1ES – Exercices – second degré

Second degré

Exercice 1

Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. parmi ces réponses, une seule est juste. Quelle est-elle?

  1. La forme développée de $f(x)=2(x-3)^2+7$ est :
    a. $2x^2-6x+16$
    b. $2x^2-12x+16$
    c. $2x^2-12x+25$
    d. $4x^2-24x+43$
    $\quad$
  2. La forme factorisée de $f(x)=4(x+1)^2-9$ est :
    a. $(4x+1)(4x+7)$
    b. $(2x-1)(2x+5)$
    c. $(2x-2)(2x+4)$
    d. $4(x-2)(x+4)$
    $\quad$
  3. La forme canonique de $f(x)=-2x^2-8x+1$ est :
    a. $-2(x+2)^2+9$
    b. $-2(x-4)^2-15$
    c. $-2(x-2)^2-7$
    d. $-2(x+4)^2+33$
    $\quad$
  4. Si $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a\neq 0$, si $S\left(x_S;y_S\right)$ est le sommet de la parabole représentant $f$, si $\Delta<0$ et $si $y_S<0$ alors :
    a. Pour tout réel $x$ on a $f(x)>0$.
    b. Le signe de $f(x)$ dépend de la valeur de $x$.
    c. $a>0$
    d. $a<0$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)&=2(x-3)^2+7 \\
    &=2\left(x^2-6x+9\right)+7 \\
    &=2x^2-12x+18+7 \\
    &=2x^2-12x+25
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)&=4(x+1)^2-9 \\
    &=\left[2(x+1)\right]^2-3^2  \quad \text{identité remarquable }a^2-b^2\\
    &=\left[2(x+1)-3\right]\left[2(x+1)+3\right] \\
    &=(2x+2-3)(2x+2+3)\\
    &=(2x-1)(2x+5)
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)&=-2x^2-8x+1 \\
    &=-2\left(x^2+4x-\dfrac{1}{2}\right) \\
    &=-2\left[(x+2)^2-4-\dfrac{1}{2}\right] \\
    &=-2\left[(x+2)^2-\dfrac{9}{2}\right] \\
    &=-2(x+2)^2+9
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. On sait que $\Delta<0$.
    Cela signifie donc que pour tout réel $x$, $f(x)$ est du signe de $a$.
    Puisque $y_S=f\left(x_S\right)<0$, cela signifie que $f(x)<0$ pour tout réel $x$ et donc que $a<0$
    Réponse d
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Calculer les racines et factoriser (si c’est possible) :

  1. $f(x)=2x^2+11x+5$
    $\quad$
  2. $g(x)=4x^2-12x+9$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $f(x)=2x^2+11x+5$
    Le discriminant est $\Delta=11^2-4\times 2\times 5 = 121-40=81>0$.
    $f(x)$ possède donc deux racines réelles :
    $\begin{array}{rlcrl}x_1&=\dfrac{-11-\sqrt{81}}{2\times 2}&\hspace{1cm}&x_2&=\dfrac{-11+\sqrt{81}}{2\times 2}\\
    &=\dfrac{-11-9}{4}&&&=\dfrac{-11+9}{4}\\
    &=-5&&&=-0,5
    \end{array}$
    Les racines de $f(x)$ sont donc $-5$ et $-0,5$.
    Une expression factorisée est donc $f(x)=2\left(x-(-5)\right)\left(x-(-0,5\right))=2(x+5)(x+0,5)$.
    $\quad$
  2. $f(x)=4x^2-12x+9$
    Le discriminant est $\Delta=(-12)^2-4\times 4\times 9=144-144=0$
    $f(x)$ possède une seule racine :
    $\begin{align*} x_0&=\dfrac{12}{2\times 4} \\
    &=1,5
    \end{align*}$
    Une expression factorisée est donc $f(x)=4(x-1,5)^2$
    Remarque : On pouvait également procéder ainsi :
    $\begin{align*} f(x)&=4x^2-12x+9 \\
    &=(2x)^2-2\times 2 \times 3+3^2 \\
    &=(2x-3)^2 \\
    &=2^2(x-1,5)^2\\
    &=4(x-1,5)^2
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=-3x^2+2x+1$ et $g(x)=6x^2+14x+4$.

  1. Mettre $f$ sous la forme canonique et en déduire son tableau de variation.
    $\quad$
  2. Les courbes représentatives de $f$ et de $g$ se coupent-elles?
    $\quad$
  3. Étudier les positions relatives des courbes représentatives de $f$ et de $g$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)&=-3x^2+2x+1 \\
    &=-3\left(x^2-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}\right) \\
    &=-3\left(x^2-2\times x \times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}^2-\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{3}\right) \\
    &=-3\left[\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{4}{9}\right] \\
    &=-3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{4}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
    Le coefficient principal est $a=-3<0$. On obtient donc le tableau de variation suivant :

    $\quad$
  2. On cherche pour répondre à la question à résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi -3x^2+2x+1=6x^2+14x+4 \\
    &\ssi 9x^2+12x+3=0 \\
    &\ssi 3\left(3x^2+4x+1\right)=0
    \end{align*}$
    Remarque : La factorisation n’est pas obligatoire mais permet de simplifier les calculs.
    $\quad$
    On considère l’expression $3x^2+4x+1$ et on calcule le discriminant :
    $\delta=4^2-4\times 3\times 1=16-12=4>0$
    L’expression possède donc deux racines réelles et les courbes représentatives des fonctions $f $et $g$ ont donc deux points d’intersection.
    La question ne demande de préciser ces valeurs mais on en aura besoin à la question suivante.
    Les racines sont :
    $\begin{array}{rlcrl}x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2\times 3}&\hspace{1cm}&x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2\times 3}\\
    &=\dfrac{-4-2}{6}&&&=\dfrac{-4+2}{6}\\
    &=-1&&&=-\dfrac{1}{3}
    \end{array}$
  3. $f(x)-g(x)=-9x^2-12x-3$ est donc du signe de $a=-3$ à l’extérieur des racines.
    Ainsi la courbe représentative de $f$ est en-dessus de celle de $g$ sur les intervalles $]-\infty;-1[$ et $\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$ et au-dessous sur l’intervalle $\left]-1;-\dfrac{1}{3}\right[$.
    Les deux courbes se coupent aux points d’abscisses $-1$ et $-\dfrac{1}{3}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :

  1. $-6x^2+5x+4<0$
    $\quad$
  2. $3x^2+x+1 \pg 0$
    $\quad$
  3. $\dfrac{x+9}{x-1} \pg x-3$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Déterminons les racines de $-6x^2+5x+4$.
    $\Delta=5^2-4\times (-6)\times 4=25+96=121>0$
    Ce polynôme du second degré possède donc 2 racines réelles :
    $\begin{array}{rlcrl}x_1&=\dfrac{-5-\sqrt{121}}{2\times (-6)}&\hspace{1cm}&x_2&=\dfrac{-5+\sqrt{121}}{2\times (-6)}\\
    &=\dfrac{-5-11}{-12}&&&=\dfrac{-5+11}{-12}\\
    &=\dfrac{4}{3}&&&=-\dfrac{1}{2}
    \end{array}$
    Le coefficient principal est $a=-6<0$.
    Ainsi les solutions de $-6x^2+5x+4<0$ sont les nombres appartenant à $\left]-\infty;-\dfrac{4}{3}\right[\cup\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    $\quad$
  2. On considère le polynôme $3x^2+x+1$
    $\Delta=1^2-4\times 3\times 1=-11<0$
    Ce polynôme est donc toujours du signe de $a=3>0$
    Ainsi, pour tout réel $x$ on a $3x^2+x+1> 0$ et donc $3x^2+x+1\pg 0$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{x+9}{x-1} \pg x-3 &\ssi \dfrac{x+9}{x-1}-x+3\pg 0 \\
    &\ssi \dfrac{x+9+(x-1)(-x+3}{x-1} \pg 0 \\
    &\ssi \dfrac{x+9-x^2+3x+x-3}{x-1} \pg 0\\
    &\ssi \dfrac{-x^2+5x+6}{x-1} \pg 0
    \end{align*}$
    On considère dans un premier temps le polynôme $-x^2+5x+6$.
    $\Delta=5^2-4\times (-1)\times 6=25+24=49>0$
    Il possède deux racines réelles.
    $\begin{array}{rlcrl}x_1&=\dfrac{-5-\sqrt{49}}{2\times (-1)}&\hspace{1cm}&x_2&=\dfrac{-5+\sqrt{49}}{2\times (-1)}\\
    &=\dfrac{-5-7}{-2}&&&=\dfrac{-5+7}{-2}\\
    &=6&&&=-1
    \end{array}$
    Puisque le coefficient principal est $a=-1<0$, ce polynôme est positif sur l’intervalle $]-1;6[$.
    $\quad$
    De plus $x-1>0 \ssi x>1$ et $x-1=0\ssi x=1$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    Ainsi la solution de l’inéquation est $]-\infty;-1]\cup]-1;6]$.
    $\quad$

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