Dérivation

Exercice 1

En utilisant les taux d’accroissement déterminer le nombre dérivé des fonctions suivantes en $a$.

$f(x)=x^2-1 \qquad a=4$
$\quad$
$f(x)=2x^2-x+5 \qquad a=1$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{1}{x} \qquad a=2$
$\quad$
$f(x)=5x^2-3x \qquad a=1$
$\quad$
$f(x)=\sqrt{x+1}\qquad a=3$
$\quad$

Correction Exercice 1

$f(x)=x^2-1 \qquad a=4$
Pour tout réel $h$ non nul on a :
$\begin{align*} \dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}&=\dfrac{(4+h)^2-1-15}{h} \\
&=\dfrac{16+8h+h^2-1-15}{h}\\
&=\dfrac{8h+h^2}{h}\\
&=8+h
\end{align*}$
$\quad$
Ainsi $f'(4)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(4+h)-f(4)}{h} =8$
$\quad$
$f(x)=2x^2-x+5 \qquad a=1$
Pour tout réel $h$ non nul on a :
$\begin{align*} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}&=\dfrac{2(1+h)^2-(1+h)+5-6}{h} \\
&=\dfrac{2\left(1+2h+h^2\right)-1-h-1}{h}\\
&=\dfrac{2+4h+2h^2-h-2}{h}\\
&=\dfrac{3h+2h^2}{h}\\
&=3+2h
\end{align*}$
$\quad$
Ainsi $f'(1)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} =3$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{1}{x} \qquad a=2$
Pour tout réel $h$ non nul on a :
$\begin{align*} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}&=\dfrac{\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}}{h} \\
&=\dfrac{\dfrac{2-(2+h)}{2(2+h)}}{h}\\
&=\dfrac{-\dfrac{h}{2(2+h)}}{h}\\
&=-\dfrac{1}{4+2h}
\end{align*}$
$\quad$
Ainsi $f'(2)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} =-\dfrac{1}{4}$
$\quad$
$f(x)=5x^2-3x \qquad a=1$
Pour tout réel $h$ non nul on a :
$\begin{align*} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}&=\dfrac{5(1+h)^2-3(1+h)-2}{h} \\
&=\dfrac{5\left(1+2h+h^2\right)-3-3h-2}{h}\\
&=\dfrac{5+10h+5h^2-3h-5}{h}\\
&=\dfrac{7h+5h^2}{h}\\
&=7+5h
\end{align*}$
$\quad$
Ainsi $f'(1)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} =7$
$\quad$
$f(x)=\sqrt{x+1}\qquad a=3$
Pour tout réel $h$ non nul on a :
$\begin{align*} \dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}&=\dfrac{\sqrt{3+h+1}-\sqrt{4}}{h} \\
&=\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}\\
&=\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}\times \dfrac{\sqrt{4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2}\\
&=\dfrac{4+h-4}{h\left(\sqrt{4+h}+2\right)}\\
&=\dfrac{h}{h\left(\sqrt{4+h}+2\right)}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2}\\
\end{align*}$
$\quad$
Ainsi $f'(1)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(3+h)-f(3)}{h} =\dfrac{1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{1}{4}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Calculer $f'(x)$ en précisant les domaines de définition de $f$ et $f’$.

$f(x)=4x^3-5x^2+x-1$
$\quad$
$f(x)=5x^3-\dfrac{1}{x}+3\sqrt{x}$
$\quad$
$f(x)=\left(x^2+1\right)\left(x^3-2x\right)$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{2x^2-3}{x^2+7}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$
$\quad$
$f(x)=-x+2+\dfrac{2}{3x}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{1}{x+x^2}$
$\quad$

Correction Exercice 2

$f(x)=4x^3-5x^2+x-1$
La fonction $f$ est une fonction polynôme. Elle est donc définie et dérivable sur $\R$.
$f'(x)=4\times 3x^2-5\times 2x+1=12x^2-10x+1$
$\quad$
$f(x)=5x^3-\dfrac{1}{x}+3\sqrt{x}$
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} f'(x)&=5\times 3x^2-\dfrac{-1}{x^2}+3\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
&=15x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{2\sqrt{x}}
\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=\left(x^2+1\right)\left(x^3-2x\right)$
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
On applique la formule $(uv)’=u’v+uv’$ avec $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x^3-2x$
Donc $u'(x)=2x$ et $v'(x)=3x^2-2$.
On obtient donc :
$\begin{align*} f'(x)&=2x\left(x^3-2x\right)+\left(3x^2-2\right)\times \left(x^2+1\right) \\
&=2x^4-4x^2+3x^4+3x^2-2x^2-2\\
&=5x^4-3x^2-2
\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{2x^2-3}{x^2+7}$
$x^2+7>0$. Par conséquent, la fonction $f$ est définie et dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
On applique la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=2x^2-3$ et $v(x)=x^2+7$.
Donc $u'(x)=4x$ et $v'(x)=2x$.
On obtient donc :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{4x\left(x^2+7\right)-2x\left(2x^2-3\right)}{\left(x^2+7\right)^2} \\
&=\dfrac{4x^3+28x-4x^3+6x}{\left(x^2+7\right)^2} \\
&=\dfrac{34x}{\left(x^2+7\right)^2}
\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$
$x+1=0\ssi x=-1$.
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $I=]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $I$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
On applique la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=2x-1$ et $v(x)=x+1$.
Donc $u'(x)=2$ et $v'(x)=1$.
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2}\\
&=\dfrac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2}\\
&=\dfrac{3}{(x+1)^2}
\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=-x+2+\dfrac{2}{3x}$
$3x=0\ssi x=0$
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $I=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonction dérivables sur $I$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
$\begin{align*} f'(x)&=-1+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{-1}{x^2}\\
&=-1-\dfrac{2}{3x^2}
\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{1}{x+x^2}$
$x+x^2=0\ssi x(x+1)=0 \ssi x=0$ ou $x=-1$.
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $I=]-\infty;-1[\cup]-1;0[\cup ]0;+\infty[$ en tant qu’inverse d’une fonction dérivable sur $I$ ne s’annulant pas sur $I$.
On applique la formule $\left(\dfrac{1}{u}\right)’=-\dfrac{u’}{u^2}$ avec $u(x)=x+x^2$ donc $u'(x)=1+2x$.
$f'(x)=-\dfrac{1+2x}{\left(x+x^2\right)^2}$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Déterminer la fonction dérivée de $f$.

$f(x)=2x^3-\sqrt{x}+1$
$\quad$
$f(x)=\left(x^2-3x\right)^2$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{3}{2x+5}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{x^2-5x}{x^2+x-2}$
$\quad$
$f(x)=(2x+1)^2$
$\quad$
$f(x)=\sqrt{x}(5x-3)$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{5x+1}{-x+2}$
$\quad$
$f(x)=\left(\dfrac{5x+1}{-x+2}\right)^2$
$\quad$

Correction Exercice 3

$f(x)=2x^3-\sqrt{x}+1$
$f'(x)=2\times 3x^2-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=6x^2-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\quad$
$f(x)=\left(x^2-3x\right)^2=\left(x^2-3x\right)\times \left(x^2-3x\right)$
On applique la formule $(uv)’=u’v+uv’$ avec $u(x)=\left(x^2-3x\right)$ et $v(x)=\left(x^2-3x\right)$
Donc $u'(x)=2x-3$ et $v'(x)=2x-3$.
$\begin{align*} f'(x)&=(2x-3)\times \left(x^2-3x\right)+(2x-3)\times \left(x^2-3x\right) \\
&=2x^3-6x^2-3x^2+9x+2x^3-6x^2-3x^2+9x\\
&=4x^3-18x^2+18x
\end{align*}$
$\quad$
Autre méthode : On peut considérer la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=x^2-3x$.
$u$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a $u'(x)=2x-3$.
On a donc $f(x)=u(x)\times u(x)$.
Ainsi
$\begin{align*} f'(x)&=u'(x)\times u(x)+u(x)\times u'(x)\\
&=2\times u'(x)\times u(x)\\
&=2(2x-3)\left(x^2-3x\right)\end{align*}$
En développant, on retrouve l’expression précédente.
$\quad$
Autre méthode 2 : On peut considérer la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=x^2-3x$, constater que $f(x)=\left(u(x)\right)^2$ puis appliquer la formule du cours (pas tout à fait au programme mais si tu l’as vue c’est plus rapide) concernant le carré d’une fonction.
$f'(x)=2\times u'(x)\times u(x)$ (on retrouve l’expression obtenue précédemment).
Ainsi $f'(x)=2(2x-3)\left(x^2-3x\right)$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{3}{2x+5}=3\times \dfrac{1}{2x+5}$
On applique les formules $(kf)=kf’$ (où $k\in \R$) et $\left(\dfrac{1}{u}\right)’=-\dfrac{u’}{u^2}$ avec $u(x)=2x+5$ soit $u'(x)=2$.
On obtient donc :
$\begin{align*} f'(x)=3\times \left(-\dfrac{2}{(2x+5)^2}\right) \\
&=-\dfrac{6}{(2x+5)^2}
\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{x^2-5x}{x^2+x-2}$
On applique la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=x^2-5x$ et $v(x)=x^2+x-2$.
Donc $u'(x)=2x-5$ et $v'(x)=2x+1$.
On obtient alors :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(2x-5)\left(x^2+x-2\right)-(2x+1)\left(x^2-5x\right)}{\left(x^2+x-2\right)^2} \\
&=\dfrac{2x^3+2x^2-4x-5x^2-5x+10-\left(2x^3-10x^2+x^2-5x\right)}{\left(x^2+x-2\right)^2}\\
&=\dfrac{2x^3-3x^2-9x+10-\left(2x^3-9x^2-5x\right)}{\left(x^2+x-2\right)^2}\\
&=\dfrac{6x^2-4x+10}{\left(x^2+x-2\right)^2}
\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=(2x+1)^2=4x^2+4x+1$
$f'(x)=4\times 2x+4=8x+4$
$\quad$
Autre méthode : On peut considérer la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=2x+1$.
La fonction $u$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a $u'(x)=2$.
On a ainsi $f(x)=u(x)\times u(x)$
Par conséquent, pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=u'(x)\times u(x)+u(x)\times u'(x) \\
&=2\times u'(x)\times u(x)\\
&=2\times 2 \times (2x+1)\\
&=4(2x+1)\end{align*}$
$\quad$
Autre méthode 2 : On peut considérer la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=2x+1$, constater que $f(x)=\left(u(x)\right)^2$ puis appliquer la formule du cours (pas tout à fait au programme mais si tu l’as vue c’est plus rapide) concernant le carré d’une fonction.
$f'(x)=2\times u'(x)\times u(x)$ et on retrouve l’expression précédente.
$\quad$
$f(x)=\sqrt{x}(5x-3)$
On applique la formule $(uv)’=u’v+uv’$ avec $u(x)=\sqrt{x}$ et $v(x)=5x-3$
Donc $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ et $v'(x)=5$.
On obtient alors :
$\begin{align*}f'(x)&=\dfrac{5x-3}{2\sqrt{x}}+5\sqrt{x}\\
&=\dfrac{5x-3+2\times 5\left(\sqrt{x}\right)^2}{2\sqrt{x}} \\
&=\dfrac{5x-3+10x}{2\sqrt{x}}\\
&=\dfrac{15x-3}{2\sqrt{x}}
\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{5x+1}{-x+2}$
On applique la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=5x+1$ et $v(x)=-x+2$.
Donc $u'(x)=5$ et $v'(x)=-1$.
On obtient alors :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{5(-x+2)-(-1)(5x+1)}{(-x+2)^2}\\
&=\dfrac{-5x+10+5x+1}{(-x+2)^2}\\
&=\dfrac{11}{(-x+2)^2}
\end{align*}$
$\quad$
On a
$\begin{align*} f(x)&=\left(\dfrac{5x+1}{-x+2}\right)^2 \\
&=\dfrac{(5x+1)^2}{(-x+2)^2} \\
&=\dfrac{25x^2+10x+1}{(x^2-4x+4} \end{align*}$
On applique la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=25x^2+10x+1$ et $v(x)=x^2-4x+4$.
Donc $u'(x)=50x+10$ et $v'(x)=2x-4$.
On obtient alors :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(50x+10)\left(x^2-4x+4\right)-(2x-4)\left(25x^2+10x+1\right)}{(-x+2)^4}\\
&=\dfrac{50x^3-200x^2+200x+10x^2-40x+40-50x^3-20x^2-2x+100x^2+40x+4}{(-x+2)^4}\\
&=\dfrac{-110x^2+198x+44}{(-x+2)^4}
\end{align*}$
On considère le polynôme du second degré $-110x^2+198x+44$.
$\Delta= 198^2-4\times 44\times (-110)=58~564>0$
Il y a deux racines réelles :
$x_1=\dfrac{-198-\sqrt{58~564}}{-220}=2$ et $x_2=\dfrac{-198+\sqrt{58~564}}{-220}=-0,2$
Ainsi $-110x^2+198x+44=-110(x-2)(x+0,2)=110(-x+2)(x+0,2)$
Donc :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-110x^2+198x+44}{(-x+2)^4} \\
&=\dfrac{110(-x+2)(x+0,2)}{(-x+2)^4} \\
&=\dfrac{110(x+0,2)}{(-x+2)^3}
\end{align*}$
$\quad$
Autre méthode : On considère les fonctions $u$ et $v$ définies sur $\R$ par $u(x)=5x+1$ et $v(x)=-x+2$.
On a ainsi $f(x)=\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)\times \left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)$
La dérivée de la fonction $w$ définie par $w(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ est
$\begin{align*} w(x)&=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v(x)}{v^2(x)} \\
&=\dfrac{5(-x+2)-(5x+1)\times (-1)}{(-x+2)^2} \\
&=\dfrac{-5x+10+5x+1}{(-x+2)^2}\\
&=\dfrac{11}{(-x+2)^2}\end{align*}$
Ainsi
$\begin{align*} f'(x)&=w'(x)\times w(x)+w(x)\times w'(x)\\
&=2\times w'(x)\times w(x)\\
&=\dfrac{22}{(-x+2)^2}\times \dfrac{5x+1}{-x+2}\\
&=\dfrac{22(5x+1)}{(-x+2)^2}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Déterminer la fonction dérivée de $f$.

$f(x)=x^2-3x+2$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{1}{x^2-3x+2}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x-2}$
$\quad$
$f(x)=(1-2x)^3$
$\quad$

Correction Exercice 4

$f(x)=x^2-3x+2$
$f'(x)=2x-3$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{1}{x^2-3x+2}$
On utilise la formule $\left(\dfrac{1}{u}\right)’=-\dfrac{u’}{u^2}$ avec $u(x)=x^2-3x+2$ donc $u'(x)=2x-3$
$f'(x)=-\dfrac{2x-3}{\left(x^2-3x+2\right)^2}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x-2}$
On utilise la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u(x)=x^2-3x+1$ et $v(x)=x-2$.
Donc $u'(x)=2x-3$ et $v'(x)=1$.
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(2x-3)(x-2)-1\left(x^2-3x+1\right)}{(x-2)^2} \\
&=\dfrac{2x^2-4x-3x+6-x^2+3x-1}{(x-2)^2}\\
&=\dfrac{x^2-4x+5}{(x-2)^2}
\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=(1-2x)^3$
$\phantom{f(x)}=(1-2x)(1-2x)^2$
$\phantom{f(x)}=(1-2x)\left(4x^2-4x+1\right)$
$\phantom{f(x)}=4x^2-4x+1-8x^3+8x^2-2x$
$\phantom{f(x)}=-8x^3+12x^2-6x+1$
$\begin{align*} f'(x)&=-8\times 3x^2+12\times 2x-6\\
&=-24x^2+24x-6
\end{align*}$
$\quad$
Autre méthode : On peut écrire $f(x)=(1-2x)\times (1-2x)^2$
On utilise alors la propriété (pas explicitement au programme) concernant la dérivée du carré d’une fonction).
On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=1-2x$.

Pour tout réel $x$ on a alors :
$\begin{align*} f'(x)&=u'(x)\times \left(u(x)\right)^2+u(x)\times \left(2\times u'(x)\times u(x)\right) \\
&=u'(x)\times \left(u(x)\right)^2+2u'(x)\times \left(u(x)\right)^2 \\
&=3u'(x)\times \left(u(x)\right)^2 \\
&=3\times (-2)\times (1-2x)^2\\
&=-6(1-2x)^2\end{align*}$
$\quad$
Remarque : On obtient une expression dont l’étude du signe est facile.
$\quad$

[collapse]

$\quad$