1S – Devoir commun février 2017

Devoir commun – 1S

Février 2017 – 3h

Énoncé

Exercice 1    5,5 points

Toutes les questions de cet exercices sont indépendantes.

  1. Résoudre l’inéquation $3x^2-x-2<0$.
    $\quad$
  2. Factoriser,si possible, en facteurs du premier degré $A(x)=4x^2-19x-5$.
    $\quad$
  3. Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n=\dfrac{n+1}{n+3}$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  4. Déterminer la fonction dérivée dans chacun des cas suivants (les fonction étant définies et dérivables sur $\R$) :
    a. $f(x)=\dfrac{2x+5}{x^2+1}$
    $\quad$
    b. $g(x)=\left(2x^2+3\right)\left(3x^3+4\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2    4,5 points

Deux importateurs A et B souhaiteraient se procurer des tablettes de chocolats auprès de producteur étrangers.

Ils sélectionnent deux entreprises et souhaitent, chacun, faire appel à l’entreprise qui fournirait la production la plus homogène en terme de masse.

  • L’entreprise P.Kein propose des tablettes de chocolat estampillées “$100$g”.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Masse (g)}&96&97&98&99&100&101&102&103\\
    \hline
    \text{Effectif}&5&6&9&13&32&16&5&4\\
    \hline
    \end{array}$
  • L’entreprise B.Jing propose des tablettes de chocolat estampillées “$125$g”.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Masse (g)}&121&122&123&124&125&126&127&128\\
    \hline
    \text{Effectif}&15&39&26&53&49&32&43&17\\
    \hline
    \end{array}$
    Pour cette deuxième entreprise, on sait de plus que :
    moyenne : $124,59$g $\quad$ écart-type : $1,97$g $\quad$ Quartile 1 : $123$g $\quad$ Quartile 3 : $126$ g
  1. a. Calculer (en expliquant) la moyenne, le quartile 1 et le quartile 3 pour l’échantillon de l’entreprise P.Kein (arrondir si nécessaire les résultats à $10^{-2}$ près).
    $\quad$
    b. Déterminer à $10^{-2}$ près, à l’aide de la calculatrice, l’écart-type pour l’échantillon de l’entreprise P.Kein.
    $\quad$
  2. $\tiny\bullet$ L’importateur A utilise le critère de choix suivant :
    Plus le pourcentage de la production dans l’intervalle $\left[\overline{x}-2\sigma;\overline{x}+2\sigma\right]$ est important, plus la production est homogène” (avec $\overline{x}$ qui désigne la moyenne et $\sigma$ qui désigne l’écart-type).
    $\quad$
    $\tiny\bullet$ L’importateur $B$ préfère utiliser un autre critère de choix : “Plus l’écart interquartile est petit, plus la production est homogène.
    $\quad$
    Dire, en justifiant, pour chaque importateur A et B quelle entreprise il choisira.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3    2,5 points

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$.

  1. Dresser, sans justifier, le tableau de variations de la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=x^2$.
    $\quad$
  2. Dresser alors le tableau de variations de la fonction $f$, en justifiant la réponse.
    $\quad$
  3. En déduire le minimum et le maximum de la fonction $f$ sur $[-5;5]$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4    5 points

On se place dans un repère orthonormé d’unité le cm.

  1. On considère la droite $\left(d_1\right)$ passant par $A(-3;2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(5;2)$.
    a. Tracer la droite $\left(d_1\right)$.
    $\quad$
    b. Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite $\left(d_1\right)$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne de la droite $\left(d_2\right)$ est $3x-4y+3=0$.
    a. Tracer la droite $\left(d_2\right)$.
    $\quad$
    b. Montrer que $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ sont sécantes, puis vérifier que $D(7;6)$ est le point d’intersection de ces deux droites.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5    4,5 points

$ABCD$ est un parallélogramme. Les points $E$ et $F$ sont définis par : $\vect{BE}=\dfrac{3}{4}\vect{AB}$ et $\vect{DF}=-\dfrac{1}{3}\vect{DA}$.

  1. Réaliser une figure.
    $\quad$
  2. a. Exprimer $\vect{CE}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$. (Justifier la réponse)
    $\quad$
    b. Exprimer $\vect{BF}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$. (Justifier la réponse)
    $\quad$
  3. En déduire que les droites $(CE)$ et $(BF)$ sont parallèles.
    $\quad$

Exercice 6    4,5 points

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $\begin{cases} u_0=0\\u_{n+1}=u_n+2(n+1)\end{cases}$.

  1. Montrer que $u_1=2$. Calculer $u_2$ et $u_3$.
    $\quad$
  2. La proposition suivante est-elle vraie ou fausse? Justifier.
    “Il existe au moins une valeur de $n$ pour laquelle $u_n=n^2+1$”.
    $\quad$
  3. Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    Étudier
  4. On considère l’algorithme suivant :
    Début de l’algorithme
    Entrée :
    $\quad$ Saisir $N$ un entier naturel non nul
    Initialisation :
    $\quad$ Affecter à $P$ la valeur $0$
    Traitement
    $\quad$ Pour $I$ allant de $1$ à $N$
    $\qquad$ Affecter à $P$ la valeur $P+I$
    $\quad$ Fin Pour
    $\quad$ Afficher $P$
    Fin de l’algorithme
    $\quad$
    a. On donne à $N$ la valeur $3$.
    Recopier et compléter le tableau suivant en ajoutant autant de colonnes que nécessaire :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeurs de } I&\phantom{\ldots} &1&\ldots\\
    \hline
    \text{Valeurs de } P&0&\ldots& \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Recopier la partie Traitement de cet algorithme en la modifiant de manière à obtenir à l’affichage la valeur de $u_N$ ($N$ correspondant au nombre saisi en entrée).
    $\quad$

Exercice 7    7,5 points

Partie A (étude graphique) :

On a représenté ci-dessous la courbe représentative $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ et deux tangentes.

Déterminer graphiquement :

  1. $f(1)$ et $f'(1)$
    $\quad$
  2. $f'(0)$
    $\quad$

Partie B (Par le calcul)

La fonction $f$ de la partie A est définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-3x+1$.

  1. Calculer $f'(x)$.
    $\quad$
  2. a. Montrer, par le calcul, qu’une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\dfrac{1}{2}$ est $y=-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$, on pose : $d(x)=f(x)-\left(-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{3}{4}\right)$.
    Vérifier que $d(x)=(x+1)\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)$.
    $\quad$
    c. Dresser le tableau de signes du trinôme : $x^2-x+\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    d. En déduire le tableau de signes de $d(x)$.
    $\quad$
    e. En déduite la position relative de la courbe $\mathscr{C}$ par rapport à la tangente $T$.
    $\quad$
  3. Tracer $T$ sur la courbe de la partie A et vérifier la cohérence des résultats obtenus.
    $\quad$

Exercice 8    6 points

$ABCD$ est un carré de côt $20$ cm et $APMN$ est un carré de côté $x$ cm, où $x$ est un nombre appartenant à l’intervalle $I=[0;20]$.
On désigne par $S(x)$ l’aire en cm$^2$ de la partie grisée.

  1. Démontrer que, pour tout nombre $x$ de $I$, $S(x)=-x^2+10x+200$.
    $\quad$
  2. a. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de $S$ sur $[0;20]$.
    $\quad$
    b. Pour quelle valeur de $x$ l’aire $S(x)$ est-elle maximale?
    Que vaut alors cette aire?
    $\quad$
  3. Déterminer la ou les valeurs de $x$ pour laquelle (lesquelles) l’aire grisée est $4$ fois plus grande que l’aire de $AMPN$.
    $\quad$

$\quad$

Bonus    2 points

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0=4$ et $u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{2-u_n}$.
Soit $\left(w_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n=\dfrac{-4}{2n-1}$.

Les suite $\left(u_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définissent-elles deux suites de nombres identiques? Justifier.

Ex 1

Exercice 1

  1. On calcule le discriminant de $3x^2-x-2$ avec $a=3$, $b=-1$ et $c=-2$.
    $\Delta = b^2-4ac=1+24=25>0$.
    Il y a donc deux racines $x_1=\dfrac{1-\sqrt{25}}{6}=-\dfrac{2}{3}$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{25}}{6}=1$
    Le coefficient principal est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    La solution de l’inéquation est donc $\left]-\dfrac{2}{3};1\right[$.
    $\quad$
  2. $A(x)=4x^2-19x-5$
    On calcule le discriminant avec $a=4$, $b=-19$ et $c=-5$.
    $\Delta=b^2-4ac=361+80=441>0$
    Il y a donc deux racines réelles : $x_1=\dfrac{19-\sqrt{441}}{8}=-\dfrac{1}{4}$ et $x_2=\dfrac{19+\sqrt{441}}{8}=5$.
    Par conséquent $A(x)=4\left(x+\dfrac{1}{4}\right)(x-5)$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}-u_{n}&=\dfrac{n+2}{n+4}-\dfrac{n+1}{n+3} \\
    &=\dfrac{(n+2)(n+3)-(n+1)(n+4)}{(n+4)(n+3)} \\
    &=\dfrac{n^2+3n+2n+6-\left(n^2+4n+n+4\right)}{(n+4)(n+3)} \\
    &=\dfrac{2}{(n+4)(n+3)}
    \end{align*}$
    Pour tout entier naturel $n$ on a : $n+4>0$ et $n+3>0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_{n}>0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  4. a. $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$.
    Donc
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\left(x^2+1\right)-2x(2x+5)}{\left(x^2+1\right)^2}\\
    &=\dfrac{2x^2+2-4x^2-10x}{\left(x^2+1\right)^2}\\
    &=\dfrac{-2x^2-10x+2}{\left(x^2+1\right)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $g$ est de la forme $uv$.
    Donc
    $\begin{align*} g'(x)&=2\times 2x\left(3x^3+4\right)+3\times 3x^2\left(2x^2+3\right) \\
    &=12x^4+16x+18x^4+27x^2\\
    &=30x^4+27x^2+16x
    \end{align*}$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Calcul de la moyenne :
    $\overline{x}=\dfrac{96\times 5+97\times 6+\ldots+103\times 4}{5+6+\ldots+4}$ $ = \dfrac{8~969}{90}$ $ \approx 99,66$ g.
    $\quad$
    Calcul du premier quartile :
    $\dfrac{90}{4}=22,5$
    On prend donc la $23^{\e}$ valeur et $Q_1=99$
    $\quad$
    Calcul du troisième quartile :
    $\dfrac{90\times 3}{4} = 67,5$
    On prend donc la $68^{\e}$ valeur et $Q_3=101$
    $\quad$
    b. A l’aide la calculatrice on trouve que l’écart-type de l’échantillon de P.Kein est $\sigma_A\approx 1,65$.
    $\quad$
  2. $\bullet$ Pour l’importateur A.
    Entreprise P.Kein : $\left[\overline{x}-2\sigma;\overline{x}+2\sigma\right] \approx [96,36;102,96]$
    $6+9+13+32+16+5=81$ et $\dfrac{81}{90}=90\%$.
    $90\%$ des valeurs de la série sont comprises dans l’intervalle.
    Entreprise B.Jing :
    $\left[\overline{x}-2\sigma;\overline{x}+2\sigma\right] = [124,59;128,53]$
    $49+32+43+17=141$ et $\dfrac{141}{274}\approx 51,46\%$
    Environ $51,46\%$ des valeurs sont comprises dans l’intervalle.
    Par conséquent l’importateur $A$ choisira l’entreprise P.Kein.
    $\quad$
    $\bullet$ Pour l’importateur B.
    Entreprise P.Kein :
    L’écart interquartile est $Q_3-Q_1=101-99=2$
    Entreprise B.Jing :
    L’écart interquartile est $Q_3-Q_1=126-123=3$
    L’entreprise B choisira l’entreprise P.Kein.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Le tableau de variation de la fonction $u$ est :

    $\quad$
  2. La fonction $v$ définie par $v(x)=u(x)+1$ pour tout réel $x$ possède les mêmes variations que la fonction $u$.
    La fonction inverse est strictement décroissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
  3. Sur l’intervalle $[-5;0]$ la fonction $f$ est strictement croissante. Son minimum est donc atteint pour $x=-5$ et $f(-5)=\dfrac{1}{26}$ son maximum est atteint pour $x=0$ et $f(0)=1$.
    Sur l’intervalle $[0;5]$ la fonction $f$ est strictement décroissante. Son minimum est donc atteint pour $x=5$ et $f(5)=\dfrac{1}{26}$ son maximum est atteint pour $x=0$ et $f(0)=1$.
    Par conséquent le minimum de $f$ sur l’intervalle $[-5;5]$ est $\dfrac{1}{26}$ et son maximum est $1$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Voir graphique
    $\quad$
    b. Une équation de la droite $\left(d_1\right)$ est de la forme $-2x+5y+c=0$.
    Le point $A(-3;2)$ appartient à cette droite.
    Donc $-2\times (-3)+5\times 2+c=0 \ssi c=-16$.
    Une équation cartésienne de la droite $\left(d_1\right)$ est donc $-2x+5y-16=0$.
    $\quad$
  2. a.
    $\quad$
    b. Un vecteur directeur de $\left(d_2\right)$ est $\vec{v}(4;3)$.
    Un vecteur directeur de $\left(d_1\right)$ est $\vec{u}(5;2)$.
    $4\times 2-3 \times 5=8-15=-7\neq 0$.
    Les deux droites sont bien sécantes.
    $\quad$
    Les coordonnées du point $D(7;6)$ vérifient-elles les équations des deux droites?
    $-2\times 7+5\times 6-16=-14+30-16=0$
    $3\times 7-4\times 6+3=21-24+3=0$
    Le point $D$ est donc bien le point d’intersection de ces deux droites.

Ex 5

Exercice 5

  1. $\quad$
  2. a. $ABCD$ est un parallélogramme donc $\vect{BC}=\vect{AD}$.
    $\vect{CE}=\vect{CB}+\vect{BE}=-\vect{AD}+\dfrac{3}{4}\vect{AB}$
    $\quad$
    b. $\vect{BF}=\vect{BA}+\vect{AD}+\vect{DF}=-\vect{AB}+\vect{AD}+\dfrac{1}{3}\vect{AD}=-\vect{AB}+\dfrac{4}{3}\vect{AD}$.
    $\quad$
  3. On en déduit donc que $\vect{BF}=-\dfrac{3}{4}\vect{CE}$.
    Les vecteurs $\vect{BF}$ et $\vect{CE}$ sont donc colinéaires et les droites $(CE)$ et $(BF)$ sont parallèles.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. $u_1=u_0+2(0+1)=0+2=2$.
    $u_2=u_1+2(1+1)=2+4=6$
    $u_3=u_2+2(2+1)=6+6=12$
    $\quad$
  2. $u_1=2$ et $1^2+1=2$ donc la proposition est vraie.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=u_n+2(n+1)-u_n\\
    &=2(n+1)\\
    &>0
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeurs de } I& &1&2&3\\
    \hline
    \text{Valeurs de } P&0&1&3&6 \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On peut utiliser cette partie Traitement
    Traitement
    $\quad$ Pour $I$ allant de $1$ à $N$
    $\qquad$ Affecter à $P$ la valeur $P+2(I+1)$
    $\quad$ Fin Pour
    $\quad$ Afficher $P$
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

Partie A (étude graphique)

  1. $f(1)=-1$ et $f'(1)=0$ (tangente horizontale)
    $\quad$
  2. $f'(0)=\dfrac{-0,5-1}{0,5-0}=-3$ (coefficient directeur de la tangente en $B$)
    $\quad$

Partie B (Par le calcul)

  1. $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    $f'(x)=3x^2-3$
    $\quad$
  2. a. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ avec $a=\dfrac{1}{2}$
    On obtient ainsi :
    $\begin{align*} y&=\left(3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2-3\right)\times\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^3-\dfrac{3}{2}+1 \\
    &=\left(\dfrac{3}{4}-3\right)\times\left(x-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{3}{8} \\
    &=-\dfrac{9}{4}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{3}{8}\\
    &=-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{9}{8}-\dfrac{3}{8}\\
    &=-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{6}{8}\\
    &=-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{3}{4}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. D’une part
    $\begin{align*} d(x)&=f(x)-\left(-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{3}{4}\right) \\
    &=x^3-3x+1+\dfrac{9}{4}x-\dfrac{3}{4} \\
    &=x^3-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{4}
    \end{align*}$
    D’autre part
    $(x+1)\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)$
    $\quad$
    c. $x^2-x+\dfrac{1}{4}=x^2-2\times \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2$
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
     $\quad$
    d. Par conséquent :

    e. La courbe $\mathscr{C}$ est donc au-dessus de $T$ sur l’intervalle $[-1;+\infty[$ et en-dessous sur l’intervalle $]-\infty;-1]$.
    $\quad$
  3. $\quad$

 

Ex 8

Exercice 8

  1. $MB=20-x$ donc l’aire du trapèze $MBCP$ est :
    $\mathscr{A_1}=\dfrac{(x+20)\times (20-x)}{2} = \dfrac{400-x^2}{2}$
    $ND=20-x$ donc l’aire du triangle $NPD$ est :
    $\mathscr{A_2}=\dfrac{x(20-x)}{2}=\dfrac{-x^2+20x}{2}$
    Ainsi :
    $S(x)=\dfrac{400-x^2}{2}+\dfrac{-x^2+20x}{2}=-x^2+10x+200$.
    $\quad$
  2. a. $S$ est une fonction du second degré. Son coefficient principal est $a=-1<0$. Elle atteint son maximum pour $x=-\dfrac{10}{-2}=5$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    b. L’aire est donc maximale quand $x=5$ et $S(5)=225$ cm$^2$.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} S(x)=4x^2&\ssi -x^2+10x+200=4x^2 \\
    &\ssi -5x^2+10x+200=0
    \end{align*}$
    On calcule le discriminant avec $a=-5$, $b=10$ et $c=200$
    $\Delta = 100+4~000=4~100>0$
    Il y a donc deux solutions réelles :
    $x_1=\dfrac{-10-\sqrt{4~100}}{-10}=1+\sqrt{41}$ $(\approx 7,4$cm$)$.
    et $x_2=\dfrac{-10+\sqrt{4~100}}{-10}=1-\sqrt{41}<0$.
    Il n’existe donc qu’une seule valeur de $x$, $1+\sqrt{41}$, pour laquelle l’aire grisée est $4$ fois plus grande que l’aire de $AMPN$.
    $\quad$

Bonus

Bonus

$w_0=\dfrac{-4}{0-1}=4$.

Pour tout entier naturel $n$ on a :

$\begin{align*} \dfrac{2w_n}{2-w_n}&=\dfrac{\dfrac{-8}{2n-1}}{2-\dfrac{-4}{2n-1}} \\
&=\dfrac{\dfrac{-8}{2n-1}}{\dfrac{4n+2}{2n-1}}\\
&=\dfrac{-8}{4n+2}\\
&=\dfrac{-4}{2n+1}
\end{align*}$

Or $w_{n+1}=\dfrac{-4}{2(n+1)-1}=\dfrac{-4}{2n+1}$

Donc $w_{n+1}=\dfrac{2w_n}{2-w_n}$.

Les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ sont donc identiques.