1S – DM – Trigonométrie

DM – Trigonométrie – 1S

Exercice 1

Un soin tout particulier sera porté à la réalisation de la figure.

Soit $A$ et $B$ deux points du plan tel que $AB=4$ cm.

  1. Construire le point $C$ tel que $\left(\vect{AB},\vect{AC}\right)=\dfrac{\pi}{4}$ et $AB=AC$.
    $\quad$
  2. Construire le point $D$ tel que $ACD$ soit un triangle équilatéral et $\left(\vect{CA},\vect{CD}\right)=-\dfrac{\pi}{3}$.
    $\quad$
  3. Construire le point $E$ tel que $\left(\vect{DE},\vect{DC}\right)=\dfrac{11\pi}{12}$ et $DE=3$ cm.
    $\quad$
  4. Démontrer que les droites $(AB)$ et (DE)$ sont parallèles.
    $\quad$
  5. On considère le point $F$ tel que les points $A,C$ et $F$ soient alignés dans cet ordre et $\left(\vect{BF},\vect{CD}\right)=\dfrac{5\pi}{12}$.
    a. Démontrer que les droites $(AB)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    b. Placer alors le point $F$ sur la figure.
    $\quad$
Correction Exercice 1
  1. Voir figure
    $\quad$
  2. Voir figure
    $\quad$
  3. Voir figure
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} \left(\vect{AB},\vect{DE}\right)&=\left(\vect{AB},\vect{AC}\right)+\left(\vect{AC}+\vect{CD}\right)+\left(\vect{CD},\vect{DE}\right) \\
    &=\dfrac{\pi}{4}+\pi+\left(\vect{CA},\vect{CD}\right)-\left(\pi+\left(\vect{DE},\vect{DC}\right)\right)\\
    &=\dfrac{\pi}{4}+\pi-\dfrac{\pi}{3}-\pi-\dfrac{11\pi}{12}\\
    &=-\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{11\pi}{12} \\
    &=-\pi
    \end{align*}$
    Par conséquent les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{DE}$ sont colinéaires et les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles.
    $\quad$
  5. a. 
    $\begin{align*} \left(\vect{AB},\vect{BF}\right)&=\left(\vect{AB},\vect{AC}\right)+\left(\vect{AC},\vect{CD}\right)+\left(\vect{CD},\vect{BF}\right) \\
    &=\dfrac{\pi}{4}+\pi+\left(\vect{CA},\vect{CD}\right)-\left(\vect{BF},\vect{CD}\right) \\
    &=\dfrac{\pi}{4}+\pi-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{5\pi}{12}\\
    &=\dfrac{\pi}{2}
    \end{align*}$
    Les droites $(AB)$ et $(BF)$ sont donc perpendiculaires.
    $\quad$
    b.

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$\quad$

$\quad$

Exercice 2

On souhaite résoudre l’équation suivante dans $\R$ : $4\cos^2 x-2\left(1+\sqrt{3}\right)\cos x+\sqrt{3}=0\quad (1)$.

  1. On effectue un changement de variable en posant $X=\cos x$ avec $X\in[-1;1]$.
    a. Quelle équation du second degré est équivalent à l’équation $(1)$?
    $\quad$
    b. Montrer que son discriminant peut s’écrire $4\left(1-\sqrt{3}\right)^2$.
    $\quad$
    c. Déterminer les solutions de cette équation du second degré.
    $\quad$
  2. En déduire les solutions de l’équation $(1)$ dans $]-\pi;\pi[$ puis dans $\R$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. a. On pose $X=\cos x$ alors l’équation $(1)$ est équivalente à $\begin{cases} X\in[-1;1] \\
    4X^2-2\left(1+\sqrt{3}\right)X+\sqrt{3}=0\end{cases}$
    $\quad$
    b. Le discriminant de l’équation du second degré est :
    $\begin{align*} \Delta &= 4\left(1+\sqrt{3}\right)^2-16\sqrt{3} \\
    &=4\left(\left(1+\sqrt{3}\right)^2-4\sqrt{3}\right) \\
    &=4\left(1+3+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}\right) \\
    &=4\left(1+3-2\sqrt{3}\right)\\
    &=4\left(1-\sqrt{3}\right)^2
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. $\Delta>0$
    $\sqrt{\Delta}=\sqrt{4\left(1-\sqrt{3}\right)^2}=2\left|1-\sqrt{3}\right|=2\left(\sqrt{3}-1\right)$
    Il y a donc deux solutions réelles :
    $X_1=\dfrac{2\left(1+\sqrt{3}\right)-2\left(\sqrt{3}-1\right)}{8}= \dfrac{1}{2}$
    Et $X_2=\dfrac{2\left(1+\sqrt{3}\right)+2\left(\sqrt{3}-1\right)}{8}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    $\quad$
  2. On cherche donc les solutions dans $[\pi;\pi]$ des équations $\cos x=\dfrac{1}{2}$ et $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    Les solutions sont donc $-\dfrac{\pi}{3}$, $-\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{3}$.
    $\quad$
    Sur $\R$, les solutions sont les nombres $-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$, $-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$, $\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ et $\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ avec $k\in \R$.

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$\quad$