1S – Exercices – Suites

Exercices corrigés sur les suites – 1S

Difficulté ++

Exercice 1

Soit la suite $\left(u_n \right)$ définie par $u_0$ et $\forall n  \in  \N$, $u_{n+1}=4u_n+9$.

  1. Cette suite est-elle arithmétique? est-elle géométrique?
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur de $u_0$ pour que cette suite soit constante.
    $\quad$
  3. Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie par $\forall n\in \N$, $v_n=u_n-\alpha$.
    a. Montrer que cette suite est géométrique.
    $\quad$
    b. On suppose dorénavant que $u_0=5$. Donner alors l’expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. La définition par récurrence d’une suite arithmétique est de la forme $u_{n+1}=u_n+r$. Le terme $u_n$ ne doit pas être multiplié par un réel. La suite $\left(u_n\right)$ n’est donc pas arithmétique.
    La définition par récurrence d’une suite géométrique est de la forme $u_{n+1}=qu_n$. Aucun nombre réel n’est donc ajouté au terme $qu_n$. La suite $\left(u_n\right)$ n’est donc géométrique.
    $\quad$
  2. On cherche la valeur $u_0$ telle que :
    $\begin{align*} u_1=u_0&\ssi u_0=4u_0+9 \\
    &\ssi -3u_0=9\\
    &\ssi u_0=-3
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc constante si $u_0=-3$.
    $\quad$
  3. a. On a donc $v_n=u_n-(-3)=v_n+3$. Par conséquent $u_n=v_n-3$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+3 \\
    &=4u_n+9+3 \\
    &=4u_n+12\\
    &=4\left(v_n-3\right)+12 \\
    &=4v_n-12+12\\
    &=4v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $4$.
    $\left(u_n\right)$
    $\quad$
    b. On a $u_0=5$ donc $v_0=5+3=8$
    Ainsi $\forall n\in \N$ on a $v_n=8\times 4^n$
    Donc $u_n=v_n-3=8\times 4^n-3$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=6$, $u_1=1$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$.

  1. Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définie par $\forall n\in \N$, $v_n=u_{n+1}-\alpha u_n$ et $w_n=u_{n+1}-\beta u_n$ soient géométriques.
    $\quad$
  2. En déduire l’expression de $v_n, w_n$ et $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Si la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique cela signifie qu’il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1}=qv_n$
    $\begin{align*} v_{n+1}=qv_n &\ssi u_{n+2}-\alpha u_{n+1}=q\left(u_{n+1}-\alpha u_n\right) \\
    &\ssi 5u_{n+1}-6u_n-\alpha u_{n+1}=qu_{n+1}-q\alpha u_n \\
    & \ssi (5-\alpha)u_{n+1}-6u_n=qu_{n+1}-q\alpha u_n \\
    &\ssi \begin{cases} 5-\alpha=q \\-6=-q\alpha \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} q=\dfrac{6}{\alpha} \\5-\alpha=\dfrac{6}{\alpha} \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} q=\dfrac{6}{\alpha}\\5\alpha-\alpha^2=6 \end{cases}
    \end{align*}$
    On est donc ramené à résoudre l’équation du second degré $-\alpha^+5\alpha-6=0$.
    Le discriminant est $\Delta=5^2-4\times (-6)\times (-1)=1>0$
    Les solutions de cette équation sont donc $\alpha_1=\dfrac{-5-1}{-2}=3$ et $\alpha_2=\dfrac{-5+1}{-2}=2$.
    $\quad$
    Revenons au système :
    $\bullet$ Si $\alpha=3$ alors $q=2$.
    $\bullet$ Si $\alpha=2$ alors $q=3$.
    $\quad$
    Ainsi la suite $\left(v_n\right)$ défnie par $v_n=u_{n+1}-3u_n$ est géométrique de raison $2$ et la suite $\left(w_n\right)$ définie par $w_n=u_{n+1}-2u_n$ est géométrique de raison $3$.
    $\quad$
  2. $v_0=u_1-3u_0=1-3\times 6=-17$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-17\times 2^n$.
    $w_0=u_1-2u_0=1-2\times 6=-11$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=-11 \times 3^n$.
    $\quad$
    De plus, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=u_{n+1}-3u_n$ et $w_n=u_{n+1}-2u_n$.
    Donc $w_n-v_n=u_{n+1}-2u_n-\left(u_{n+1}-3u_n\right)=u_n$
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=w_n-v_n=-11 \times 3^n+17 \times 2^n$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=-3$ et $\forall n\in \N$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+4$.

  1. Étudier les variations de cette suite.
    $\quad$
  2. Calculer $\ds \sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+\ldots+u_n$.
    $\quad$
Correction Exercice 3





  1. On reprend la méthode de l’exercice 1.
    On cherche la valeur de $u_0$ pour laquelle la suite $\left(u_n\right)$ est constante.
    On a donc :
    $\begin{align*} u_0=u_1 &\ssi u_0=\dfrac{1}{2}u_0+4 \\
    &\ssi \dfrac{1}{2}u_0=4 \\
    &\ssi u_0=8
    \end{align*}$
    Donc si $u_0=8$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante.
    $\quad$
    On considère maintenant la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=u_n-8$ pour tout entier naturel $n$.
    Montrons que cette suite est géométrique.
    $v_n=u_n-8 \ssi u_n=v_n+8$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-8 \\
    &=\dfrac{1}{2}u_n+4-8 \\
    &=\dfrac{1}{2}u_n-4 \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(v_n+8\right)-4\\
    &=\dfrac{1}{2}v_n+4-4\\
    &=\dfrac{1}{2}v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de premier terme $v_0=u_0-8=-11$ et de raison $0,5$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=-11\times 0,5^n$.
    On en déduit donc que $u_n=v_n+8=-11\times 0,5^n+8$.
    $\quad$
    Étudions maintenant les variations de cette suite.
    Pour tout entier naturel $n$ on a:
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=-11\times 0,5^{n+1}+8-\left(-11\times 0,5^n+8\right) \\
    &=-11\times 0,5^{n+1}+11\times 0,5^n \\
    &=11\times 0,5^n\times (1-0,5)\\
    &=5,5\times 0,5^n \\
    &>0
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}  \ds \sum_{k=0}^n u_k&=u_0+u_1+\ldots+u_n \\
    &=\left(-11\times 0,5^0+8\right)+\left(-11\times 0,5^1+8\right)+\ldots+\left(-11\times 0,5^n+8\right) \\
    &=-11\times \left(0,5^0+0,5^1+\ldots+0,5^n\right)+8(n+1) \\
    &=-11\times \dfrac{1-0,5^{n+1}}{1-0,5}+8(n+1) \\
    &=-11\times \dfrac{1-0,5^{n+1}}{0,5}+8(n+1) \\
    &=-22\times \left(1-0,5^{n+1}\right)+8(n+1)
    \end{align*}$

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$\quad$

Exercice 4

Déterminer le terme général de la suite de Fibonacci

$\quad$

Correction Exercice 4

La suite de Fibonacci est définie par $u_0=1$, $u_1=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ pour tout entier naturel $n$.

Pour déterminer le terme général de cette suite on va utiliser la même méthode que celle employée dans l’exercice 2.
On va déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définie par $\forall n\in \N$, $v_n=u_{n+1}-\alpha u_n$ et $w_n=u_{n+1}-\beta u_n$ soient géométriques.

Si la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique cela signifie qu’il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1}=qv_n$
$\begin{align*} v_{n+1}=qv_n &\ssi u_{n+2}-\alpha u_{n+1}=q\left(u_{n+1}-\alpha u_n\right) \\
&\ssi u_{n+1}+u_n-\alpha u_{n+1}=qu_{n+1}-q\alpha u_n \\
& \ssi (1-\alpha)u_{n+1}+u_n=qu_{n+1}-q\alpha u_n \\
&\ssi \begin{cases} 1-\alpha=q \\1=-q\alpha \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} q=-\dfrac{1}{\alpha} \\1-\alpha=-\dfrac{1}{\alpha} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} q=-\dfrac{1}{\alpha}\\\alpha-\alpha^2=-1 \end{cases}
\end{align*}$

On est donc ramené à résoudre l’équation du second degré $-\alpha^+\alpha+1=0$.
Le discriminant est $\Delta=1^2-4\times 1\times (-1)=5>0$
Les solutions de cette équation sont donc $\alpha_1=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\alpha_2=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.
$\quad$

Revenons au système :
$\bullet$ Si $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ alors
$\begin{align*} q&=-\dfrac{2}{1+\sqrt{5}} \\
&=-\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}\times \dfrac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} \\
&=-\dfrac{2\left(1-\sqrt{5}\right)}{1-5} \\
&=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{align*}$.
$\bullet$ Si $\alpha=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ alors
$\begin{align*} q&=-\dfrac{2}{1-\sqrt{5}} \\
&=-\dfrac{2}{1-\sqrt{5}}\times \dfrac{1+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \\
&=-\dfrac{2\left(1+\sqrt{5}\right)}{1-5} \\
&=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{align*}$
$\quad$
Ainsi la suite $\left(v_n\right)$ défnie par $v_n=u_{n+1}-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}u_n$ est géométrique de raison $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ et la suite $\left(w_n\right)$ définie par $w_n=u_{n+1}-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}u_n$ est géométrique de raison $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
$\quad$

$v_0=u_1-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}u_0=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\times \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$ $=\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}$.
$w_0=u_1-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}u_0=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \times \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n$ $=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}$.

$\quad$
De plus, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=u_{n+1}-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}u_n$ et $w_n=u_{n+1}-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}u_n$.
Donc $w_n-v_n=u_{n+1}-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}u_n-\left(u_{n+1}-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}u_n\right)=\sqrt{5}u_n$
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a
$\begin{align*} u_n&=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(w_n-v_n \right)\\
&=\dfrac{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}}{\sqrt{5}}
\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$