1S – Exercices – Dérivation – Variations

Dérivation

Exercice 1

Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes :

  1. $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-3x^2+12x-5$.
    $\quad$
  2. $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^3-9x^2-21x+4$.
    $\quad$
  3. $h$ définie sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{5x-3}{x-1}$.
    $\quad$
  4. $i$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $i(x)=\dfrac{x^3-2x-1}{x^3}$.
    $\quad$
  5. $j$ définie sur $[0;+\infty[$ par $j(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-3x^2+12x-5$.
    $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
    $f'(x)=-3\times 2x+12=-6x+12$
    $-6x+12=0 \ssi x=2$
    $-6x+12>0 \ssi -6x>-12 \ssi x<2$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    La fonction $f$ est donc croissante sur $]-\infty;2]$ et décroissante sur $[2;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^3-9x^2-21x+4$.
    $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
    $g'(x)=3x^2-9\times 2x-21=3x^2-18x-21$.
    Son discriminant est :
    $\Delta = (-18)^2-4\times 3 \times (-21)=576>0$
    Il y a deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{18-\sqrt{576}}{2\times 3}=-1$
    $x_2=\dfrac{18+\sqrt{576}}{2\times 3}=7$
    Puisque $a=3>0$ on obtient le tableau de variation suivant :

    $\quad$
  3. $h$ définie sur $I=]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{5x-3}{x-1}$.
    La fonction $h$ est dérivable sur $I$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas sur $I$.
    $h$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$. On utilise donc la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=5x-3$ et $v(x)=x-1$.
    On a donc $u'(x)=5$ et $v'(x)=1$
    $\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{5(x-1)-(5x-3)}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{5x-5-5x+3}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{-2}{(x-1)^2}
    \end{align*}$
    Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à $I$, on a $h'(x)<0$.
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    La fonction $h$ est donc décroissante sur $]-\infty;1[$ et sur $]1;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $i$ définie sur $I=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $i(x)=\dfrac{x^3-2x-1}{x^3}$.
    La fonction $i$ est dérivable sur $I$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas sur $I$.
    $i$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$. On utilise donc la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=x^3-2x-1$ et $v(x)=x^3$.
    On a donc $u'(x)=3x^2-2$ et $v'(x)=3x^2$
    $\begin{align*} i'(x)&=\dfrac{\left(3x^2-2\right)x^3-3x^2\left(x^3-2x-1\right)}{\left(x^3\right)^2}\\
    &=\dfrac{3x^5-2x^3-3x^5+6x^3+3x^2}{x^6}\\
    &=\dfrac{4x^3+3x^2}{x^6}\\
    &=\dfrac{x^2(4x+3)}{x^6}\\
    &=\dfrac{4x+3}{x^4}
    \end{align*}$
    Pour tout réel $x\in I$, on a $x^4>0$.
    Le signe de $i'(x)$ ne dépend donc que de celui de $4x+3$.
    $4x+3=0\ssi 4x=-3 \ssi x=-\dfrac{3}{4}$
    $4x+3>0 \ssi 4x>3 \ssi x>-\dfrac{3}{4}$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    La fonction $i$ est donc décroissante sur $\left]-\infty;-\dfrac{3}{4}\right]$ et croissante sur $\left[-\dfrac{3}{4};0\right[$ et $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  5. $j$ définie sur $[0;+\infty[$ par $j(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$.
    La fonction $j$ est dérivable sur $I=]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas sur $I$.
    $i$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$. On utilise donc la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=\sqrt{x}$ et $v(x)=x+1$.
    On a donc $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ et $v'(x)=1$
    $\begin{align*} j'(x)&=\dfrac{\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{x+1-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}
    \end{align*}$
    Le signe de $j'(x)$ sur $I$ ne dépend que de celui de $1-x$.
    $1-x=0 \ssi x=1$
    $1-x>0 \ssi x<1$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    La fonction $j$ est donc croissante sur $]0;1]$ et décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+2}$.

Après avoir déterminer l’ensemble de définition de $f$, étudier les variations de la fonction $f$.

$\quad$

Correction Exercice 2

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ vérifiant $x+2\neq 0$ soit $x\neq -2$.

Ainsi l’ensemble de définition de $f$ est $\mathscr{D}_f=]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$.

La fonction $f$ est également dérivable sur cet intervalle en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\mathscr{D_f}$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\mathscr{D}_f$.

$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$. On utilise donc la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=x^2-1$ et $v(x)=x+2$.
On a donc $u'(x)=2x$ et $v'(x)=1$

$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x(x+2)-\left(x^2-1\right)}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+4x-x^2+1}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{x^2+4x+1}{(x+2)^2}
\end{align*}$

Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2+4x+1$.
$\Delta = 4^2-4\times 1\times 1 = 12>0$
Il y a donc deux racines réelles :
$x_1=\dfrac{-4-\sqrt{12}}{2}=-2-\sqrt{3}$ et $x_2=\dfrac{-4+\sqrt{12}}{2}=-2+\sqrt{3}$
Puisque $a=1>0$ on obtient le tableau de variation suivant :

La fonction $f$ est donc croissante sur les intervalles $\left]-\infty;-2-\sqrt{3}\right]$ et $\left[-2+\sqrt{3};+\infty\right[$ et décroissante sur les intervalles $\left[-2-\sqrt{3}-2\right[$ et $\left]-2;-2+\sqrt{3}\right]$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$.

Démontrer que cette fonction admet un minimum qu’on précisera.

$\quad$

Correction Exercice 3

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.

$f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$.

Sur $]0;+\infty[$, on sait que $x^2$ et $x+1$ sont positifs.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-1$.

$x-1=0\ssi x=1$
$x-1>0 \ssi x>1$

On obtient par conséquent le tableau de variation suivant :

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2-4}{2x-5}$ et on note $\mathscr{C}_f$ sa représentation graphique.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$ noté $\mathscr{D}_f$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’expression de $f'(x)$.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur son ensemble de définition.
    $\quad$
  4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $3$.
    $\quad$
  5. Donner les coordonnées des points où la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des abcisses.
    $\quad$
  6. Tracer dans un repère orthonormé, la courbe $\mathscr{C}_f$, la droite $T$ et les tangentes trouvées à la question précédente.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ tel que $2x-5\neq 0 \ssi x\neq \dfrac{5}{2}$.
    Ainsi $\mathscr{D}_f=\left]-\infty;\dfrac{5}{2}\right[\cup\left]\dfrac{5}{2};+\infty\right[$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathscr{D}_f$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\mathscr{D}_f$.
    $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$. On utilise donc la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=x^2-4$ et $v(x)=2x-5$.
    On a donc $u'(x)=2x$ et $v'(x)=2$.
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x(2x-5)-2\left(x^2-4\right)}{(2x-5)^2} \\
    &=\dfrac{4x^2-10x-2x^2+8}{(2x-5)^2}\\
    &=\dfrac{2x^2-10x+8}{(2x-5)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2-10x+8=2\left(x^2-5x+4\right)$.
    $\Delta = (-5)^2-4\times 1\times 4=9>0$
    Il y a donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{5-\sqrt{9}}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{5+\sqrt{9}}{2}=4$
    Puisque $a=1>0$, on obtient ainsi le tableau de variation suivant :
  4. Une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $3$ est de la forme $y=f'(3)(x-3)+f(3)$.
    $f'(3)=-4$ et $f(3)=5$
    Ainsi une équation de $T$ est $y=-4(x-3)+5$ soit $y=-4x+17$.
    $\quad$
  5. Une tangente est parallèle à l’axe des abscisses si et seulement si son coefficient directeur est $0$.
    On cherche donc à résoudre, dans $\mathscr{D}_f$, l’équation
    $f'(x)=0 \ssi x=1$ ou $x=4$
    $\quad$
  6. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$

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