Exercices – Les suites (généralités)

Exercice 1

$\left(u_n\right)$ est la suite définie pour tout entier $n\pg 1$ par : $u_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$.

Démontrer que tous les termes de la suite sont strictement positifs.
$\quad$
Montrer que : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n}{n+2}$
$\quad$
En déduire le sens de variations de $\left(u_n\right)$.
$\quad$

Correction Exercice 1

Pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a :
$\begin{align*} u_n&=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \\
&=\dfrac{n+1-n}{n(n+1)} \\
&=\dfrac{1}{n(n+1)} \\
&>0
\end{align*}$
Tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont donc positifs.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a :
$\begin{align*} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}&=\dfrac{\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}}{\dfrac{1}{n(n+1)}} \\
&=\dfrac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)} \\
&=\dfrac{n}{n+2}
\end{align*}$
$\quad$
Tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont positifs et, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $0<\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n}{n+2}<1$.
Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n=3+\dfrac{2}{3n+1}$.

Déterminer, sans calculatrice, les quatre premiers termes.
$\quad$
En utilisant la méthode de votre choix, déterminer le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
$\quad$
Déterminer l’entier $n_0$ tel que, pour tout $n\pg 0$, $\left|v_n-3\right| \pp 0,001$.
$\quad$
Conjecturer alors la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
$\quad$

Correction Exercice 2

On a :
$v_0=3+\dfrac{2}{1}=5$
$v_1=3+\dfrac{2}{3+1}=\dfrac{7}{2}$
$v_2=3+\dfrac{2}{6+1}=\dfrac{23}{7}$
$v_3=3+\dfrac{2}{9+1}=\dfrac{16}{5}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=3+\dfrac{2}{3(n+1)+1}-\left(3+\dfrac{2}{3n+1}\right) \\
&=\dfrac{2}{3n+4}-\dfrac{2}{3n+1} \\
&=\dfrac{2(3n+1)-2(3n+4)}{(3n+4)(3n+1)} \\
&=\dfrac{6n+2-6n-8}{(3n+4)(3n+1)} \\
&=\dfrac{-6}{(3n+4)(3n+1)}\\
&<0
\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante.
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel tel que :
$\begin{align*} \left|v_n-3\right| \pp 0,001 &\ssi \left|\dfrac{2}{3n+1}\right| \pp 0,001 \\
&\ssi \dfrac{2}{3n+1} \pp 0,001 \\
&\ssi 2 \pp 0,001(3n+1) \\
&\ssi 2 \pp 0,003n + 0,001 \\
&\ssi 1,999 \pp 0,003n \\
&\ssi \dfrac{1,999}{0,003} \pp n
\end{align*}$
Or $\dfrac{1,999}{0,003} \approx 666,33$.
Donc $n_0=667$.
$\quad$
On peut donc conjecturer que la limite de la suite $\left(\left|v_n-3\right| \right)$ est $0$ et que par conséquent celle de $\left(v_n\right)$ est $3$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie par $\begin{cases} w_0=3\\w_{n+1}=w_n-(n-3)^2\end{cases}$.

Déterminer, sans calculatrice, les quatre premiers termes.
$\quad$
Conjecturer le sens de variation de la suite.
$\quad$
Démontrer alors votre conjecture.
$\quad$

Correction Exercice 3

On a :
$w_0=3$
$w_1=w_0-(0-3)^2=3-9=-6$
$w_2=w_1-(1-3)^2=-6-4=-10$
$w_3=w_2-(2-3)^2=-10-1=-11$
$\quad$
Il semblerait donc que la suite $\left(w_n\right)$ soit décroissante.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$w_{n+1}-w_n=-(n-3)^2 <0$
La suite $\left(w_n\right)$ est donc décroissante.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté, dans un repère orthonormé, la fonction $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac{2}{x}+1$ ainsi que la droite d’équation $y=x$.

Représenter, sur le graphique, les termes de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=1\\u_{n+1}=\dfrac{2}{u_n}+1\end{cases}$.
$\quad$
a. En déduire une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
b. Conjecturer la limite de cette suite.
$\quad$

Correction Exercice 4

Voici, graphiquement, les quatre premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

$\quad$
a. Il semblerait donc que la suite ne soit ni croissante, ni décroissante, ni constante.
$\quad$
b. Il semblerait que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit $2$.
$\quad$

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$\quad$