1S - Exercices révisions

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle quelconque.
On place :

le point $P$ symétrique de $A$ par rapport à $B$,
le point $Q$ symétrique de $B$ par rapport à $C$,
le point $R$ symétrique de $C$ par rapport à $A$.

On appelle $I$ le milieu de $[BC]$ et $K$ le milieu de $[PQ]$.
On appelle $G$ et $H$ les entres de gravité des triangles $ABC$ et $PQR$.
On choisit le repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AC}\right)$.

Déterminer les coordonnées des points $A, B$ et $C$.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $I$, puis celles du point $G$.
$\quad$
Déterminer les coordonnées des points $R, P, Q$ et $K$.
$\quad$
Démontrer que les points $G$ et $H$ sont confondus.
$\quad$

Correction Exercice 1

Dans le repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AC}\right)$ les coordonnées des différents points sont :
$$A(0;0) \qquad B(1;0) \qquad C(0;1)$$
$\quad$
$I$ est le milieu de $[BC]$ donc ses coordonnées sont : $$\begin{cases} x_I = \dfrac{0+1}{2} = \dfrac{1}{2} \\\\y_I = \dfrac{1+0}{2} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$$
$G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$. Par conséquent $\vect{AG} = \dfrac{2}{3} \vect{AI}$.
Par conséquent $\begin{cases} x_G = \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2} – 0\right) = \dfrac{1}{3} \\\\y_G = \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2} – 0\right) = \dfrac{1}{3} \end{cases}$
$\quad$
$P$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$. Donc $B$ est le milieu de $[AP]$ et $\vect{AB} = \vect{BP}$.
Ainsi $\begin{cases} 1 – 0 = x_P – 1 \\\\0 = y_P – 0 \end{cases}$ donc $P(2;0)$.
$\quad$
$R$ est le symétrique de $C$ par rapport à $A$. Donc $\vect{RA} = \vect{AC}$.
Par conséquent $\begin{cases} -x_R = 0 \\\\-y_R = 1 \end{cases}$. On a ainsi $R(0;-1)$.
$\quad$
$Q$ est le symétrique de $B$ par rapport à $C$. Donc $\vect{CQ} = \vect{BC}$.
Par conséquent $\begin{cases} x_Q = -1 \\\\y_Q – 1 = 1 \end{cases}$. D’où $Q(-1;2)$.
$\quad$
$K$ est le milieu de $[PQ]$. D’où :
$$\begin{cases} x_K=\dfrac{2 – 1}{2} = \dfrac{1}{2} \\\\y_K = \dfrac{0 + 2;2}{2} = 1 \end{cases}$$
$\quad$
$H$ est le centre de gravité du triangle $PQR$. Ainsi $\vect{RH} = \dfrac{2}{3}\vect{RK}$.
Par conséquent $$\begin{cases} x_H = \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2} – 0\right) \\\\y_H – (-1) = \dfrac{2}{3}(1 – (-1)) \end{cases} \ssi \begin{cases} x_H = \dfrac{1}{3} \\\\y_H = \dfrac{1}{3} \end{cases}$$.
Donc $G$ et $H$ sont confondus.
$\quad$
Remarque : On pouvait également utiliser le fait que :
$x_H=\dfrac{x_P+x_R+x_Q}{3}$ et que $y_H=\dfrac{y_P+y_R+y_Q}{3}$ puis vérifier qu’on retrouvait les coordonnées du point $G$.

[collapse]

Exercice 2

On se place dans un repère $\Oij$.
On considère les points $A\left(-\dfrac{7}{2};2\right)$, $B(-2;5)$, $C\left(5;\dfrac{13}{2}\right)$ et $D\left(3;\dfrac{5}{2}\right)$.

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
$\quad$
En déduire que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze.
$\quad$
On définit le point $I$ par l’égalité $\vect{IA} = \dfrac{3}{4}\vect{ID}$.
Montrer que les coordonnées de $I$ sont $\left(-23;\dfrac{1}{2}\right)$.
$\quad$
Les points $I, B$ et $C$ sont-ils alignés?
$\quad$
$J$ et $K$ étant les milieux respectifs de $[AB]$ et $[CD]$, déterminer les coordonnées de $J$ et $K$.
$\quad$
En déduire que les points $I, J$ et $K$ sont alignés.
$\quad$

Correction Exercice 2

$\vect{AB} \left(-2 + \dfrac{7}{2};5 – 2\right)$ soit $\vect{AB}\left(\dfrac{3}{2};3\right)$.
$\quad$
$\vect{CD}\left(3 – 5;\dfrac{5}{2} – \dfrac{13}{2}\right)$ soit $\vect{CD}(-2;-4)$.
$\quad$
$\dfrac{3}{2} \times (-4) – 3 \times (-2) = -6 + 6 =0$. Ainsi $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont colinéaires. $ABCD$ est donc un trapèze.
Puisque $\vect{AB} = -\dfrac{3}{4}\vect{CD}$, ce n’est pas un parallélogramme.
$\quad$
$\quad$
$$\begin{align*}
\vect{IA} = \dfrac{3}{4} \vect{ID} & \ssi \begin{cases} -\dfrac{-7}{2} – x_I = \dfrac{3}{4} \left(3 – x_I\right) \\\\2 – y_I = \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{5}{2} – y_I\right) \end{cases} \\\\
& \ssi \begin{cases} -14 – 4x_i = 9 – 3x_I \\\\8 – 4y_I = \dfrac{15}{2} – 3y_I \end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} -23 = x_I \\\\ \dfrac{1}{2} = y_I \end{cases}
\end{align*}$$
$\quad$
$\vect{IB}\left(-2 + 23;5 – \dfrac{1}{2}\right)$ soit $\vect{IB} \left(21;\dfrac{9}{2}\right)$
$\quad$
$\vect{IC}\left(5 + 23;\dfrac{13}{2} – \dfrac{1}{2}\right)$ soit $\vect{IC}(28;6)$.
$\quad$
Or $21 \times 6 – 28 \times \dfrac{9}{2} = 0$. Les deux vecteurs sont donc colinéaires et les points $I$, $B$ et $C$ sont alignés.
$\quad$
$J$ est le milieu de $[AB]$ donc $\begin{cases} x_J = \dfrac{-\dfrac{7}{2} – 2}{2} = -\dfrac{11}{4} \\\\y_J = \dfrac{2+5}{2} = \dfrac{7}{2} \end{cases}$.
$K$ est le milieu de $[CD]$ donc $\begin{cases} x_K = \dfrac{5 + 3}{2} = 4 \\\\y_K=\dfrac{\dfrac{13}{2}+\dfrac{5}{2}}{2} = \dfrac{9}{2} \end{cases}$.
$\quad$
On a ainsi $\vect{IJ}\left(-\dfrac{11}{4} + 23;\dfrac{7}{2} – \dfrac{1}{2}\right)$ soit $\vect{IJ}\left(\dfrac{81}{4};3\right)$.
$\quad$
Et $\vect{IK} \left(4+23;\dfrac{9}{2} – \dfrac{1}{2}\right)$ soit $\vect{IJ}\left(27;4\right)$.
Or $\dfrac{81}{4} \times 4 – 3 \times 27 = 0$. Donc les vecteurs sont colinéaires et les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
$\quad$

[collapse]

Exercice 3

$ABC$ est un triangle quelconque.

Placer les points $H$ et $G$ tels que :$\vect{AH} = -\dfrac{3}{4}\vect{AB} + \dfrac{1}{2}\vect{AC}$ $\quad$ $\vect{BG} = -\dfrac{7}{4}\vect{AB} + \dfrac{3}{2}\vect{BC}$
$\quad$
On choisit le repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AC}\right)$.
a. Donner les coordonnées des points $A,B$ et $C$ dans ce repère.
$\quad$
b. Déterminer les coordonnées des points $H$ et $G$ dans ce repère.
$\quad$
Les points $A, G$ et $H$ sont-ils alignés?
$\quad$

Correction Exercice 3

$\quad$
a. $A(0;0)$, $B(1;0)$ et $C(0;1)$
$\quad$
b. $H\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}\right)$
$$\begin{align*} \vect{AG} &= \vect{AB} + \vect{BG} \\\\
&= \vect{AB} – \dfrac{7}{4}\vect{AB} + \dfrac{3}{2}\vect{BC} \\\\
&=-\dfrac{3}{4}\vect{AB} + \dfrac{3}{2}\left(\vect{BA} + \vect{AC}\right) \\\\
&= -\dfrac{3}{4}\vect{AB} – \dfrac{3}{2}\vect{AB} + \dfrac{3}{2}\vect{AC} \\\\
&= -\dfrac{9}{4}\vect{AB} + \dfrac{3}{2}\vect{AC}
\end{align*}$$
Donc $G\left(-\dfrac{9}{4};\dfrac{3}{2}\right)$.
$\quad$
On a ainsi $\vect{AG}\left(-\dfrac{9}{4};\dfrac{3}{2}\right)$ et $\vect{AH}\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}\right)$.
Par conséquent $\vect{AG} = 3\vect{AH}$.
Les deux vecteurs sont donc colinéaires et les points $A$, $G$ et $H$ sont alignés.

[collapse]

Exercice 4

Dans un repère $\Oij$ , on donne les points $A(2;5)$, $B(4;-2)$, $C(-5;1)$ et $D(-1;6)$.

Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{BA}$, $\vect{BC}$ et $\vect{AD}$.
$\quad$
Que peut-on dire des droites $(BC)$ et $(AD)$?
$\quad$
Le point $K$ est tel que $\vect{BK} = \dfrac{1}{2}\vect{BA}+\dfrac{1}{4}\vect{BC}$.
Déterminer alors les coordonnées du point $K$.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $I$ milieu du segment $[BC]$.
$\quad$
Que peut-on dire des points $I,K$ et $A$?
$\quad$

Correction Exercice 4

$\vect{BA}(-2;7)$, $\vect{BC}(-9;3)$ et $\vect{AD}(-3;1)$.
$\quad$
On a ainsi $\vect{BC}=3\vect{AD}$. Les droites $(BC)$ et $(AD)$ sont donc parallèles.
$\quad$
$\quad$
$$\begin{align*}
\vect{BK} = \dfrac{1}{2}\vect{BA} + \dfrac{1}{4}\vect{BC} & \ssi \begin{cases} x_K – 4 = \dfrac{1}{2} \times (-2) + \dfrac{1}{4} \times (-9) \\\\y_K + 2 = \dfrac{1}{2} \times 7 + \dfrac{1}{4} \times 3 \end{cases} \\\\
& \ssi \begin{cases} x_K= \dfrac{3}{4} \\\\y_K = \dfrac{9}{4} \end{cases}
\end{align*}$$
$I$ est le milieu de $[BC]$ donc $$\begin{cases} x_I = \dfrac{4 – 5}{2} = -\dfrac{1}{2} \\\\y_I=\dfrac{-2 + 1}{2} = -\dfrac{1}{2} \end{cases}$$
$\quad$
$\vect{IK} \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2};\dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{2}\right)$ soit $\vect{IK}\left(\dfrac{5}{4};\dfrac{11}{4}\right)$.
$\quad$
$\vect{IA}\left(2 + \dfrac{1}{2};5 + \dfrac{1}{2}\right)$ soit $\vect{IA}\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{11}{2}\right)$.
Par conséquent $\vect{IA} = 2 \vect{IK}$.
Les deux vecteurs sont donc colinéaires et les points $I$, $K$ et $A$ sont alignés.

[collapse]

Exercice 5

Écrire un algorithme qui permet de déterminer si deux vecteurs, dont l’utilisateur fournit les coordonnées, sont colinéaires.

Correction Exercice 5

Variables :
$\quad$ $a$, $b$, $c$, $d$ nombres réels
Initialisation :
$\quad$ Afficher “Coordonnées du premier vecteur”
$\quad$ Saisir $a$
$\quad$ Saisir $b$
$\quad$ Afficher “Coordonnées du second vecteur”
$\quad$ Saisir $c$
$\quad$ Saisir $d$
Traitement et sortie :
$\quad$ Si $ad-bc=0$ alors
$\qquad$ Afficher “Les vecteurs sont colinéaires”
$\quad$ Sinon
$\qquad$ Afficher “Les vecteurs ne sont pas colinéaires”
$\quad$ Fin Si

[collapse]