1S – Exercices – Équation de droites

Équation de droites

Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, donner une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A$ de vecteur directeur $\vec{u}$.

  1. $A(1;-2)$ et $\vec{u}(5;4)$
    $\quad$
  2. $A(-2;3)$ et $\vec{u}(-1;3)$
    $\quad$
  3. $A(-5;1)$ et $\vec{u}(4;0)$
    $\quad$
  4. $A(1;1)$ et $\vec{u}(1;1)$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On considère un point $M(x;y)$. $M$ est un point de la droite $d$ si, et seulement si, les vecteurs $\vect{AM}(x-1,y+2)$ et $\vec{u}(5;4)$ sont colinéaires.
    $\ssi 4(x-1)-5(y+2)=0$
    $\ssi 4x-4-5y-10=0$
    $\ssi 4x-5y-14=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $4x-5y-14=0$.
    $\quad$
  2. On considère un point $M(x;y)$. $M$ est un point de la droite $d$ si, et seulement si, les vecteurs $\vect{AM}(x+2,y-3)$ et $\vec{u}(-1;3)$ sont colinéaires.
    $\ssi 3(x+2)-(-1)\times(y-3)=0$
    $\ssi 3x+6+y-3=0$
    $\ssi 3x+y+3=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $3x+y+3=0$.
    $\quad$
  3. On considère un point $M(x;y)$. $M$ est un point de la droite $d$ si, et seulement si, les vecteurs $\vect{AM}(x+5,y-1)$ et $\vec{u}(4;0)$ sont colinéaires.
    $\ssi 0\times (x+5)-4(y-1)=0$
    $\ssi -4y+4=0$
    $\ssi -y+1=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $-y+1=0$.
    $\quad$
  4. On considère un point $M(x;y)$. $M$ est un point de la droite $d$ si, et seulement si, les vecteurs $\vect{AM}(x-1,y-1)$ et $\vec{u}(1;1)$ sont colinéaires.
    $\ssi 1(x-1)-1(y-1)=0$
    $\ssi x-1-y+1=0$
    $\ssi x-y=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $x-y=0$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, donner une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

  1. $A(1;3)$ et $B(6;2)$
    $\quad$
  2. $A(-2;4)$ et $B(3;8)$
    $\quad$
  3. $A(4;5)$ et $B(-2;5)$
    $\quad$
  4. $A(2;1)$ et $B(2;7)$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On a $\vect{AB}(5;-1)$
    On considère un point $M(x;y)$. $M$ est un point de la droite $(AB)$ si, et seulement si, les vecteurs $\vect{AM}(x-1,y-3)$ et $\vect{AB}(5;-1)$ sont colinéaires.
    $\ssi -(x-1)-5(y-3)=0$
    $\ssi -x+1-5y+15=0$
    $\ssi -x-5y+16=0$
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $-x-5y+16=0$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}(5;4)$
    On considère un point $M(x;y)$. $M$ est un point de la droite $(AB)$ si, et seulement si, les vecteurs $\vect{AM}(x+2,y-4)$ et $\vect{AB}(5;4)$ sont colinéaires.
    $\ssi 4(x+2)-5(y-4)=0$
    $\ssi 4x+8-5y+20=0$
    $\ssi 4x-5y+28=0$
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $-x-5y+16=0$.
    $\quad$
  3. Les points $A$ et $B$ ont la même ordonnée. Une équation de la droite $(AB)$ est donc $y=5$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $y-5=0$.
    $\quad$
  4. Les points $A$ et $B$ ont la même abscisse. Une équation de la droite $(AB)$ est donc $x=2$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $x-2=0$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants, donner une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $C$ et parallèle à la droite $(AB)$.

  1. $A(1;4)$, $B(-1;4)$ et $C(0;0)$
    $\quad$
  2. $A(7;6)$, $B(4;-1)$ et $C(5;-3)$
    $\quad$
  3. $A(-1;-3)$, $B(-2;-4)$ et $C(1;1)$
    $\quad$
  4. $A(1;1)$, $B(5;5)$ et $C(1;4)$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\vect{AB}(-2;0)$
    On considère un point $M(x;y)$. $M$ est un point de la droite $d$ si, et seulement si, les vecteurs $\vect{CM}(x,y)$ et $\vect{AB}(-2;0)$ sont colinéaires.
    $\ssi 0x-(-2)y=0$
    $\ssi 2y=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $y=0$.
    $\quad$
  2. $\vect{AB}(-3;-7)$
    On considère un point $M(x;y)$. $M$ est un point de la droite $d$ si, et seulement si, les vecteurs $\vect{CM}(x-5;y+3)$ et $\vect{AB}(-3;-7)$ sont colinéaires.
    $\ssi -7(x-5)-(-3)(y+3)=0$
    $\ssi -7x+35+3y+9=0$
    $\ssi -7x+3y+44=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $-7x+3y+44=0$.
    $\quad$
  3. $\vect{AB}(-1;-1)$
    On considère un point $M(x;y)$. $M$ est un point de la droite $d$ si, et seulement si, les vecteurs $\vect{CM}(x-1;y-1)$ et $\vect{AB}(-1;-1)$ sont colinéaires.
    $\ssi -(x-1)-(-1)(y-1)=0$
    $\ssi -x+1+y-1=0$
    $\ssi -x+y=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $-x+y=0$.
    $\quad$
  4. $\vect{AB}(4;4)$
    On considère un point $M(x;y)$. $M$ est un point de la droite $d$ si, et seulement si, les vecteurs $\vect{CM}(x-1;y-4)$ et $\vect{AB}(4;4)$ sont colinéaires.
    $\ssi 4(x-1)-4(y-4)=0$
    $\ssi 4x-4-4y+16=0$
    $\ssi 4x-4y+12=0$
    $\ssi x-y+3=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $x-y+3=0$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Représenter les droites suivantes :

  1. $d_1:3x-y+2=0$
    $\quad$
  2. $d_2:-x+y-6=0$
    $\quad$
  3. $d_3:4x-1=0$
    $\quad$
  4. $d_4:-3x+y=0$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $d_1:3x-y+2=0$
    Si $x=0$ alors $-y+2=0$ soit $y=2$. Le point $A(0;2)$ appartient à la droite $d_1$.
    Si $x=-2$ alors $-6-y+2=0$ soit $y=-4$. Le point $B(-2;-4)$ appartient à la droite $d_1$.
    $\quad$
  2. $d_2:-x+y-6=0$
    Si $x=0$ alors $y-6=0$ soit $y=6$. Le point $C(0;6)$ appartient à la droite $d_2$.
    Si $x=-4$ alors $4+y-6=0$ soit $y=2$. Le point $D(-4;2)$ appartient à la droite $d_2$.
    $\quad$
  3. $d_3:4x-1=0$
    On a donc $4x=1$ soit $x=\dfrac{1}{4}$
    Il s’agit donc de la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par le point $E\left(\dfrac{1}{4};0\right)$.
    $\quad$
  4. $d_4:-3x+y=0$
    On a donc $y=3x$.
    Il s’agit donc d’une droite passant par l’origine du repère et le point $F(2;6)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Dans chacun des cas suivants, déterminer un vecteur directeur de la droite $d$.

  1. $d:2x-3y+7=0$
    $\quad$
  2. $d:x-3=0$
    $\quad$
  3. $d:y=7x-5$
    $\quad$
  4. $d:-x+2y=0$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $d:2x-3y+7=0$
    Un vecteur directeur de $d$ est donc $\vec{u}(3;2)$.
    $\quad$
  2. $d:x-3=0$
    Un vecteur directeur de $d$ est donc $\vec{u}(0;1)$.
    $\quad$
  3. $d:y=7x-5$. Une équation cartésienne de $d$ est $7x-y-5=0$.
    Un vecteur directeur de $d$ est donc $\vec{u}(1;7)$.
    $\quad$
  4. $d:-x+2y=0$
    Un vecteur directeur de $d$ est donc $\vec{u}(-2;-1)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Préciser dans chacun des cas si les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.

  1. $d_1:7x+y-1=0$ et $d_2:x+5y-3=0$
    $\quad$
  2. $d_1:2x+3y-1=0$ et $d_2:-4x+6y-3=0$
    $\quad$
  3. $d_1:x-y-1=0$ et $d_2:-2x+2y-3=0$
    $\quad$
  4. $d_1:7x-1=0$ et $d_2:7x+y-3=0$
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. $d_1:7x+y-1=0$ et $d_2:x+5y-3=0$
    Un vecteur directeur de $d_1$ est $\vec{u}(-1;7)$ et un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{v}(-5;1)$.
    $-1\times 1-7\times (-5)=34\neq 0$.
    Les vecteurs ne sont pas colinéaires. Par conséquent les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
  2. $d_1:2x+3y-1=0$ et $d_2:-4x+6y-3=0$
    Un vecteur directeur de $d_1$ est $\vec{u}(-3;2)$ et un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{v}(-6;-4)$.
    $-3\times (-4)-2\times (-6)=12+12=24\neq 0$.
    Les vecteurs ne sont pas colinéaires. Par conséquent les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
  3. $d_1:x-y-1=0$ et $d_2:-2x+2y-3=0$
    Un vecteur directeur de $d_1$ est $\vec{u}(1;1)$ et un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{v}(-2;-2)$.
    $1\times (-2)-1\times (-2)=-2+2=0$.
    Les vecteurs sont colinéaires. Par conséquent les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.
    $\quad$
  4. $d_1:7x-1=0$ et $d_2:7x+y-3=0$
    Un vecteur directeur de $d_1$ est $\vec{u}(0;7)$ et un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{v}(-1;7)$.
    $0\times 7-7\times (-1)=7\neq 0$.
    Les vecteurs ne sont pas colinéaires. Par conséquent les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$

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$\quad$