1S – DM – variations, dérivation, second degré, équation de droites

Devoir maison

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{-3x+20}{3x^2+10x-8}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative.

  1. Déterminer son tableau de variation.
    $\quad$
  2. Déterminer son tableau de signes.
    $\quad$
  3. Déterminer le tableau de variation de la fonction $i$ définie par $i(x)=\dfrac{1}{f(x)}$.
    En quoi $i(x)$ diffère-t-elle de $\dfrac{3x^2+10x-8}{-3x+20}$.
    $\quad$
  4. Expliciter et commenter les limites en $-\infty$ et $+\infty$ de $f(x)$ et $i(x)$. Faire de même pour une des valeurs n’appartenant pas à l’ensemble de définition précisé au 1. .
    $\quad$
  5. Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $-1$ ainsi que les réels en lesquels les tangentes sont horizontales.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Avant toute chose, nous allons déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
    Pour cela, nous avons besoin de résoudre l’équation $3x^2+10x-8=0$
    $\Delta = 10^2-4\times 3 \times (-8)=196>0$.
    L’équation possède donc deux solutions réelles : $x_1=\dfrac{-10-\sqrt{196}}{6}=-4$ et $x_2=\dfrac{-10+\sqrt{196}}{6}=\dfrac{2}{3}$.
    La fonction $f$ est donc définie sur $]-\infty;-4[\cup\left]-4;\dfrac{2}{3}\right[\cup \left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[$.
    $f$ est dérivable sur chacun de ces intervalles comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-3\left(3x^2+10x-8\right)-(-3x+20)(6x+10)}{\left(3x^2+10x-8\right)^2} \\
    &=\dfrac{-9x^2-30x+24-\left(-18x^2-30x+120x+200\right)}{\left(3x^2+10x-8\right)^2} \\
    &=\dfrac{-9x^2-30x+24+18x^2-90x-200}{\left(3x^2+10x-8\right)^2} \\
    &=\dfrac{9x^2-120x-176}{\left(3x^2+10x-8\right)^2}
    \end{align*}$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que du signe de $g(x)=9x^2-120x-176$.
    Le discriminant est $\Delta = (-120)^2-4\times 9\times (-176)=20~736>0$
    Il y a donc deux racines réelles : $\alpha=\dfrac{120-\sqrt{20~736}}{18}=-\dfrac{4}{3}$ et $\beta=\dfrac{120-\sqrt{20~736}}{18}=\dfrac{44}{3}$.
    Le coefficient principal est $a=9>0$.
    On obtient, par conséquent, le tableau de variation suivant :

    $\quad$
  2. On a déjà déterminer les racines de $3x^2+10x-8$ à la question précédentes. Le coefficient principal est $a=3>0$. Ce polynôme du second degré sera donc négatif entre les racines et positif à l’extérieur.
    $-3x+20=0 \ssi x=\dfrac{20}{3}$ et $-3x+20 >0 \ssi -3x>-20 \ssi x<\dfrac{20}{3}$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  3. La fonction inverse est décroissante sur les intervalles $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$.
    La fonction $i$ n’est donc pas définie en $-4$ et $-\dfrac{2}{3}$ puisque $f$ ne l’est pas et en $\dfrac{20}{3}$ puisque la fonction $f$ s’annule en cette valeur.
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    $\quad$
    La fonction $j$ définie par $j(x)=\dfrac{3x^2+10-8}{-3x+20}$ est définie en $-4$ et en $-\dfrac{2}{3}$ alors que la fonction $i$ n’est pas définie pour ces réels. Pour tous les réels appartenant à l’ensemble de définition de la fonction $i$, on a $i(x)=j(x)$.
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ non nul appartenant à l’ensemble de définition de $f$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=\dfrac{x\left(-3+\dfrac{20}{x}\right)}{x^2\left(3+\dfrac{10}{x}-\dfrac{8}{x^2}\right)} \\
    &=\dfrac{-3+\dfrac{20}{x}}{x\left(3+\dfrac{10}{x}-\dfrac{8}{x^2}\right)}
    \end{align*}$
    Ainsi quand $x$ tend vers $+\infty$ alors $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x^2}$ tendent vers $0$.
    Par conséquent $-3+\dfrac{20}{x}$ tend vers $-3$
    Et $3+\dfrac{10}{x}-\dfrac{8}{x^2}$ tend vers $3$
    Ainsi $x\left(3+\dfrac{10}{x}-\dfrac{8}{x^2}\right)$ tend vers $+\infty$
    Par conséquent $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
    De même $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $-\infty$.
    Quand $x$ tend vers $-4$, et $x < -4$ alors $-3x+20$ tend vers $32$ et $3x^2+10x-8$ tend vers $0$ et $3x^2+10x-8>0$.
    Donc $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $-4$ et $x<-4$ (limite de la forme $32/0^+$ que vous verrez en TS).
    $\quad$
    Ainsi, quand $x$ tend $-4$ alors $3x^2+10x-8$ tend vers $0$ et $-3x+20$ tend $32$ donc $i(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $4$.
    Pour tout réel $x$ non nul appartenant à l’ensemble de définition de $i$ on a :
    $\begin{align*} i(x)&=\dfrac{x^2\left(3+\dfrac{10}{x}-\dfrac{8}{x^2}\right)}{x\left(-3+\dfrac{20}{x}\right)} \\
    &=\dfrac{x\left(3+\dfrac{10}{x}-\dfrac{8}{x^2}\right)}{-3+\dfrac{20}{x}}
    \end{align*}$
    Pour les mêmes raisons que pour les limites de la fonction $f$ on a :
    – la limite de $i(x)$, quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $-\infty$
    – la limite de $i(x)$, quand $x$ tend vers $-\infty$ est égale à $+\infty$
    $\quad$
  5. D’après la question 1. $f'(x)=0 \ssi x=\dfrac{20}{3}$. La courbe $\mathscr{C}_f$ ne possède donc qu’une seule tangente horizontale : celle pour $x=\dfrac{20}{3}$.
    $\quad$
    Une équation d’une tangente au point d’abscisse $a$ a une équation de la forme : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
    $f'(-1)=-\dfrac{47}{225}$ et $f(-1)=-\dfrac{23}{15}$
    Donc une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $-1$ est :
    $y=-\dfrac{47}{225}(x+1)-\dfrac{23}{15}$
    soit $y=-\dfrac{47}{225}x-\dfrac{392}{225}$

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$\quad$

Exercice 2

On considère la fonction $g$ définie par $f(x)=\left(-x^2+3x+2\right)\sqrt{x}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative.

  1. a. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
    $\quad$
    b. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
    c. En déduire le tableau de variation de la fonction $v$ définie par $v(x)=\left|f(x)\right|$.
    $\quad$
    d. Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
  2. On cherche à approcher $\mathscr{C}_f$ par une parabole avec les conditions suivantes :
    – le sommet sera le point qui correspond au maximum de la fonction $f$.
    – sa tangente au point d’abscisse $1$ sera parallèle à la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $1$.
    Déterminer l’expression algébrique de la fonction associée à cette parabole.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. a. La fonction $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ mais est dérivable sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} f'(x)&=(-2x+3)\sqrt{x}+\dfrac{-x^2+3x+2} {2\sqrt{x}} \\
    &=\dfrac{(-2x+3)\sqrt{x}\times \sqrt{x}-x^2+3x+2}{2\sqrt{x}} \\
    &=\dfrac{(-2x+3)\times 2x-x^2+3x+2}{2\sqrt{x}} \\
    &=\dfrac{-4x^2+6x-x^2+3x+2}{2\sqrt{x}} \\
    &=\dfrac{-5x^2+9x+2}{2\sqrt{x}}
    \end{align*}$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-5x^2+9x+2$.
    $\Delta = 9^2-4\times (-5)\times 2=121>0$
    Les racines sont $x_1=\dfrac{-9-\sqrt{121}}{-10}=2$ et $x_2=\dfrac{-9+\sqrt{121}}{-10}=-0,2<0$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
    $\quad$
    c. Le signe de $g(x)$ ne dépend que de celui de $-x^2+3x+2$.
    $\Delta = 3^2-4\times (-1)\times 2 = 9+8=17$
    Les racines sont donc $x_1=\dfrac{-3-\sqrt{17}}{-2}=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}$ et $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{-2}<0$.
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :
    $\quad$
    d. Une équation d’une tangente au point d’abscisse $a$ a une équation de la forme : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
    $f'(1)=3$ et $f(1)=4$
    Une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $1$ est :
    $y=3(x-1)+4$ soit $y=3x+1$
    $\quad$
  2. On appelle $g$ la fonction du second degré associée à la parabole cherchée.
    On a alors, pour tout réel $x>0$, $g(x)=-a(x-2)^2+4\sqrt{2}$ avec $a>0$.
    donc $g(x)=-a\left(x^2-4x+4\right)+4\sqrt{2}$
    D’où $g'(x)=-2ax+4a$
    On veut que les tangentes aux courbes soient parallèles. Cela signifie donc que $f'(1)=g'(1) \ssi 3=2a$ $\ssi a=\dfrac{3}{2}$.
    Ainsi $g(x)=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2+4\sqrt{2}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction $k$ définie par $k(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x}+2}$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $k$.
    $\quad$
  2. On considère un réel $x$ tel que $0 < x < 4$.
    Démontrer qu’il existe un réel $c$ strictement positif, qu’on déterminera, tel que $k(x) \pg c$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\dfrac{1}{x}+2=\dfrac{1+2x}{x}$
    $1+2x=0 \ssi x=-\dfrac{1}{2}$ et $1+2x>0\ssi x>1\dfrac{1}{2}$
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :

    La fonction $k$ est donc définie sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right]\cap]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ tel que $0<x\pp 4$ on a :
    $\begin{align*} k(x)-\sqrt{2}&=\dfrac{\sqrt{1+2x}}{x}-\sqrt{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \times \dfrac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{x}}  \quad (*)\\
    &=\dfrac{1+2x-x}{\left(\sqrt{1+2x}+\sqrt{x}\right)\sqrt{x}} \\
    &=\dfrac{1+x}{\left(\sqrt{1+2x}+\sqrt{x}\right)\sqrt{x}}
    \end{align*}$
    Donc $k(x)-\sqrt{2}>0$ pour tout réel $x>0$.
    Ainsi, on peut choisit $c=\sqrt{2}$
    Remarque 1 : Il est, en fait possible de choisir un nombre $c \in ]0;1,5]$. Le nombre $\sqrt{2}$ ayant la particularité d’être valable pour tout réel $x>0$.
    Remarque 2 : à l’étape $(*)$ on dit qu’on multiplie par la quantité conjuguée de $\sqrt{1+2x}-\sqrt{x}$ afin de faire apparaître une identité remarquable de la forme $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

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$\quad$

Exercice 4

Dans un repère orthonormé $\Oij$, on considère les points $A(3;5), B(-2;1)$ et $C(1;4)$.

  1. Donner une équation cartésienne de $(AB)$, puis de sa parallèle $(d)$ passant par le point $C$.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$, médiatrice du segment $[AB]$.
    $\quad$
  3. Quelles sont les coordonnées du point d’intersection des droites $(d)$ et $(\Delta)$?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\vect{AB}(-5;-4)$. On considère un point $M(x;y)$ appartenant à la droite $(AB)$.
    On a donc $\vect{AM}(x-3;y-5)$.
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AM}$ sont colinéaires si, et seulement si, $-5(y-5)-(-4)(x-3)=0$
    si, et seulement si, $-5y+25+4x-12=0$
    si, et seulement si, $4x-5y+13=0$
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc $4x-5y+13=0$.
    $\quad$
    Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est de la forme $4x-5y+c=0$.
    Le point $C$ appartient à la droite $(d)$ donc $4-20+c=0 \ssi c=16$.
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc $4x-5y+16=0$.
  2. Un vecteur normal à la droite $(AB)$ est $\vec{u}(-4;5)$.
    Ainsi une équation de la médiatrice $(\Delta)$ est $-5x-4y+c=0$.
    Le milieu $D$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{3-2}{2};\dfrac{5+1}{2}\right)$ soit $(0,5;3)$.
    Le point $D$ appartient à $(\Delta)$ donc
    $-5\times 0,5-4\times 3+c=0 \ssi -2,5-12+c=0 \ssi c=14,5$.
    Une équation de $(\Delta)$ est alors $-5x-4y+14,5=0$.
    $\quad$
  3. Les coordonnées du point d’intersection des droites $(d)$ et $(\Delta)$ sont solution du système :
    $\begin{cases} 4x-5y+16=0 &(1)\\-5x-4y+14,5=0 &(2) \end{cases}$
    $\ssi \begin{cases} 4x-5y+16=0 &(1) -41y+138=0&4\times(2)+5\times (1)\end{cases}$
    $\ssi \begin{cases} 4x-5y+16=0 \\y=\dfrac{138}{41}\end{cases}$
    $\ssi \begin{cases} 4x-\dfrac{34}{41}=0\\y=\dfrac{138}{41}\end{cases}$
    $\ssi \begin{cases} x=\dfrac{17}{82}\\y=\dfrac{138}{41}\end{cases}$
    Les coordonnées du point d’intersection des deux droites sont donc $\left(\dfrac{17}{82};\dfrac{138}{41}\right)$.

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