1S – Exercices – Suites

Les suites

Exercice 1

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout $n\in \N$ par $u_n=5\sqrt{n}-3$ et $v_n=\dfrac{-2}{n+1}+1$.

  1. Calculer les deux premiers termes de chaque suite.
    $\quad$
  2. Calculer le quinzième terme de chaque suite.
    $\quad$
  3. Étudier le sens de variation des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $u_0=5\sqrt{0}-3=-3$ et $u_1=5\sqrt{1}-3=2$
    $v_0=\dfrac{-2}{0+1}+1=-1$ et $v_1=\dfrac{-2}{1+1}+1=0$
    $\quad$
  2. Comme le premier terme de chaque suite commence au rang $0$ on calcule :
    $u_{14}=5\sqrt{14}-3$ et $v_{14}=\dfrac{-2}{15}+1=\dfrac{13}{15}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} u_{n+1}-u{n}&=5\sqrt{n+1}-3-\left(5\sqrt{n}-3\right)\\
    &=5\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
    $\begin{align*}v_{n+1}-v_n&=\dfrac{-2}{n+2}+1-\left(\dfrac{-2}{n+1}+1\right)\\
    &=\dfrac{-2}{n+2}+\dfrac{2}{n+1}\\
    &=\dfrac{-2(n+1)+2(n+2)}{(n+1)(n+2)}\\
    &=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}\\
    &>0
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définie par :

$\begin{cases} u_0=1\\u_{n+1}=-{u_n}^2+u_n-1\end{cases}$ et $\begin{cases}v_1=5\\v_{n+1}=v_n+\dfrac{2}{n}\end{cases}$.

  1. Calculer les quatre premiers termes de ces deux suites.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement ces quatre premiers termes sur un même graphique.
    $\quad$
  3. À l’aide de la calculatrice, calculer $u_{10}$ et $v_{10}$ (on pourra donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près).
    $\quad$
  4. Étudier le sens de variation des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $u_0=1$
    $u_1=-1^2+1^2-1=-1$
    $u_2=-(-1)^2+(-1)-1=-3$
    $u_3=-(-3)^2+(-3)-1=-13$
    $\quad$
    $v_1=5$
    $v_2=5+\dfrac{2}{1}=7$
    $v_3=7+\dfrac{2}{2}=8$
    $v_4=8+\dfrac{2}{3}=\dfrac{26}{3}$
    $\quad$
  2. $\quad$

    $\quad$
  3. A l’aide de la calculatrice on trouve $u_{10}\approx -7,47\times 10^{144}$ et $v_{10}\approx 6,66$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=-{u_n}^2+u_n-1-u_n\\
    &=-{u_n}^2-1\\
    &<0\end{align*}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    $\begin{align*}v_{n+1}-v_n&=v_n+\dfrac{2}{n}-v_n\\
    &=\dfrac{2}{n}\\
    &>0\end{align*}$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$

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$\quad$


$\quad$

Exercice 3

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $u_n=\displaystyle \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i^2}$.

  1. Calculer les deux premiers termes de cette suite.
    $\quad$
  2. Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $u_1=\dfrac{1}{1^2}=1$ et $u_2=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{5}{4}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} \dfrac{1}{i^2}\\
    &=\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}\\
    &=u_n+\dfrac{1}{(n+1)^2}
    \end{align*}$
    Donc $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+1)^2} > 0$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=3\\u_{n+1}=\dfrac{u_n}{n+2}\end{cases}$.

  1. On admet que pour tout entier naturel $n$ on a $u_n>0$.
    Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. Voici un algorithme qui calcule et affiche les termes $u_1$, $u_2$, $\ldots$, $u_{12}$ :
    Variables :
    $\quad$ $i$ et $u$ sont des nombres
    Traitement et sortie :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $3$
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $12$
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $\dfrac{u}{i+2}$
    $\qquad$ Afficher $u$
    $\quad$ Fin Pour
    $\quad$
    Modifier cet algorithme pour que celui-ci demande à l’utilisateur de choisir un nombre $n$ et pour qu’il affiche uniquement la valeur de $u_n$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{u_n}{n+2}-u_n \\
    &=\dfrac{u_n}{n+2}-\dfrac{(n+2)u_n}{n+2}\\
    &=\dfrac{-(n+1)u_n}{n+2}\\
    &<0\end{align*}$.
    $\quad$
  2. On peut modifier l’algorithme de cette façon :
    Variables :
    $\quad$ $i$, $n$ et $u$ sont des nombres
    Initialisation :
    $\quad$ Saisir $n$
    Traitement :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $3$
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $\dfrac{u}{i+2}$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $u$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{1}{9^n}$.

  1. Etudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. Déterminer un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n \pg n_0$, $u_n\pp 10^{-3}$.
    $\quad$
  3. Compléter l’algorithme ci-dessous, pour qu’il donne le plus petit entier $n_0$ tel que $u_n \pp 10^{-80}$.
    Variables :
    $\quad$ $i$ et $u$ sont des nombres
    Traitement :
    $\quad$ $i$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $u$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    $\quad$ Tant que $\ldots\ldots\ldots$
    $\qquad$ $i$ prend la valeur $i+1$
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ $\ldots \ldots \ldots$
    $\quad$
  4. En programmant l’algorithme sur votre calculatrice, déterminer l’entier $n_0$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $\quad$
    $\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=\dfrac{1}{9^{n+1}}-\dfrac{1}{9^n}\\
    &=\dfrac{1}{9^n}\left(\dfrac{1}{9}-1\right)\\
    &=\dfrac{1}{9^n}\times \left(-\dfrac{8}{9}\right)\\
    &<0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  2. $\dfrac{1}{9^4}\approx 1,52\times 10^{-4}<10^{-3}$.
    Puisque la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, pour tout entier naturel $n\pg 4$ on a $u_n\pp 10^{-3}$.
    On peut donc choisir $n_0=4$ (mais également tout entier supérieur à $4$).
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme :
    Variables :
    $\quad$ $i$ et $u$ sont des nombres
    Traitement :
    $\quad$ $i$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $u$ prend la valeur $1$
    $\quad$ Tant que $u>10^{-80}$
    $\qquad$ $i$ prend la valeur $i+1$
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $\dfrac{1}{9}\times u$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $i$
    $\quad$
  4. En utilisant Algobox, on obtient $n_0=84$.

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$\quad$