1S – Exercices – Dérivation

Dérivation

Exercice 1 

Dans chacun des cas, fournir l’expression de la dérivée de la fonction dont l’expression algébrique est fournie, en utilisant la dérivée de $u+v$.

  1. $f(x)=x^2+1$
    $\quad$
  2. $g(x)=x+\sqrt{x}$
    $\quad$
  3. $h(x)=x^3+x^2$
    $\quad$
  4. $i(x)=x^3+x+\dfrac{1}{x^2}$
    $\quad$
  5. $j(x)=\dfrac{4x+1}{x}$
    $\quad$
  6. $k(x)=x^2+x+4+\dfrac{1}{x}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

On a $(u+v)’=u’+v’$.

  1. $f(x)=x^2+1$
    $u(x)=x^2$ et $v(x)=1$.
    Donc $u'(x)=2x$ et $v'(x)=0$.
    Par conséquent $f'(x)=2x$.
    $\quad$
  2. $g(x)=x+\sqrt{x}$
    $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x}$.
    Donc $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    Par conséquent $g'(x)=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    $\quad$
  3. $h(x)=x^3+x^2$
    $u(x)=x^3$ et $v(x)=x^2$
    Donc $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=2x$.
    Par conséquent $h'(x)=3x^2+2x$.
    $\quad$
  4. $i(x)=x^3+x+\dfrac{1}{x^2}=x^3+x+x^{-2}$
    $u(x)=x^3$, $v(x)=x$ et $w(x)=x^{-2}$.
    Donc $u'(x)=3x^2$, $v'(x)=1$ et $w'(x)=-2x^{-3}$ (utilisation de la dérivée de $x^n$ avec $n=-2$).
    Par conséquent
    $\begin{align*} i'(x)&=3x^2+1-2x^{-3}\\
    &=3x^2+1-\dfrac{2}{x^3}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $j(x)=\dfrac{4x+1}{x}$
    $\phantom{j(x)}=\dfrac{4x}{x}+\dfrac{1}{x}$
    $\phantom{j(x)}=4+\dfrac{1}{x}$
    $u(x)=4$ et $v(x)=\dfrac{1}{x}$.
    Donc $u'(x)=0$ et $v'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.
    Par conséquent $j'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$
    $\quad$
  6. $k(x)=x^2+x+4+\dfrac{1}{x}$
    $u(x)=x^2$, $v(x)=x$, $w(x)=4$ et $t(x)=\dfrac{1}{x}$.
    Donc $u'(x)=2x$, $v'(x)=1$, $w'(x)=0$ et $t'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.
    Par conséquent $k'(x)=2x+1-\dfrac{1}{x^2}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2 

Dans chacun des cas, fournir l’expression de la dérivée de la fonction dont l’expression algébrique est fournie, en utilisant la dérivée de $ku$.

  1. $f(x)=\dfrac{x^4}{5}$
    $\quad$
  2. $g(x)=-\dfrac{1}{x}$
    $\quad$
  3. $h(x)=\dfrac{1}{5x}$
    $\quad$
Correction Exercice 2

On utilise la formule $(ku)’=ku’$ où $k$ est un réel.

  1. $f(x)=\dfrac{x^4}{5} = \dfrac{1}{5}x^4$
    $k=\dfrac{1}{5}$ et $u(x)=x^4$.
    Donc $u'(x)=4x^3$.
    Par conséquent $f'(x)=\dfrac{1}{5}\times 4x^3=\dfrac{4}{5}x^3$.
    $\quad$
  2. $g(x)=-\dfrac{1}{x}$
    $k=-1$ et $u(x)=\dfrac{1}{x}$.
    Donc $u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.
    Par conséquent $g'(x)=-\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{1}{x^2}$.
    $\quad$
  3. $h(x)=\dfrac{1}{5x}=\dfrac{1}{5}\times \dfrac{1}{x}$
    $k=\dfrac{1}{5}$ et $u(x)=\dfrac{1}{x}$.
    Donc $u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.
    Par conséquent $h'(x)=\dfrac{1}{5}\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=-\dfrac{1}{5x^2}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3 

Dans chacun des cas, fournir l’expression de la dérivée de la fonction dont l’expression algébrique est fournie, en utilisant la dérivée d’un polynôme.

  1. $f(x)=3x^2-5x$
    $\quad$
  2. $g(x)=-4x^2+3x$
    $\quad$
  3. $h(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+3$
    $\quad$
  4. $i(x)=4x^3-\dfrac{2}{3}x^2+6$
    $\quad$
  5. $j(x)=\dfrac{x^2-2x+6}{3}$
    $\quad$
  6. $k(x)=3x^5+7x^2+1$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x)=3x^2-5x$
    $\begin{align*} f'(x)&=3\times 2x-5\\
    &=6x-5
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $g(x)=-4x^2+3x$
    $\begin{align*} g'(x)&=-4\times 2x+3\\
    &=-8x+3
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $h(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+3$
    $\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{1}{2}\times 2x-\dfrac{1}{2} \\
    &=x-\dfrac{1}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $i(x)=4x^3-\dfrac{2}{3}x^2+6$
    $\begin{align*} i'(x)&=4\times 3x^2-\dfrac{2}{3}\times 2x \\
    &=12x^2-\dfrac{4}{3}x
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $j(x)=\dfrac{x^2-2x+6}{3}=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}x+2$
    $\begin{align*} j'(x)&=\dfrac{1}{3}\times 2x-\dfrac{2}{3} \\
    &=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{2}{3} \\
    &=\dfrac{2}{3}(x-1)
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. $k(x)=3x^5+7x^2+1$
    $\begin{align*} k'(x)&=3\times 5x^4+7\times 2x \\
    &=15x^4+14x
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Dans chacun des cas, fournir l’expression de la dérivée de la fonction dont l’expression algébrique est fournie, en utilisant la dérivée de $uv$.

  1. $f(x)=x\sqrt{x}$
    $\quad$
  2. $g(x)=\dfrac{1}{x}\sqrt{x}$
    $\quad$
  3. $h(x)=\left(\sqrt{x}+1\right)^2$
    $\quad$
  4. $i(x)=x^2(2x+4)$
    $\quad$
  5. $j(x)=\dfrac{1}{x^5}(3-x)$
    $\quad$
  6. $k(x)=(4x-1)\dfrac{1}{x^6}$
    $\quad$
Correction Exercice 4

On utilise la formule $(uv)’=u’v+uv’$

  1. $f(x)=x\sqrt{x}$
    $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x}$
    Donc $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \sqrt{x}+x\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\
    &=\sqrt{x}+\dfrac{x}{2\sqrt{x}} \\
    &=\dfrac{2x+x}{2\sqrt{x}} \\
    &=\dfrac{3x}{2\sqrt{x}}\\
    &=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $g(x)=\dfrac{1}{x}\sqrt{x}$
    $u(x)=\dfrac{1}{x}$ et $v(x)=\sqrt{x}$
    Donc $u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    $\begin{align*} g'(x)&=-\dfrac{1}{x^2}\times \sqrt{x}+\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\
    &=-\dfrac{\sqrt{x}}{x^2}+\dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \\
    &=\dfrac{-2x+x}{2x^2\sqrt{x}} \\
    &=-\dfrac{x}{2x^2\sqrt{x}}\\
    &=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $h(x)=\left(\sqrt{x}+1\right)^2=\left(\sqrt{x}+1\right)\times \left(\sqrt{x}+1\right)$
    $u(x)=\left(\sqrt{x}+1\right)$ et $v(x)=\left(\sqrt{x}+1\right)$
    Donc $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    $\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\left(\sqrt{x}+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\left(\sqrt{x}+1\right) \\
    &=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\left(\sqrt{x}+1\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $i(x)=x^2(2x+4)$
    $u(x)=x^2$ et $v(x)=2x+4$
    Donc $u'(x)=2x$ et $v'(x)=2$
    $\begin{align*} i'(x)&=2x(2x+4)+x^2\times 2\\
    &=4x^2+8x+2x^2\\
    &=6x^2+8x
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $j(x)=\dfrac{1}{x^5}(3-x)$
    $u(x)=\dfrac{1}{x^5}=x^{-5}$ et $v(x)=(3-x)$
    Donc $u'(x)=-5x^{-6}=-\dfrac{5}{x^6}$ et $v'(x)=-1$
    $\begin{align*} j'(x)&=-\dfrac{5}{x^6}(3-x)+\dfrac{1}{x^5}\times (-1)\\
    &=\dfrac{5(x-3)}{x^6}-\dfrac{1}{x^5} \\
    &=\dfrac{5x-15-x}{x^6}\\
    &=\dfrac{4x-15}{x^6}
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. $k(x)=(4x-1)\dfrac{1}{x^6}$
    $u(x)=4x-1$ et $v(x)=\dfrac{1}{x^6}=x^{-6}$
    Donc $u'(x)=4$ et $v'(x)=-6x^{-7}=-\dfrac{6}{x^7}$
    $\begin{align*} k'(x)&=4\times \dfrac{1}{x^6}+(4x-1)\times \dfrac{-6}{x^7} \\
    &=\dfrac{4}{x^6}-\dfrac{6(4x-1)}{x^7} \\
    &=\dfrac{4x-24x+6}{x^7} \\
    &=\dfrac{6-20x}{x^7}
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Dans chacun des cas, fournir l’expression de la dérivée de la fonction dont l’expression algébrique est fournie, en utilisant la dérivée de $\dfrac{1}{u}$.

  1. $f(x)=\dfrac{1}{x^3-4}$
    $\quad$
  2. $g(x)=\dfrac{1}{1-x}$
    $\quad$
  3. $h(x)=\dfrac{1}{-x^2+5x+7}$
    $\quad$
Correction Exercice 5

On utilise la formule $\left(\dfrac{1}{u}\right)’=-\dfrac{u’}{u^2}$.

  1. $f(x)=\dfrac{1}{x^3-4}$
    $u(x)=x^3-4$ donc $u'(x)=3x^2$
    $f'(x)=-\dfrac{3x^2}{\left(x^3-4\right)^2}$
    $\quad$
  2. $g(x)=\dfrac{1}{1-x}$
    $u(x)=1-x$ donc $u'(x)=-1$
    $f'(x)=-\dfrac{-1}{(1-x)^2}=\dfrac{1}{(1-x)^2}$
    $\quad$
  3. $h(x)=\dfrac{1}{-x^2+5x+7}$
    $u(x)=-x^2+5x+7$ donc $u'(x)=-2x+5$
    $h'(x)=-\dfrac{-2x+5}{\left(-x^2+5x+7\right)^2}=\dfrac{2x-5}{\left(-x^2+5x+7\right)^2}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Dans chacun des cas, fournir l’expression de la dérivée de la fonction dont l’expression algébrique est fournie, en utilisant la dérivée de $\dfrac{u}{v}$.

  1. $f(x)=\dfrac{x^3}{\sqrt{x}}$
    $\quad$
  2. $g(x)=\dfrac{2\sqrt{x}}{x^2-4}$
    $\quad$
  3. $h(x)=\dfrac{x^4+1}{x^3-1}$
    $\quad$
Correction Exercice 6

On utilise la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$

  1. $f(x)=\dfrac{x^3}{\sqrt{x}}$
    $u(x)=x^3$ et $v(x)=\sqrt{x}$
    Donc $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{3x^2\sqrt{x}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times x^3}{\left(\sqrt{x}\right)^2} \\
    &=\dfrac{3x^2\sqrt{x}-\dfrac{x^3}{2\sqrt{x}}}{x} \\
    &=3x\sqrt{x}-\dfrac{x^2}{2\sqrt{x}}\\
    &=\dfrac{3x\times 2x-x^2}{2\sqrt{x}}\\
    &=\dfrac{5x^2}{2\sqrt{x}}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $g(x)=\dfrac{2\sqrt{x}}{x^2-4}$
    $u(x)=2\sqrt{x}$ et $v(x)=x^2-4$
    Donc $u'(x)=2\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ et $v(x)=2x$.
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{\dfrac{x^2-4}{\sqrt{x}}-2x\times 2\sqrt{x}}{\left(x^2-4\right)^2} \\
    &=\dfrac{\dfrac{x^2-4}{\sqrt{x}}-\dfrac{4x\times x}{\sqrt{x}}}{\left(x^2-4\right)^2} \\
    &=\dfrac{x^2-4-4x^2}{\left(x^2-4\right)^2\sqrt{x}}\\
    &=\dfrac{-3x^2-4}{\left(x^2-4\right)^2\sqrt{x}}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $h(x)=\dfrac{x^4+1}{x^3-1}$
    $u(x)=x^4+1$ et $v(x)=x^3-1$
    Donc $u'(x)=4x^3$ et $v'(x)=3x^2$
    $\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{4x^3\left(x^3-1\right)-3x^2\left(x^4+1\right)}{\left(x^3-1\right)^2} \\
    &=\dfrac{4x^6-4x^3-3x^6-3x^2}{\left(x^3-1\right)^2} \\
    &=\dfrac{x^6-4x^3-3x^2}{\left(x^3-1\right)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Dans chacun des cas, fournir l’expression de la dérivée de la fonction dont l’expression algébrique est fournie.

  1. $f(x)=\dfrac{4}{x^2-1}$
    $\quad$
  2. $g(x)=\dfrac{x^2-1}{1-x}$
    $\quad$
  3. $h(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2}$
    $\quad$
  4. $i(x)=3x^2-2x-\dfrac{1}{x-x^3+1}$
    $\quad$
  5. $j(x)=3x+\dfrac{1}{2x}-\sqrt{x}$
    $\quad$
  6. $k(x)=\dfrac{x}{3x^2}-x+\sqrt{7x}$
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $f(x)=\dfrac{4}{x^2-1} = 4\times \dfrac{1}{x^2-1}$
    On utilise la dérivée de $ku$ et de $\dfrac{1}{u}$
    $k=4$ et $u=x^2-1$ donc $u'(x)=2x$
    $\begin{align*} f'(x)&=4\times \dfrac{2x}{\left(x^2-1\right)^2} \\
    &=\dfrac{8x}{\left(x^2-1\right)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $g(x)=\dfrac{x^2-1}{1-x}$
    On utilise la dérivée de $\dfrac{u}{v}$.
    $u(x)=x^2-1$ et $v(x)=1-x$.
    Donc $u'(x)=2x$ et $v'(x)=-1$.
    $\begin{align*}g'(x)&=\dfrac{2x(1-x)-(-1)\left(x^2-1\right)}{(1-x)^2} \\
    &=\dfrac{2x-2x^2+x^2-1}{(1-x)^2} \\
    &=\dfrac{-x^2+2x-1}{(1-x)^2} \\
    &=\dfrac{-\left(x^2-2x+1\right)}{(1-x)^2}\\
    &=\dfrac{-(1-x)^2}{(1-x)^2} \\
    &=-1
    \end{align*}$
    Remarque : valable pour tout $x\neq 1$
    $\quad$
  3. $h(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2}$
    On utilise la dérivée de $\dfrac{u}{v}$.
    $u(x)=x^2-1$ et $v(x)=x^2$.
    Donc $u'(x)=2x$ et $v'(x)=2x$.
    $\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{2x\times x^2-2x\left(x^2-1\right)}{\left(x^2\right)^2} \\
    &=\dfrac{2x^3-2x^3+2x}{x^4} \\
    &=\dfrac{2x}{x^4} \\
    &=\dfrac{2}{x^3}
    \end{align*}$
    Remarque : On pouvait aussi écrire $h(x)=1-\dfrac{1}{x^2}$ et on utilise la dérivée de $u+v$ et de $\dfrac{1}{u}$.

    $\quad$

  4. $i(x)=3x^2-2x-\dfrac{1}{x-x^3+1}$
    $\begin{align*} i'(x)&=3\times 2x-2-\left(-\dfrac{1-3x^2}{\left(x-x^3+1\right)^2}\right) \\
    &=6x-2+\dfrac{1-3x^2}{\left(x-x^3+1\right)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $j(x)=3x+\dfrac{1}{2x}-\sqrt{x}$
    $\begin{align*} j'(x)&=3+\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)-\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\
    &3-\dfrac{1}{2x^2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. $k(x)=\dfrac{x}{3x^2}-x+\sqrt{7x}=\dfrac{1}{3x}-x+\sqrt{7}\sqrt{x}$
    $\begin{align*} k'(x)=&=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)-1+\sqrt{7}\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\
    &=-\dfrac{1}{3x^2}-1+\dfrac{\sqrt{7}}{2\sqrt{x}}
    \end{align*}$
    $\quad$

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