1S – Exercices – 2nd degré – Fiche 3

Second degré

Signe des polynômes

Exercice 1 : Avec les racines données

Dresser les tableaux de signes des polynômes suivants, connaissant leurs racines :

  1. $P(x)=2x^2-8x+6$ $\quad$ Racines : $1$ et $3$
    $\quad$
  2. $Q(x)=-3x^2-11x+4$ $\quad$ Racines : $\dfrac{1}{3}$ et $-4$
    $\quad$
  3. $R(x)=x^2-10x+28$ $\quad$ Pas de racine
    $\quad$
  4. $S(x)=-2x^2-8x-11$ $\quad$ Pas de racine
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $P(x)=2x^2-8x+6$ $\quad$ Racines : $1$ et $3$
    Le coefficient principal est $a=2>0$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  2. $Q(x)=-3x^2-11x+4$ $\quad$ Racines : $\dfrac{1}{3}$ et $-4$
    Le coefficient principal est $a=-3<0$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  3. $R(x)=x^2-10x+28$ $\quad$ Pas de racineLe coefficient principal est $a=1>0$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  4. $S(x)=-2x^2-8x-11$ $\quad$ Pas de racine
    Le coefficient principal est $a=-2<0$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

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$\quad$


$\quad$

Exercice 2 : Avec les racines à déterminer

Dresser les tableaux de signes des polynômes suivants :

  1. $A(x)=x^2-9$
    $\quad$
  2. $B(x)=-2x^2-8x$
    $\quad$
  3. $C(x)=(5-x)^2$
    $\quad$
  4. $D(x)=16-25x^2$
    $\quad$
  5. $E(x)=x^2+1$
    $\quad$
  6. $F(x)=3x-2x^2-1$
    $\quad$
  7. $G(x)=2x-x^2-1$
    $\quad$
  8. $H(x)=-3x^2$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $A(x)=x^2-9$
    Donc $A(x)=(x-3)(x+3)$
    Le polynôme possède deux racines : $-3$ et $3$.
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Par conséquent, on obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  2. $B(x)=-2x^2-8x$
    Donc $B(x)=-2x(x+4)$
    Le polynôme possède deux racines : $0$ et $-4$.
    Le coefficient principal est $a=-2<0$.
    Par conséquent, on obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  3. $C(x)=(5-x)^2$
    Le polynôme possède une seule racine $5$.
    Son coefficient principal est $a=1>0$.
    Par conséquent, on obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$
  4. $D(x)=16-25x^2=4^2-(5x)^2=(4-5x)(4+5x)$
    Le polynôme possède donc deux racines $-\dfrac{4}{5}$ et $\dfrac{4}{5}$.
    Son coefficient principal est $a=-25<0$.
    Par conséquent, on obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  5. $E(x)=x^2+1$
    Un carré est toujours positif. Donc pour tout réel $x$ on a $E(x) >0$.
    Par conséquent, on obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  6. $F(x)=3x-2x^2-1$
    On calcule le discriminant avec $a=-2$, $b=3$ et $c=-1$.
    $\Delta = b^2-4ac=9-8=1>0$
    Il y a donc deux racines réelles : $x_1=\dfrac{-3-1}{-4}=1$ et $x_2=\dfrac{-3+1}{-4}=\dfrac{1}{2}$.
    Le coefficient principal est $a=-2<0$.
    Par conséquent, on obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  7. $G(x)=2x-x^2-1$
    On calcule le discriminant avec $a=-1$, $b=2$ et $c=-1$.
    $\Delta = b^2-4ac=4-4=0$
    Il n’y a donc qu’une seule racine $-\dfrac{b}{2a}=1$.
    On pouvait également remarquer que $G(x)=-\left(x^2-2x+1\right)=-(x-1)^2$
    Le coefficient principal est $a=-1<0$.
    Par conséquent, on obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  8. $H(x)=-3x^2$
    Pour tout réel $x$, on a $x^2 \pg 0$.
    Donc $H(x) \pp 0$ et sa seule racine est $0$.

    $\quad$

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