1S – Exercices – 2nd degré – fiche 1

Second degré

Exercice 1

Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=5x^2-3x-2$.

  1. Donner la forme canonique de $h(x)$.
  2. Factoriser $h(x)$.
  3. En déduire parmi les graphiques suivants lequel est celui de la représentation graphique de la fonction $h$.
    Justifier.
  4. Donner alors les coordonnées des points remarquables placés sur la figure correspondante.

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} h(x)&=5x^2-3x-2 \\
    &=5\left(x^2-\dfrac{3}{5}x-\dfrac{2}{5}\right)\\
    &=5\left(x^2-2\times \dfrac{3}{10}x-\dfrac{2}{5}\right) \\
    &=5\left(\left(x-\dfrac{3}{10}\right)^2-\left(\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{2}{5}\right)\\
    &=5\left(\left(x-\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{49}{100}\right)\\
    &=5\left(x-\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{49}{20}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} h(x)&=5\left(\left(x-\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{49}{100}\right)\\
    &=5\left[\left(x-\dfrac{3}{10}\right)-\dfrac{7}{10}\right]\left[\left(x-\dfrac{3}{10}\right)+\dfrac{7}{10}\right]\\
    &=5(x-1)\left(x+\dfrac{2}{5}\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Le coefficient principal est $a=5$ : ce ne peut donc pas être la figure c.
    D’après la forme canonique, le sommet a pour abscisse $\dfrac{3}{10}>0$.
    La figure a est la représentation graphique de la fonction $h$.
    $\quad$
  4. Le point $C$ correspond au sommet de la parabole. Donc $C\left(\dfrac{3}{10};-\dfrac{49}{20}\right)$.
    Le point $B$ est le point d’intersection de la parabole avec l’axe des ordonnées. Donc $B(0;-2)$.
    Les abscisses des points $A$ et $D$ sont les solutions de l’équation $h(x)=0$.
    Par conséquent $A\left(-\dfrac{2}{5};0\right)$ et $D(1;0)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Déterminer les tableaux de variations des fonctions du second degré définies par :

$f(x)=-3(x+1)^2-4$ $\qquad$ $g(x)=-3x^2+5x-1$ $\qquad$ $h(x)=x^2-x+6$

$\quad$

Correction Exercice 2

  • $f(x)=-3(x+1)^2-4$
    Le coefficient principal est $a=-3<0$ et le sommet de la parabole a pour coordonnées $(-1;-4)$.

  • $g(x)=-3x^2+5x-1$
    Le coefficient principal est $a=-3<0$.
    L’abscisse du sommet est $x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{5}{6}$.
    $g\left(\dfrac{5}{6}\right)=\dfrac{13}{12}$.
  • $h(x)=x^2-x+6$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    L’abscisse du sommet est $x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}$.
    $h\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{23}{4}$

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$\quad$

Exercice 3

Les paraboles ci-dessous sont les représentations de polynômes de degré $2$. Dans chaque cas, donner la forme canonique et si possible la forme factorisée du trinôme associé.

$\quad$

Correction Exercice 3

  • Le point $D(5;-2)$ est le sommet de la parabole.
    Donc $P(x)=a(x-5)^2-2$. La forme de la parabole nous indique que $a<0$.
    Le point $E(4;-4)$ appartient également à la parabole.
    Donc $P(4)=a(4-5)^2-2=-4 \ssi a-2=-4\ssi a=-2$.
    Ainsi $P(x)=-2(x-5)^2-2$  (forme canonique).
    $\quad$
    La parabole ne coupe pas l’axe des abscisses : il n’existe pas de forme factorisée.
    $\quad$
  • La parabole passe par les points $A(-3;0)$ et $(1;0)$.
    Par conséquent $Q(x)=a(x+3)(x-1)$.
    De plus, le point $C(2;3)$ appartient à la parabole.
    Donc $Q(2)=a(2+3)(2-1)=3 \ssi 5a=3 \ssi a=\dfrac{3}{5}$
    Ainsi $Q(x)=\dfrac{3}{5}(x+3)(x-1)$   (forme factorisée)
    $\quad$
    L’abscisse du sommet est $\dfrac{-3+1}{2}=-1$.
    $Q(-1)=-\dfrac{12}{5}$.
    Par conséquent $Q(x)=\dfrac{3}{5}(x+1)^2-\dfrac{12}{5}$   (forme canonique).
  • Le sommet de la parabole est $M(3;0)$.
    Ainsi $R(x)=a(x-3)^2$.
    On sait que le point $N(0;3)$ appartient à la parabole.
    Donc $R(0)=a(-3)^2=3 \ssi 9a=3\ssi a=\dfrac{1}{3}$.
    Par conséquent $R(x)=\dfrac{1}{3}(x-3)^2$  (forme canonique et factorisée).

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$\quad$

Exercice 4

Résoudre chacune de ces équations :

  1. $2x^2-2x-3=0$
    $\quad$
  2. $2x^2-5x=0$
    $\quad$
  3. $3x+3x^2=-1$
    $\quad$
  4. $8x^2-4x+2=\dfrac{3}{2}$
    $\quad$
  5. $2~016x^2+2~015=0$
    $\quad$
  6. $-2(x-1)^2-3=0$
    $\quad$
  7. $(x+2)(3-2x)=0$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $2x^2-2x-3=0$
    On calcule le discriminant avec $a=2$, $b=-2$ et $c=-3$
    $\begin{align*} \Delta&=b^2-4ac \\
    &=4+24 \\
    &=28>0
    \end{align*}$
    L’équation possède donc deux solutions réelles :
    $x_1=\dfrac{2-\sqrt{28}}{4}=\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}$
    $\quad$
  2. $2x^2-5x=0$
    $\ssi x(2x-5)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    donc $x=0$ ou $2x-5=0$.
    Les solutions de l’équation sont donc $0$ et $\dfrac{5}{2}$
    $\quad$
  3. $3x+3x^2=-1$
    Cette équation est équivalente à $3x^2+3x+1=0$.
    On calcule son discriminant avec $a=3$, $b=3$ et $c=1$.
    $\Delta = b^2-4ac=9-12=-3<0$.
    L’équation ne possède pas de solution réelle.
    $\quad$
  4. $8x^2-4x+2=\dfrac{3}{2}$
    $\ssi 8x^2-4x+2-\dfrac{3}{2}$
    $\ssi 8x^2-4x+\dfrac{1}{2}$
    On calcule son discriminant avec $a=8$, $b=-4$ et $c=\dfrac{1}{2}$.
    $\Delta = b^2-4ac=16-16=0$
    L’équation possède donc une unique solution $x_0=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  5. $2~016x^2+2~015=0$
    $\ssi 2~016x^2=-2~015$
    Un carré étant positif, cette équation ne possède pas de solution réelle.
    $\quad$
  6. $-2(x-1)^2-3=0$
    $\ssi -2(x-1)^2=3$
    $\ssi (x-1)^2=-\dfrac{3}{2}$
    Un carré est toujours positif.
    L’équation ne possède pas de solution réelle.
    $\quad$
  7. $(x+2)(3-2x)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x+2=0$ ou $3-2x=0$
    Soit $x=-2$ ou $x=\dfrac{3}{2}$
    Les solutions de l’équation sont $-2$ et $\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$

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