Les suites numériques

Généralités

Exercice 1

Calculer les $4$ premiers termes des suites définies de la façon suivante :

Pour tout entier naturel $n \pg 0$, $u_n=n^2+2n$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n\pg 0$, $v_n=100\times 1,02^n$
$\quad$
$w_0=2$ et pour tout entier naturel $n \pg 0$, $w_{n+1}=3w_n-4$
$\quad$
$x_0=3$ et pour tout entier naturel $n\pg 0$, $x_{n+1}=-{x_n}^2+x_n+1$
$\quad$

Correction Exercice 1

$u_0=0^2+2\times 0 =0$
$u_1=1^2+2\times 1 = 1 + 2=3$
$u_2=2^2+2\times 2=4+4=8$
$u_3=3^2+2\times 3=9+6=15$
$\quad$
$v_0=100\times 1,02^0=100\times 1 =100$
$v_1=100\times 1,02^1=100\times 1,02 =102$
$v_2=100\times 1,02^2=100\times 1,040~4 =104,04$
$v_3=100\times 1,02^3=100\times 1,061~208 =106,120~8$
$\quad$
$w_1=3w_0-4=6-4=2$
$w_2=3w_1-4=6-4=2$
$w_3=3w_2-4=6-4=2$
$w_4=3w_1-4=6-4=2$
Remarque : La suite $\left(w_n\right)$ est constante.
$\quad$
$x_1=-{x_0}^2+x_0+1=-9+3+1=-5$
$x_2=-{x_1}^2+x_1+1=-25-5+1=-29$
$x_3=-{x_2}^2+x_2+1=-841-29+1=-869$
$x_4=-{x_3}^2+x_3+1=-755~161-869+1=-756~029$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère la suite définie pour tout entier naturel $n\pg 0$ par $u_n=2+\dfrac{3}{n+1}$.

Quel est le $15^{\text{ème}}$ terme de cette suite?
$\quad$
Calculer le terme de rang $1~000$.
$\quad$

Correction Exercice 2

Le premier terme étant $u_0$, on veut calculer $u_{14}$.
$u_{14} = 2+\dfrac{3}{14+1}=\dfrac{11}{5}=2,2$.
$\quad$
On calcule $u_{1~000}=2+\dfrac{3}{1~000+1}=\dfrac{2~005}{1~001}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On définit la suite $\left(u_n\right)_{n\in\N}$ par $\begin{cases} u_0=-2\\u_{n+1}=2u_n+3\text{ pour tout }n\in\N\end{cases}$.

Calculer le terme de rang $2$.
$\quad$
On donne $u_{10}=1~021$. Calculer le terme suivant.
$\quad$
On donne $u_8=253$. Calculer le terme précédent.
$\quad$
On donne $u_n=8~189$. Calculer $u_{n+2}$.
$\quad$

Correction Exercice 3

$u_1=2u_0+3=-4+3=-1$
$u_2=2u_1+3=-2+3=1$
$\quad$
$u_{11}=2u_{10}+3=2~042+3=2~045$
$\quad$
On sait que $u_{8}=253$.
Or :
$\begin{align*} u_8=2u_7+3 &\ssi 253=2u_7+3 \\
&\ssi 250=2u_7\\
&\ssi u_7=125
\end{align*}$
$\quad$
Si $u_n=8~189$ alors $u_{n+1}=2u_n+3=16~378+3=16~381$
$u_{n+2}=2u_{n+1}+3=32~762+3=32~765$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie par son premier terme $w_0=1$ et telle qu’en multipliant un terme par $3$, on obtienne le terme suivant.

Déterminer $w_1$ et $w_2$.
$\quad$
Donner la relation reliant $w_{n+1}$ et $w_n$.
$\quad$

Correction Exercice 4

On a donc $w_1=3w_0=3$ et $w_2=3w_1=9$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n\pg 0$ on a $w_{n+1}=3w_n$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie par son premier terme $w_0=5$ et telle qu’en ajoutant $2$ à un terme, on obtienne le terme suivant.

Déterminer $w_1$ et $w_2$.
$\quad$
Donner la relation reliant $w_{n+1}$ et $w_n$.
$\quad$

Correction Exercice 5

$w_1=2+w_0=7$ et $w_2=2+w_1=9$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n\pg 0$ on a $w_{n+1}=2+w_n$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

La suite $\left(c_n\right)$ est définie par $c_0=3$ et, pour entier naturel $n\pg 0$, $c_{n+1}=2c_n+n-3$.

Exprimer $c_{n+2}$ en fonction de $c_{n+1}$ puis $c_{n+2}$ en fonction de $c_n$.

$\quad$

Correction Exercice 6

$\begin{align*} c_{n+2}&=2c_{n+1}+n+1-3\\
&=2c_{n+1}+n-2 \qquad (1) \\
&=2\left(2c_n+n-3\right)+n-2\\
&=4c_n+2n-6+n-2\\
&=4c_n+3n-8 \qquad (2)
\end{align*}$

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$\quad$

Exercice 7

La suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n \pg 0$ par $u_n=n^2+n+1$.

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.
$\quad$
Montrer que, pour tout $n\pg 0$, on a $u_n> 0$.
On pourra s’intéresser au trinôme $n^2+n+1$.
$\quad$

Correction Exercice 7

$\quad$
$\begin{align*}u_{n+1}&=(n+1)^2+(n+1)+1\\&=n^2+2n+1+n+1+1\\&=n^2+3n+3\end{align*}$
$\quad$
$u_n=n^2+n+1$
On considère le polynôme $P$ défini sur $\R$ par $P(x)=x^2+x+1$.
On calcule le discriminant avec $a=1,b=1$ et $c=1$.
$\Delta = 1^2-4\times 1\times 1=-3<0$
Puisque $a=1>0$, pour tout réel $x$ on a $P(x)>0$.
Or $u_n=P(n)$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n\pg 0$, on a $u_n>0$.
$\quad$

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$\quad$