Second degré

Résolution d’inéquations

Exercice 1

Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :

$2x^2-5x+3>0$
$\quad$
$\dfrac{2x^2-12x+19}{x-2} \pp 0$
$\quad$
$\dfrac{-6x^2-9x-3}{-x^2+8x-17}>0$
$\quad$
$(2x-6)(4-4x)>0$
$\quad$
$-2x(x-2)\left(x^2-8x+16\right)>0$
$\quad$
$\dfrac{5\left(7x+5-6x^2\right)}{-3(1-x)^2} \pg 0$
$\quad$

Correction Exercice 1

On doit résoudre l’inéquation $2x^2-5x+3>0$
On calcule le discriminant de $A(x)=2x^2-5x+3$ avec $a=2$, $b=-5$ et $c=3$.
$\Delta = b^2-4ac = 25-24=1>0$
Il y a donc deux racines réelles :
$x_1=\dfrac{5-1}{4}=1$ et $x_2=\dfrac{5+1}{4}=\dfrac{3}{2}$.
Le coefficient principal est $a=2>0$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

La solution de l’inéquation est donc $]-\infty;1[\cup\left]\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
$\quad$
On doit résoudre l’inéquation $\dfrac{2x^2-12x+19}{x-2} \pp 0$
On calcule le discriminant de $B(x)=2x^2-12x+19$ avec $a=2$, $b=-12$ et $c=19$.
$\Delta = b^2-4ac=144-152=-8<0$.
Le coefficient principal est $a=2>0$. Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $B(x) > 0$.
Le signe de $\dfrac{2x^2-12x+19}{x-2}$ ne dépend donc que de celui de $x-2$.
$x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$
La solution de l’inéquation est donc $]-\infty;2[$.
$\quad$
On doit résoudre l’inéquation $\dfrac{-6x^2-9x-3}{-x^2+8x-17}>0$
$\bullet$ On va calculer le discriminant de $C(x)=-6x^2-9x-3$ avec $a=-6$, $b=-9$ et $c=-3$
$\Delta = b^2-4ac=81-72=9>0$
Il y a donc deux racines $x_1=\dfrac{9-\sqrt{9}}{-12}=-\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{9+\sqrt{9}}{-12}=-1$.
$\bullet$ On va calculer le discriminant de $D(x)=-x^2+8x-17$ avec $a=-1$, $b=8$ et $c=-17$
$\Delta = b^2-4ac=64-68=-4<0$
Ce polynôme ne possède donc pas de racines réelles.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

La solution de l’inéquation est donc $]-\infty;-1[\cup\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
$\quad$
On doit résoudre l’inéquation $(2x-6)(4-4x)>0$
$2x-6=0 \ssi x=3$ et $2x-6>0 \ssi x>3$
$4-4x=0 \ssi x=1$ et $4-4x>0 \ssi x<1$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

La solution de l’inéquation est donc $]1;3[$.
$\quad$
On doit résoudre l’inéquation $-2x(x-2)\left(x^2-8x+16\right)>0$
$\bullet$ $-2x=0 \ssi x=0$ et $-2x>0 \ssi x<0$
$\bullet$ $x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$
$\bullet$ $x^2-8x+16=(x-4)^2$ or $(x-4)^2 \pg 0$ pou tout réel $x$ et $(x-4)^2=0 \ssi x=4$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

La solution de l’inéquation est donc $]0;2[$.
$\quad$
On doit résoudre l’inéquation $\dfrac{5\left(7x+5-6x^2\right)}{-3(1-x)^2} \pg 0$
$\bullet$ On calcule le discriminant de $7x+5-6x^2$ avec $a=-6$, $b=7$ et $c=5$.
$\Delta = b^2-4ac=49+120=169>0$
Il y a donc deux racines réelles : $x_1=\dfrac{-7-\sqrt{169}}{-12}=\dfrac{5}{3}$ et $x_2=\dfrac{-7+\sqrt{169}}{-12}=-\dfrac{1}{2}$
$\bullet$ $-3(1-x)^2 \pp 0$ car un carré est toujours positif ou nul. et $-3(1-x)^2=0 \ssi x=1$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

La solution de l’inéquation est donc $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[\dfrac{5}{3};+\infty\right[$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :

$\dfrac{1}{x}>\dfrac{x}{x+2}$
$\quad$
$\dfrac{x}{x+1} \pp \dfrac{3}{(x+1)(x-2)}$
$\quad$
$\dfrac{x}{(x-2)^2} \pg 1+\dfrac{3}{x-2}$
$\quad$
$\dfrac{2}{x+3}<-x$
$\quad$

Correction Exercice 2

$\dfrac{1}{x}>\dfrac{x}{x+2}$
$\ssi \dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x+2}>0$
$\ssi \dfrac{x+2-x^2}{x(x+2)}>0$
$\bullet$ On calcule le discriminant de $x+2-x^2$ avec $a=-1$, $b=1$ et $c=2$.
$\Delta = b^2-4ac=1+8=9>0$
Il y a donc deux racines réelles : $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{-2}=2$ et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{-2}=-1$.
$\bullet$ $x(x+2)=0 \ssi x=0$ ou $x=-2$ et $x(x+2)>0 \ssi x\in]-\infty;-2[\cup]0;+\infty[$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

La solution est donc $]-2;-1[\cup]0;2[$.
$\quad$
$\dfrac{x}{x+1} \pp \dfrac{3}{(x+1)(x-2)}$
$\ssi \dfrac{x}{x+1}-\dfrac{3}{(x+1)(x-2)} \pp 0$
$\ssi \dfrac{x(x-2)-3}{(x+1)(x-2)} \pp 0$
$\ssi \dfrac{x^2-2x-3}{(x+1)(x-2)} \pp 0$
$\bullet$ On calcule le discriminant de $x^2-2x-3$ avec $a=1$, $b=-2$ et $c=-3$.
$\Delta = b^2-4ac=4+12=16>0$
Il y a donc deux racines $x_1=\dfrac{2-\sqrt{16}}{2}=-1$ et $x_2=\dfrac{2+\sqrt{16}}{2}=3$.
$\bullet$ $(x+1)(x-2)=0 \ssi x=-1$ ou $x=2$ et $(x+1)(x-2)>0\ssi x\in]-\infty;-1[\cup]2;+\infty[$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

La solution est $]2;3]$.
$\quad$
$\dfrac{x}{(x-2)^2} \pg 1+\dfrac{3}{x-2}$
$\ssi \dfrac{x}{(x-2)^2}-1-\dfrac{3}{x-2} \pg 0$
$\ssi \dfrac{x-(x-2)^2-3(x-2)}{(x-2)^2} \pg 0$
$\ssi \dfrac{x-x^2+4x-4-3x+6}{(x-2)^2} \pg 0$
$\ssi \dfrac{-x^2+2x+2}{(x-2)^2} \pg 0$
$\bullet$ On détermine le discriminant de $-x^2+2x+6$ avec$a=-1$, $b=2$ et $c=2$.
$\Delta = b^2-4ac=4+8=12>0$
Il y a donc deux racines $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{12}}{-2}=1+\sqrt{3}$ et $x_2=1-\sqrt{3}$
$\bullet$ $(x-2)^2=0 \ssi x=2$ et $(x-2)>0$ pour tout réel $x\neq 0$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

La solution est donc $\left[1-\sqrt{3};2\right[\cup\left]2;1+\sqrt{3}\right]$.
$\quad$
$\dfrac{2}{x+3}<-x$
$\ssi \dfrac{2}{x+3}+x<0$
$\ssi \dfrac{2+x(x+3)}{x+3}<0$
$\ssi \dfrac{x^2+3x+2}{x+3}<0$
$\bullet$ On détermine le discriminant de $x^2+3x+2$ avec $a=1$, $b=3$ et $c=2$.
$\Delta = b^2-4ac=9-8=1>0$
Il y a donc deux racines : $x_1=\dfrac{-3-\sqrt{1}}{2}=-2$ et $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{1}}{2}=-1$.
$\bullet$ $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

La solution est donc $]-\infty;-3[\cup]-2;-1[$.
$\quad$

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