1S – Exercices – Suites

Les suites

Suites géométriques et variations

Exercice 1

  1. On considère la suite $\left( u_n \right)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+2n+1$.
    a. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique? (Justifier).
    $\quad$
  2. Calculer la somme : $1+3+3^2+\ldots+3^7$.
    En déduire la valeur de la somme $18+54+162+\ldots+39~366$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. a. $u_1=u_0+2\times 0+1=1+1=2$ car $n=0$.
    $u_2=u_1+2\times 1+1=2+2+1=5$ car $n=1$.
    $u_3=u_2+2\times 2+1=5+4+1=10$ car $n=2$.
    $\quad$
    b. $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{2}{1}=2$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{5}{2}\neq 2$
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
    $\quad$
  2. On veut calculer une somme de termes d’une suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et de raison $r=3$.
    Donc $1+3+3^2+\ldots+3^7=1\times \dfrac{1-3^8}{1-3}=3~280$
    $\quad$
    $\begin{align*} 18+54+162+\ldots+39~366&=18\times 1+18\times 3+18\times 3^2+\ldots+18\times 3^7\\
    &=18\times \left(1+3+3^2+\ldots+3^7\right)\\
    &=18\times 3~280=59~040
    \end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 2

Jardinier amateur, Didier possède une superbe pelouse de gazon d’une superficie de $2~000$m$^2$. Chaque année $20\%$ du gazon est détruit pendant l’été et remplacé par de mauvaises herbes. Tous les ans, à l’automne, Didier arrache $50$m$^2$ de mauvaises herbes et le remplace par du gazon.
Les aires seront exprimées en mètres carrés, arrondies à l’unité au besoin.

  1. La surface initiale de la pelouse a pour aire $u_0=2~000$ et on note $u_n$ la surface de gazon sans mauvaises herbes restant au bout de $n$  automnes.
    Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,8u_n+50$.
    $\quad$
  2. Calculer la surface de la pelouse après le premier automne, puis après le second automne.
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=u_n-250$.
    a. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
    $\quad$
    b. En déduire l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=1~750\times 0,8^n+250$.
    $\quad$
  5. Calculer alors l’aire de la pelouse (gazon sans mauvaises herbes) au bout de $10$ automnes.
    $\quad$
  6. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  7. Didier se demande dans combien d’années l’aire de la pelouse sera inférieure à $200$m$^2$? Que peut-on lui répondre?
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Chaque année $20\%$ du gazon est détruit. Il en reste donc $80\%$ soit $0,8u_n$.
    Didier arrache $50$m$^2$ de mauvaises herbes et le remplace par du gazon. Donc $u_{n+1}=0,8u_n+50$.
    $\quad$
  2. $u_1=0,8u_0+50=0,8\times 2~000+50=1~650$
    Après le premier automne, la surface de la pelouse est de $1~650$m$^2$.
    $\quad$
    $u_2=0,8u_1+50=0,8\times 1~650+50=1~370$
    Après le second automne, la surface de la pelouse est de $1~370$m$^2$.
    $\quad$
  3. a. $v_n=u_n-250$ donc $u_n=v_n+250$.
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-250\\
    &=0,8u_n+50-250\\
    &=0,8u_n-200\\
    &=0,8\left(v_n+250\right)-200\\
    &=0,8v_n+200-200\\
    &=0,8v_n
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-250=1~750$.
    Par conséquent $v_n=1~750\times 0,8^n$
    $\quad$
  4. On a $u_n=v_n+250=1~750\times 0,8^n+250$.
    $\quad$
  5. Au bout de $10$ automnes on a $n=10$.
    Donc $u_{10}=1~750\times 0,8^{10}+250\approx 188$.
    L’aire de la pelouse au bout de $10$ automnes est de $188$m$^2$.
    $\quad$
  6. $0<0,8<1$ donc la suite de terme général $1~750\times 0,8^n$ est décroissante.
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  7. La limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de $1~750\times 0,8^n$ est égale à $0$ car $-1<0,8<1$.
    Par conséquent, la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de $u_n$ est $250$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et à pour limite $250$.
    Donc pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \pg 200$. L’aire de la pelouse sera toujours supérieure à $200$ mètres carrés.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n=\dfrac{n^2}{2^n}$.

  1. Calculer les cinq premiers termes de la suite. La suite est-elle croissante? Décroissante?
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f(x)=-x^2+2x+1$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n=\dfrac{-n^2+2n+1}{2^{n+1}}$.
    $\quad$
  4. En déduire que la suite est décroissante à partir d’un certain rang à préciser.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $u_0=\dfrac{0^2}{2^0}=0$ \qquad $u_1=\dfrac{1^2}{2^1}=0,5$ \qquad $u_2=\dfrac{2^2}{2^2}=1$
    $u_3=\dfrac{3^2}{2^3}=1,125$ \qquad $u_4=\dfrac{4^2}{2^4}=1$
    On constate donc que $u_4<u_3$ : la suite n’est pas croissante.
    On constate également que $u_0<u_1$ : la suite n’est pas décroissante.
    $\quad$
  2. $f(x)=-x^2+2x+1$ sur $[0;+\infty[$.
    On calcule le discriminant de cette expression du second degré.
    $\Delta = 2^2-4\times (-1)\times 1 = 8>0$
    Il y a donc deux racines réelles : $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{-2}=1+\sqrt{2}>0$ et $x_2=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{-2}=1-\sqrt{2}>0$.
    Le coefficient principal est $a=-1<0$. L’expression est donc positive entre les racines et négatives en dehors.
    On obtient par conséquent le tableau de signes suivant :
    $\quad$
    $\begin{align*}
    u_{n+1}-u_n&=\dfrac{(n+1)^2}{2^{n+1}}-\dfrac{n^2}{2^n} \\
    &=\dfrac{n^2+2n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{n^2}{2^n}\\
    &=\dfrac{n^2+2n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{2n^2}{2^{n+1}}\\
    &=\dfrac{-n^2+2n+1}{2^{n+1}}\\
    &=\dfrac{f(n)}{2^{n+1}}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $2^{n+1}>0$. Le signe de $u_{n+1}-u_n$ ne dépend donc que du signe de $f(n)$.
    D’après la question 2. on sait que $f(x)<0$ si $x>1+\sqrt{2}$.
    Or $1+\sqrt{2}\approx 2,4$
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n<0$ si $n\pg 3$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante à partir de $n=3$.
    $\quad$

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$\quad$