1S – Exercices – Équation de droites 2

Équation de droites

Exercice 1

On considère un repère $\Oij$.

  1. Donner un vecteur directeur de la droite $\Delta$ d’équation $2x+3y+5=0$.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation de la droite $(d)$ parallèle à $\Delta$ et passant par $A(-2;3)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la droite $D$ passant par $A(-2;3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1;-4)$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Une équation cartésienne de la droite $\Delta$ est $2x+3y+5=0$.
    Par conséquent un vecteur directeur de cette droite est $\vec{v}(-3;2)$.
    $\quad$
  2. La droite $(d)$ est parallèle à la droite à $\Delta$.
    Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc de la forme $2x+3y+c=0\quad (1)$.
    Le point $A(-2;3)$ appartient à la droite $(d)$. Les coordonnées du point $A$ sont donc solution de l’équation $(1)$.
    Ainsi $2\times (-2)+3\times 3+c=0 \ssi c=-5$.
    Une équation de la droite $(d)$ est donc $2x+3y-5=0$.
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de la droite $D$ est $\vec{u}(1;-4)$.
    Une équation cartésienne de cette droite est donc $-4x-y+c=0$.
    Le point $A(-2;3)$ appartient à la droite $D$.
    Par conséquent $-4\times (-2)-3+c=0 \ssi c=-5$
    Une équation de la droite $D$ est donc $-4x-y-5=0$ ou encore $4x+y+5=0$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère les droite $D_1$, $D_2$ et $D_3$ définies par leur équation dans un repère $Oij$.

$D_1 : x+2y-1=0$
$D_2 : y=-\dfrac{x}{2}+3$
$D_3 : -2x+3y+5=0$

  1. Les droites $D_1$ et $D_2$ sont-elles parallèles? Si non, déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
    $\quad$
  2. Les droites $D_1$ et $D_3$ sont-elles parallèles? Si non, déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. Un vecteur directeur de $D_1$ est $\vec{u}_1(-2;1)$.
    Un vecteur directeur de $D_2$ est $\vec{u}_2\left(1;-\dfrac{1}{2}\right)$.
    Par conséquent $\vec{u}_1=2\vec{u}_2$.
    Les droites $D_1$ et $D_2$ sont donc parallèles.
    $\quad$
  2. Un vecteur directeur de $D_1$ est $\vec{u}_1(-2;1)$.
    Un vecteur directeur de $D_3$ est $\vec{u}_3(-3;-2)$.
    $-2\times (-2)-1\times (-3)=4+3=7\neq 0$
    Les vecteurs $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_3$ ne sont pas colinéaires. Les droites $D_1$ et $D_3$ ne sont donc pas parallèles.
    Les coordonnées de leur point d’intersection sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x+2y-1=0\\-2x+3y+5=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1-2y\\-2(1-2y)+3y+5=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-2y\\-2+4y+3y+5=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-2y\\7y+3=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-2y\\y=-\dfrac{3}{7}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{13}{7}\\y=-\dfrac{3}{7}\end{cases} \end{align*}$
    Le point d’intersection des droites $D_1$ et $D_3$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{13}{7};-\dfrac{3}{7}\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

À partir du triangle $ABC$, on construit les points $I$ et $J$ tels que : $\vect{AI}=2\vect{AB}$ et $\vect{AJ}=\dfrac{2}{3}\vect{AC}$.

  1. Dans le repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AC}\right)$, donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(IJ)$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la droite $(IJ)$ passe par le milieu $O$ du segment $[BC]$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Dans le repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AC}\right)$, on a :
    $I(2;0)$ et $J\left(0;\dfrac{2}{3}\right)$.
    $\quad$
  2. Un vecteur directeur de la droite $(IJ)$ est $\vect{IJ}\left(-2;\dfrac{2}{3}\right)$.
    Par conséquent, une équation cartésienne de la droite $(IJ)$ est de la forme :
    $\dfrac{2}{3}x+2y+c=0$
    Le point $I(2;0)$ appartient à cette droite; par conséquent :
    $\dfrac{2}{3}\times 2+c=0 \ssi c=-\dfrac{4}{3}$.
    Une équation cartésienne de la droite $(IJ)$ est donc $\dfrac{2}{3}x+2y-\dfrac{4}{3}=0$.
    $\quad$
  3. $O$ est le milieu du segment $[BC]$. Par conséquent $O(0,5;0,5)$.
    Regardons si les coordonnées du point $O$ vérifient l’équation de la droite $(IJ)$.
    $\dfrac{2}{3}\times 0,5+2\times 0,5-\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{3}+1-\dfrac{4}{3}=0$.
    On en déduit donc que le point $O$ appartient à la droite $(IJ)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

$m$ est un réel donné et $D_m$ est la famille de droites d’équation : $$(m+2)x+(2m+2)y+2=0$$

  1. Déterminer et construire la droite $D_0$.
    $\quad$
  2. Déterminer et construire les droites $D_m$ qui sont parallèles aux axes.
    $\quad$
  3. Montrer, de deux façons différentes, que deux droites quelconques $D_m$ ne peuvent pas être parallèles.
    $\quad$
  4. Existe-t-il une droite $D_m$ qui passe par le point $A(3;2)$? une qui passe par $B(-4;2)$?
    $\quad$
  5. Pour quelles valeurs de $m$ les droites $D_m$ ne rencontrent-elles pas la parabole d’équation $y=\dfrac{x^2}{4}$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Une équation cartésienne de $D_0$ est $2x+2y+2=0$ ou également $x+y+1=0$.
    Les points de coordonnées $(-1;0)$ et $(0;-1)$ appartiennent de façon évidente à la droite $D_0$.
    $\quad$
  2. $\bullet$ $D_m$ est parallèle à l’axe des abscisses
    $\ssi m+2=0$
    $\ssi m=-2$
    La droite $D_{-2}$ a pour équation $-2y+2=0$ soit $y=1$
    $\quad$
    $\bullet$ $D_m$ est parallèle à l’axe des ordonnées
    $\ssi 2m+2=0$
    $\ssi m=-1$
    La droite $D_{-1}$ a pour équation $x+2=0$ soit $x=-2$
  3. Première méthode : montrons que le point $A(-2;1)$ appartient à toutes les droites $D_m$.
    $\begin{align*} (m+2)\times (-2)+(2m+2)\times 1 + 2 &= -2m-4+2m+2+2 \\
    &=0
    \end{align*}$
    Le point $A(-2;1)$ appartient donc à toutes les droites $D_m$. Les droites $D_m$ ont donc un point en commun.
    Montrons que deux droites ne sont pas confondues.
    Supposons qu’il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que $D_a$ et $D_b$ soient confondues.
    La seule parallèle à l’axe des ordonnées est $D_{-1}$. On peut donc considérer le point d’intersection des deux droites $D_a$ et $D_b$ avec l’axe des ordonnées qui a pour coordonnées $(0;y)$.
    On obtient donc :
    Pour $D_a$ : $(2a+2)y+2=0$ soit $y=-\dfrac{2}{2a+2}$
    Pour $D_b$ : $(2b+2)y+2=0$ soit $y=-\dfrac{2}{2b+2}$
    On a donc $-\dfrac{2}{2a+2}=-\dfrac{2}{2b+2} \ssi a=b$.
    Deux droites quelconques $D_m$ ne peuvent donc pas être parallèles.
    $\quad$
    Deuxième méthode : Un vecteur directeur de $D_m$ est $\vec{u}_m(-2m-2;m+2)$.
    On considère deux réels quelconques $a$ et $b$. Les vecteurs directeurs associés sont donc :
    $\vec{u}_a(-2a-2;a+2)$ et $\vec{u}_b(-2b-2;b+2)$.
    Les droites $D_a$ et $D_b$ sont parallèles
    $\ssi$ $\vec{u}_a$ et $\vec{u}_b$ sont colinéaires
    $\ssi (-2a-2)(b+2)-(a+2)(-2b-2)=0$
    $\ssi -2ab-4a-2b-4-(-2ab-2a-4b-4)=0$
    $\ssi -2ab-4a-2b-4+2ab+2a+4b+4=0$
    $\ssi -2a+2b=0$
    $\ssi a=b$
    Deux droites distinctes $D_m$ ne sont donc jamais parallèles.
    $\quad$
  4. $\bullet$ Existe-t-il un réel $m$ tel que le point $A(3;2)$ appartienne à la droite $D_m$?
    $3(m+2)+2(2m+2)+2=0$
    $\ssi 3m+6+4m+4+2=0$
    $\ssi 7m+12=0$
    $\ssi m=-\dfrac{12}{7}$
    Par conséquent le point $A$ appartient à la droite $D_{-\frac{12}{7}}$.
    $\quad$
    $\bullet$ Existe-t-il un réel $m$ tel que le point $B(-4;2)$ appartienne à la droite $D_m$?
    $-4(m+2)+2(2m+2)+2=0$
    $\ssi -4m-8+4m+4+2=0$
    $\ssi -2=0$
    Par conséquent le point $B$ n’appartient à aucune droite $D_m$.
    $\quad$
  5. $\dfrac{(-2)^2}{4}=1$ donc le point $A(-2;1)$ appartient à toutes les droites $D_m$ ainsi qu’à la parabole d’équation $y=\dfrac{x^2}{4}$.
    Les droites $D_m$ rencontrent donc toujours cette parabole.
    $\quad$

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