Les suites

Variations

Exercice 1

Dans chacun des cas, étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

$u_n=n^2$ pour $n\in \N$
$\quad$
$u_n=3n-5$ pour $n\in \N$
$\quad$
$u_n=1+\dfrac{1}{n}$ pour $n\in \N^*$
$\quad$
$u_n=\dfrac{n}{n+1}$ pour $n\in \N$
$\quad$
$u_n=\dfrac{-2}{n+4}$ pour $n\in \N$
$\quad$
$u_n=\dfrac{5^n}{n}$ pour $n\in \N^*$
$\quad$
$u_n=2n^2-1$ pour $n\in\N$
$\quad$
$u_n=\dfrac{3^n}{2n}$ pour $n\in \N^*$
$\quad$

Correction Exercice 1

$u_n=n^2$ pour $n\in \N$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=(n+1)^2-n^2\\
&=n^2+2n+1-n^2\\
&=2n+1
\end{align*}$
Or $n\in \N$ donc $2n+1>0$.
Par conséquent $u_{n+1}-u_n>0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
$\quad$
$u_n=3n-5$ pour $n\in \N$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=3(n+1)-5-(3n-5) \\
&=3n+3-5-3n-5\\
&=3\\
&>0
\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
$\quad$
$u_n=1+\dfrac{1}{n}$ pour $n\in \N^*$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=1+\dfrac{1}{n+1}-\left(1+\dfrac{1}{n}\right) \\
&=1+\dfrac{1}{n+1}-1-\dfrac{1}{n}\\
&=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}\\
&=\dfrac{n-(n+1)}{n(n+1)}\\
&=\dfrac{-1}{n(n+1)}\\
&<0
\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
$\quad$
$u_n=\dfrac{n}{n+1}$ pour $n\in \N$
$\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}\\
&=\dfrac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}\\
&=\dfrac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+1)(n+2)}\\
&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\
&>0
\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
$\quad$
$u_n=\dfrac{-2}{n+4}$ pour $n\in \N$
Pour tout $n\in\N$.
$\begin{align*} n<n+1 &\ssi n+4< (n+1)+4 \\
&\ssi \dfrac{1}{n+4}>\dfrac{1}{(n+1)+4} \\
&\ssi \dfrac{-2}{n+4}<\dfrac{-2}{(n+1)+4}\\
&\ssi u_n<u_{n+1}
\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
$\quad$
$u_n=\dfrac{5^n}{n}$ pour $n\in \N^*$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{5^{n+1}}{n+1}-\dfrac{5^n}{n}\\
&=5^n\times \dfrac{5}{n+1}-\dfrac{5^n}{n}\\
&=5^n\left(\dfrac{5}{n+1}-\dfrac{1}{n}\right)\\
&=5^n\times\dfrac{5n-(n+1)}{n(n+1)}\\
&=5^n\times \dfrac{4n-1}{n(n+1)}
\end{align*}$
Pour tout $n\in\N^*$ on a $5^n>0$ et $4n-1>0$.
Donc $u_{n+1}-u_n>0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
$\quad$
$u_n=2n^2-1$ pour $n\in\N$
$\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=2(n+1)^2-1-\left(2n^2-1\right)\\
&=2\left(n^2+2n+1\right)-1-2n^2+1\\
&=2n^2+4n+2-1-2n^2+1\\
&=4n+2\\
&>0
\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
$\quad$
$u_n=\dfrac{3^n}{2n}$ pour $n\in \N^*$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{3^{n+1}}{2(n+1)}-\dfrac{3^n}{2n}\\
&=3^n\times \dfrac{3}{2(n+1)}-\dfrac{3^n}{2n}\\
&=3^n\left(\dfrac{3}{2(n+1)}-\dfrac{1}{2n}\right)\\
&=3^n\times\dfrac{3n-(n+1)}{2n(n+1)}\\
&=3^n\times \dfrac{2n-1}{2n(n+1)}
\end{align*}$
Pour tout $n\in \N^*$ on a $3^n>0$ et $2n-1>0$.
Donc $u_{n+1}-u_n>0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n=\dfrac{n^2+1}{2n^2}$ pour tout $n\in \N^*$.

Etudier le sens de variations de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
Montrer que $\forall n \pg 1, u_n \pp 1$.
$\quad$

Correction Exercice 2

$u_n=\dfrac{n^2+1}{2n^2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2n^2}$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2(n+1)^2}-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2n^2}\right) \\
&=\dfrac{1}{2(n+1)^2}-\dfrac{1}{2n^2}\\
&=\dfrac{n^2-(n+1)^2}{2n^2(n+1)^2}\\
&=\dfrac{n^2-\left(n^2+2n+1\right)}{2n^2(n+1)^2}\\
&=\dfrac{-2n-1}{2n^2(n+1)^2}\\
&<0
\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} u_n-1&=\dfrac{n^2+1}{2n^2}-1\\
&=\dfrac{n^2+1}{2n^2}-\dfrac{2n^2}{2n^2}\\
&=\dfrac{1-n^2}{2n^2}
\end{align*}$
Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $1-n^2\pp 0$.
Par conséquent $u_n \pp 1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

On considère trois suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout $n\in \N$ par :

$$u_n=(-1)^n \qquad v_n=\dfrac{2-n}{2+n} \qquad w_n=n^2+2n-1$$

On veut déterminer le sens de variation de chacune de ces suites.

Calculer $u_0,u_1$ et $u_2$ puis en déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
Exprimer $v_{n+1}-v_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
$\quad$
Exprimer $w_{n+1}-w_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le sens de variation de la suite $\left(w_n\right)$.
$\quad$

Correction Exercice 3

$u_0=(-1)^0=1$, $u_1=(-1)^1=-1$ et $u_2=(-1)^2=1$.
La suite $\left(u_n\right)$ n’est donc ni croissante ni décroissante. Elle n’est pas constante non plus.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\dfrac{2-(n+1)}{2+(n+1)}-\dfrac{2-n}{2+n}\\
&=\dfrac{1-n}{3+n}-\dfrac{2-n}{2+n}\\
&=\dfrac{(1-n)(2+n)-(3+n)(2-n)}{(3+n)(2+n)}\\
&=\dfrac{2+n-2n-n^2-\left(6-3n+2n-n^2\right)}{(3+n)(2+n)}\\
&=\dfrac{2-n-n^2-6+n+n^2}{(3+n)(2+n)}\\
&=\dfrac{-4}{(3+n)(2+n)}\\
&<0
\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} w_{n+1}-w_n&=(n+1)^2+2(n+1)-1-\left(n^2+2n-1\right)\\
&=n^2+2n+1+2n+2-1-n^2-2n+1\\
&=2n+3\\
&>0
\end{align*}$
La suite $\left(w_n\right)$ est donc croissante.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n=\sqrt{2n^2-7n-4}$.

A partir de quel rang la suite $\left(u_n\right)$ est-elle définie?
$\quad$
En déduire les trois premiers termes de cette suite.
$\quad$

Correction Exercice 4

On considère le polynôme $P(x)=2x^2-7x-4$.
Son discriminant est :
$\Delta = (-7)^2-4\times 2\times (-4) = 81>0$.
Il possède deux racines réelles :
$x_1=\dfrac{7-\sqrt{81}}{4}=-\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{7+\sqrt{81}}{4}=4$
Son coefficient principal est $a=2>0$.
Par conséquent $P(x)\pg 0$ sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right]\cup[4;+\infty[$.
Or $u_n=\sqrt{P(n)}$.
Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est définie à partir de $n=4$.
$\quad$
$u_4=0$, $u_5=\sqrt{11}$ et $u_6=\sqrt{26}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$