2+5x+4<0$
$\quad$
$3x^2+x+1 \pg 0$
$\quad$
$\dfrac{x+9}{x-1} \pg x-3$
$\quad$

Correction Exercice 4

Déterminons les racines de $-6x^2+5x+4$.
$\Delta=5^2-4\times (-6)\times 4=25+96=121>0$
Ce polynôme du second degré possède donc 2 racines réelles :
$\begin{array}{rlcrl}x_1&=\dfrac{-5-\sqrt{121}}{2\times (-6)}&\hspace{1cm}&x_2&=\dfrac{-5+\sqrt{121}}{2\times (-6)}\\
&=\dfrac{-5-11}{-12}&&&=\dfrac{-5+11}{-12}\\
&=\dfrac{4}{3}&&&=-\dfrac{1}{2}
\end{array}$
Le coefficient principal est $a=-6<0$.
Ainsi les solutions de $-6x^2+5x+4<0$ sont les nombres appartenant à $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]\dfrac{4}{3};+\infty\right[$.
$\quad$
On considère le polynôme $3x^2+x+1$
$\Delta=1^2-4\times 3\times 1=-11<0$
Ce polynôme est donc toujours du signe de $a=3>0$
Ainsi, pour tout réel $x$ on a $3x^2+x+1> 0$ et donc $3x^2+x+1\pg 0$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \dfrac{x+9}{x-1} \pg x-3 &\ssi \dfrac{x+9}{x-1}-x+3\pg 0 \\
&\ssi \dfrac{x+9+(x-1)(-x+3}{x-1} \pg 0 \\
&\ssi \dfrac{x+9-x^2+3x+x-3}{x-1} \pg 0\\
&\ssi \dfrac{-x^2+5x+6}{x-1} \pg 0
\end{align*}$
On considère dans un premier temps le polynôme $-x^2+5x+6$.
$\Delta=5^2-4\times (-1)\times 6=25+24=49>0$
Il possède deux racines réelles.
$\begin{array}{rlcrl}x_1&=\dfrac{-5-\sqrt{49}}{2\times (-1)}&\hspace{1cm}&x_2&=\dfrac{-5+\sqrt{49}}{2\times (-1)}\\
&=\dfrac{-5-7}{-2}&&&=\dfrac{-5+7}{-2}\\
&=6&&&=-1
\end{array}$
Puisque le coefficient principal est $a=-1<0$, ce polynôme est positif sur l’intervalle $]-1;6[$.
$\quad$
De plus $x-1>0 \ssi x>1$ et $x-1=0\ssi x=1$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

Ainsi la solution de l’inéquation est $]-\infty;-1]\cup]-1;6]$.
$\quad$

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