1S – Exercices révisions – Les suites

Exercice 1

Les suites suivantes sont-elles croissantes? décroissantes?

1. $u_n = n^2 + 5n + 4 \qquad n \in \N$
   $\quad$
2. $v_n = \dfrac{-2n+3}{n+1} \qquad n \in \N$
   $\quad$
3. $w_n = \sqrt{2n + 5} \qquad n \in \N$
   $\quad$
4. $t_n = \dfrac{2^n}{n} \qquad n \in \N^*$
   $\quad$

 

Exercice 2

$(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $2$.

1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
2. Calculer $u_5$ et $u_{10}$.
   $\quad$
3. Calculer les sommes suivantes :
   a. $S_1 = u_0+u_1+\ldots+u_5$
   $\quad$
   b. $S_2 = u_1+u2+\ldots+u_{10}$
   $\quad$
   c. $S_3 = u_5+u_6+\ldots+u_{10}$
   $\quad$

 

Exercice 3

Reprendre l’exercice précédent en utilisant la suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $3$.
$\quad$

 

Exercice 4

Soit la suite $(u_n)$ définie par $\begin{cases} u_0 = 10\\u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_n + 1\end{cases}$.

1. Calculer $u_1,u_2$ et $u_3$.
   $\quad$
2. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n = u_n – 3$.
   Calculer $v_0,v_1,v_2$ et $v_3$
   $\quad$
3. Déterminer la nature de la suite $(v_n)$ et préciser ses éléments caractéristiques.
   $\quad$
4. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
5. Calculer $S_n = v_0 + v_1 + \ldots + v_n$ et en déduire $S’_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n$.
   $\quad$

 

Exercice 5

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0 = 0$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4}$ pour tout entier naturel $n$.
On définit la suite $(v_n)$ par $v_n = \dfrac{u_n – 1}{u_n + 3}$ pour tout entier naturel $n$.

1. Calculer $u_1,u_2$ et $u_3$.
   $\quad$
2. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   $\quad$
3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
4. En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$

 

Exercice 6

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 12$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1} = \dfrac{2u_n+5}{3}$.

1. Calculer $u_1,u_2$ et $u_3$. Fournir le résultat sous forme fractionnaire.
   $\quad$
2. Démontrer que la suite $(u_n)$ n’est ni arithmétique , ni géométrique.
   $\quad$
3. On définit la suite $(v_n)$ pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n – 5$.
   a. Calculer $v_0, v_1, v_2$ et $v_3$ sous forme fractionnaire.
   $\quad$
   b. Calculer $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
   $\quad$
   c. En déduire que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on indiquera la raison.
   $\quad$
   d. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
4. On considère un repère orthonormé d’unité graphique $1$ cm.
   a. Tracer les droites d’équation $y=x$ et $y=\dfrac{2x+5}{3}$.
   $\quad$
   b. Placer sur l’axes des abscisses, à l’aide de ces droites, $u_0,u_1,u_2$ et $u_3$.
   $\quad$
   c. Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.
   $\quad$

 

Exercice 7

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.$$

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
On admet que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$.

1. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 – u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
   $\quad$
2. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
   $\quad$

 

Exercice 8

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.$$

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

1. On considère l’algorithme suivant :
   Entrée :
   $\quad$ Soit un entier naturel non nul $n$
   Initialisation :
   $\quad$Affecter à $u$ la valeur $2$
   Traitement et sortie :
   $\quad$ POUR $i$ allant de $1$ à $n$
   $\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$
   $\qquad$ Afficher $u$
   $\quad$ FIN POUR
   $\quad$
   Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   i&1&2& 3\\\\
   \hline
   u&&&\\\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
2. Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l’infini.
   $\quad$
3. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} – 1}{u_{n} + 1}$.
   a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
   $\quad$
   b. Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
   $\quad$
4. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$.
   $\quad$
   b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 – v_{n}}$.
   $\quad$

 

Exercice 9

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = -4$ et $u_{n+1} = – \dfrac{3}{4}u_n + 3$ pour tout $n \in \N$.

1. Calculer les $7$ premiers termes de la suite. Que pouvez-vous conjecturer sur le sens de variation de la suite et sur sa limite?
2. a. Soit $(v_n)$ la suite définie, pour $n \in \N$, par $v_n = u_n – \dfrac{12}{7}$.
   Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $-\dfrac{3}{4}$. Préciser son premier terme.
   $\quad$
   b. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   c. Soit $\displaystyle S_n = \sum_{i=0}^n u_i = u_0+u_1+\ldots+u_n$.
   Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$

 

Exercice 10

Une personne lance une “superballe” pour la faire rebondir au sol. Après le premier rebond la balle atteint $10$ mètres de hauteur. A chaque rebond la balle perd $30\%$ de hauteur.

1. Au bout de combien de rebonds le mouvement de celle-ci ne sera plus perceptible (rebond de moins de $1$ mm).
   $\quad$
2. Sachant que la balle a été lancée d’une hauteur initiale de $1,50$ m, quelle distance la balle aura-t-elle parcourue au total?
   $\quad$