1. Une équation de la droite $T_A$ est de la forme $y=ax+b$.
   Les points $A(0;2)$ et $B(2;0)$ appartiennent à la droite $T_A$.
   Donc $a=\dfrac{0-2}{2-0}=-1$.
   Le point $A(0;2)$ appartient à $T_A$ donc $b=2$.
   Ainsi une équation de $T_A$ est $y=-x+2$.
   $\quad$
2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $0$ est $f'(0)$.
   Par conséquent $f'(0)=-1$.
   $\quad$

La droite $T_A$ est parallèle à l’axe des abscisses. Puisque $T_A$ est la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $1$, cela signifie que $f'(1)=0$.

$\quad$

1. Une équation de la droite $T_A$ est de la forme $y=ax+b$.
   Les points $A(-2;1)$ et $B(-3;3)$ appartiennent à la droite $T_A$.
   Donc $a=\dfrac{3-1}{-3-(-2)}=-2$.
   Une équation de $T_A$ est par conséquent de la forme $y=-2x+b$.
   Le point $A(-2;1)$ appartient à la droite. Ses coordonnées vérifient donc l’équation de $T_A$.
   $1=-2\times (-2)+b \ssi b=-3$
   Une équation de $T_A$ est alors $y=-2x-3$.
   $\quad$
2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $-2$ est $f'(-2)$.
   Par conséquent $f'(-2)=-2$.
   $\quad$

1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
   Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $a=0$ est $y=f'(0)\left(x-0\right)+f(0)$.
   $f'(x)=3x^2-3$
   Donc $f'(0)=-3$
   De plus $f(0)=1$.
   Une équation de la tangente est par conséquent $y=-3x+1$.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty;3[\cup]3;+\infty[$.
   Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $a=1$ est $y=f'(1)\left(x-1\right)+f(1)$.
   Pour déterminer l’expression de $f’$ on applique la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=x^2$ et $v(x)=3x-9$.
   Donc $u'(x)=2x$ et $v'(x)=3$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x(3x-9)-3(x^2)}{(3x-9)^2} \\
   &=\dfrac{6x^2-18x-3x^2}{(3x-9)^2}\\
   &=\dfrac{3x^2-18x}{(3x-9)^2}
   \end{align*}$
   Ainsi $f'(1)= -\dfrac{5}{12}$
   De plus $f(1)=-\dfrac{1}{6}$
   Une équation de la tangente est par conséquent $y=-\dfrac{5}{12}(x-1)-\dfrac{1}{6}$ soit $y=-\dfrac{5}{12}x+\dfrac{1}{4}$
   $\quad$
3. La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$.
   Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $a=2$ est $y=f'(2)\left(x-2\right)+f(2)$.
   Pour déterminer l’expression de $f’$ on applique la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=x+1$ et $v(x)=x-1$.
   Donc $u'(x)=1$ et $v'(x)=1$.
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{x-1-(x+1)}{(x-1)^2} \\
   &=\dfrac{-2}{(x-1)^2}
   \end{align*}$
   Donc $f'(2)=-2$
   De plus $f(2)=3$
   Une équation de la tangente est par conséquent $y=-2(x-2)+3$ soit $y=-2x+7$.
   $\quad$
4. La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty;2[\cup]2;+\infty[$.
   Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $a=-2$ est $y=f'(-2)\left(x-(-2)\right)+f(-2)$.
   Pour dériver la fonction $f$ on utilise la formule $\left(\dfrac{1}{u}\right)’=-\dfrac{u’}{u^2}$.
   $\begin{align*} f'(x)&=1+4\left(-\dfrac{1}{(x-2)^2}\right) \\
   &=1-\dfrac{4}{(x-2)^2}
   \end{align*}$
   Donc $f'(-2)=\dfrac{3}{4}$
   De plus $f(-2)=-1$
   Une équation de la tangente est par conséquent $y=\dfrac{3}{4}(x+2)-1$ soit $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}$.

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
Le coefficient directeur de la tangente $\Delta$ est $f'(1)$
$f'(x)=2ax+2$.
Donc $f'(1)=2a+2$.
On veut $f'(1)=-4\ssi 2a+2=-4 \ssi a=-3$.

Ainsi $f(x)=-3x^2+2x+b$.

Le point $A(1;-1)$ appartient à $\mathscr{C}_f$. Par conséquent :
$\begin{align*} f(1)=-1&\ssi -3+2+b=-1 \\
&\ssi b=0
\end{align*}$

Donc $f(x)=-3x^2+2x$.

$\quad$

1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
   Une équation de la tangente $T_a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
   $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ donc $f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}$
   De plus $f(a)=\dfrac{1}{a}$.
   Une équation de $T_a$ est $y=-\dfrac{1}{a^2}(x-a)+\dfrac{1}{a}$ soit $y=-\dfrac{1}{a^2}x+\dfrac{2}{a}$.
   $\quad$
2. Le point $A$ est l’intersection de $\mathscr{C}$ avec l’axe des abscisses.
   Son abscisse vérifie donc l’équation :
   $\begin{align*} -\dfrac{1}{a^2}x+\dfrac{2}{a}=0 &\ssi \dfrac{1}{a^2}x=\dfrac{2}{a} \\
   &\ssi x=2a
   \end{align*}$
   Ainsi $A(2a;0)$.
   Le point $B$ est l’intersection de $\mathscr{C}$ avec l’axe des ordonnées. Donc $x_B=0$.
   $y_B=\dfrac{2}{a}$.
   Ainsi $B\left(0;\dfrac{2}{a}\right)$.
   $\quad$
   Le milieu de $[AB]$ est a donc pour coordonnées :
   $\begin{cases} x=\dfrac{2a+0}{2} \\y=\dfrac{0+\dfrac{2}{a}}{2} \end{cases} \ssi \begin{cases} x=a\\y=\dfrac{1}{a}\end{cases}$.
   Le point $M$ d’abscisse $a$ appartient à $\mathscr{C}$ donc ses coordonnées sont $\left(a;f(a)\right)$ soit $\left(a;\dfrac{1}{a}\right)$.
   Par conséquent le point $M$ est le milieu du segment $[AB]$.
   $\quad$