1S – Exercices – 2nd degré – Fiche 2

Second degré

Exercice 1

Une entreprise fabrique chaque jour $x$ objets avec $x\in[0;60]$. Le coût total de production de ces objets, exprimés en euros, est donné par : $C(x)=x^2-20x+200$.

  1. Calculer le nombre d’objets fabriqués correspondant à un coût de $500$ euros.
    $\quad$
  2. Chaque objet fabriqué est vendu au prix unitaire de $34$ euros.
    Calculer, en fonction de $x$, la recette $R(x)$.
    $\quad$
  3. Justifier que le bénéfice réalisé pour la production et la vente de $x$ objets est donné, pour $x \in [0;60]$, par : $B(x)=-x^2+54x-200$.
    $\quad$
  4. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0;60]$.
    $\quad$
  5. En déduire la quantité à produire et vendre permettant à l’entreprise de réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal?
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} C(x)=500&\ssi x^2-20x+200=500\\
    &\ssi x^2-20x-300=0
    \end{align*}$
    On calcule le discriminant avec $a=1$, $b=-20$ et $c=-300$.
    $\Delta = b^2-4ac=400+1~200=1~600>0$.
    L’équation possède donc $2$ solutions réelles:
    $x_1=\dfrac{20-\sqrt{1~600}}{2}=-10$ et $x_2=\dfrac{20+\sqrt{1~600}}{2}=30$.
    On ne peut garder que la solution positive.
    Un coût de $500$ euros correspond donc à la fabrication de $30$ objets.
    $\quad$
  2. On a donc $R(x)=34x$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
    &=34x-x^2+20x-200\\
    &=-x^2+54x-200
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. Le coefficient principal de la fonction du second degré $B$ est $a=-1$.
    L’abscisse de son sommet est donnée par la formule $x=-\dfrac{b}{2a}=27$.
    $B(27)=529$.
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
  5. Le bénéfice est donc maximal quand l’entreprise fabrique $27$ objets. Le bénéfice est alors de $529$ euros.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Un joueur de rugby est amené à transformer un essai, c’est-à-dire envoyer le ballon au-dessus de la barre située entre les deux poteaux de buts. Cette barre est située à $3$m du sol et le joueur se trouve au milieu du terrain, à $5$m de la ligne de but.

La trajectoire du ballon est modélisée par la courbe d’une fonction $f$ qui, dans le repère $(O;I,J)$ est définie par $f(x)=x-\dfrac{x^2}{10}$.

  1. Avec cette modélisation, à quelle distance du joueur le ballon retombera-t-il?
    $\quad$
  2. Quel est le maximum de la fonction $f$?
    $\quad$
  3. D’après cette modélisation, le joueur a-t-il réussi son essai?
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi x-\dfrac{x^2}{10}=0\\
    &\ssi x\left(1-\dfrac{x}{10}\right)=0
    \end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    On est donc amené à résoudre les équation :
    $x=0$ et $1-\dfrac{x}{10}=0$
    Par conséquent $x=0$ ou $x=10$.
    La valeur $0$ correspond à la position initiale du ballon.
    La valeur $10$ correspond à la distance à laquelle le ballon retombe.
    $\quad$
  2. Le maximum de la fonction est obtenu pour $-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{\dfrac{2}{10}}=5$.
    Et ce maximum vaut $f(5)=5-\dfrac{5^2}{10}=2,5$.
    $\quad$
  3. $f(5)<3$ : l’essai ne sera pas transformé.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Dans un magasin de jouets, le directeur effectue son bilan mensuel. Au mois d’octobre, son chiffre d’affaires est de $20~000$€. Au cours du mois de novembre, le chiffre d’affaires est en hausse de $x\%$. Au mois de décembre, en raison des fêtes de Noël, il améliore la hausse du mois de novembre de $10$ points de pourcentage d’évolution, ce qui signifie que le chiffre d’affaires est en hausse de $(x+10)\$.

  1. Montrer que le chiffre d’affaires au mois de décembre est : $D(x)=2x^2+420x+22~000$.
    $\quad$
  2. Le chiffre d’affaires du mois de décembre est de $31~200$€. Déterminer la valeur de $x$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Au mois de novembre le chiffre d’affaire est $N(x)=20~000\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)$
    Au mois de décembre le chiffre d’affaire est :
    $\begin{align*} D(x)&=20~000\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{x+10}{100}\right)\\
    &=(20~000+200x)\times \left(1,1+\dfrac{x}{100}\right) \\
    &=22~000+200x+220x+2x^2 \\
    &=2x^2+420x+22~000
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’équation
    $\begin{align*} D(x)=31~200&\ssi 2x^2+420x+22~000=31~200\\
    &\ssi 2x^2+420x-9~200=0
    \end{align*}$
    On calcule le discriminant avec $a=2$, $b=420$ et $c=-9~200$.
    $\Delta=b^2-4ac=420^2+73~600=250~000>0$.
    Il y a donc $2$ solutions réelles :
    $x_1=\dfrac{-420-\sqrt{250~000}}{4}=-230$ et $x_2=\dfrac{-420+\sqrt{250~000}}{4}=20$.
    Il y a une augmentation donc $x$ est positif.
    Le chiffre d’affaires était donc en hausse de $20\%$ au mois de novembre.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Sur un terrain limité par une rivière, on construit une clôture rectangulaire $ABCD$ (mais on ne fait pas de clôture sur le côté $[AD]$, le long de la rivière).

On appelle $p$ la longueur totale de la clôture.

On veut déterminer les dimensions du rectangle $ABCD$ pour que son aire soit maximale.

Dans cet exercice, l’unité est le mètre.

  1. On pose $x=AB$. Montrer que l’aire du rectangle $ABCD$ vaut $f(x)=-2x^2+px$.
    $\quad$
  2. Déterminer la forme canonique de $f$.
    $\quad$
  3. Répondre à l’objectif du problème.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Faisons un schéma :

    $[AB]$ et $[CD]$ mesurent $x$ mètres.
    La longueur totale de la clôture est de $p$ mètres.
    Par conséquent $BC=p-2x$.
    Ainsi  l’aire du rectangle $ABCD$ est :
    $f(x)=AB \times BC = px-2x^2=-2x^2+px$
    $\quad$
  2. La forme canonique de $f(x)$ est :
    $\begin{align*} f(x)&=-2x^2+px \\
    &=-2\left(x^2-\dfrac{px}{2}\right) \\
    &=-2\left(x^2-2\times \dfrac{p}{4}\times x\right) \\
    &=-2\left(\left(x-\dfrac{p}{4}\right)^2-\dfrac{p^2}{16} \right) \\
    &=-2\left(x-\dfrac{p}{4}\right)^4-\dfrac{p^2}{8}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Le maximum est donc atteint quand $x=\dfrac{p}{4}$.
    Ainsi $AB=\dfrac{p}{4}$ et $BC=\dfrac{p}{2}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

  1. Résoudre, dans $\R$, l’équation $x^2+x-6=0$.
    $\quad$
  2. En déduire la résolution de :
    a. $X^4+X^2-6=0$
    $\quad$
    b. $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}-6=0$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $x^2+x-6=0$
    On calcule le discriminant avec $a=1$, $b=1$ et $c=-6$.
    $\Delta = b^2-4ac=1+24=25>0$.
    Il y a donc deux solutions réelles :
    $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{2}=-3$ et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2}=2$.
    $\quad$
  2. a. $X^4+X^2-6=0\quad (1)$
    On pose $x=X^2$.
    On obtient ainsi l’équation $x^2+x-6=0$.
    D’après la question 1. on a $x=-3$ ou $x=2$.
    Par conséquent $X^2=-3$ ou $X^2=2$.
    L’équation $X^2=-3$ ne possède pas de solution.
    L’équation $X^2=2$ possède deux solutions : $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$.
    Les solutions de l’équation $(1)$ sont donc $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$.
    Remarque : On dit que l’équation $(1)$ est une équation bicarré.
    $\quad$
    b. $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}-6=0 \quad (2)$
    On pose $X=\dfrac{1}{x}$.
    On obtient ainsi l’équation $X^2+X-6=0$.
    D’après la question 1. on a donc $X=-3$ ou $X=2$.
    Par conséquent $\dfrac{1}{x}=-3$ ou $\dfrac{1}{x}=2$.
    Ainsi $x=-\dfrac{1}{3}$ ou $x=\dfrac{1}{2}$.
    L’équation $(2)$ possède donc deux solutions : $-\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$

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$\quad$