1S – Exercices – Vecteurs – Fiche 1

Les vecteurs

Calculs (révisions)

Dans toutes cette fiche d’exercice on se placera dans un repère $\Oij$ du plan.

Exercice 1

On donne les points $A(5;-1)$, $R(-2;0)$ et $F\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{4}\right)$.

Calculer les coordonnées des vecteurs suivants :

$\vect{AR}, \vect{FA}, \vect{FR}, 3\vect{AF}, -2\vect{AR}+4\vect{RF}$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$\vect{AR}\left(-2-5;0-(-1)\right)$ soit $\vect{AR}(-7;1)$

$\vect{FA}\left(5-\dfrac{3}{2};-1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)\right)$ soit $\vect{FA}\left(\dfrac{7}{2};-\dfrac{3}{4}\right)$

$3\vect{AF}=-3\vect{FA}$ donc $3\vect{AF}\left(-\dfrac{21}{2};\dfrac{9}{4}\right)$.

$\vect{RF}\left(\dfrac{3}{2}-(-2);-\dfrac{1}{4}-0\right)$ soit $\vect{RF}\left(\dfrac{7}{2};-\dfrac{1}{4}\right)$

Par conséquent $-2\vect{AR}+4\vect{RF} (14+14;-2-1)$ d’où $-2\vect{AR}+4\vect{RF}(28;-3)$

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$\quad$

Exercice 2

On donne les vecteurs $\vec{u}(-2;3)$, $\vec{v}(4,2;-6,3)$ et $\vec{w}(5;7,4)$.

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires?

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont-ils colinéaires?

$\quad$

Correction Exercice 2

$\vec{v}=-2,1\vec{u}$ donc les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

$-2\times 7,4-3\times 5=-29,8\neq 0$ : les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires.

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère les points $A(-1;3), B(1;2), C(-5;1)$ et $D(1;-2)$.

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles?

$\quad$

Correction Exercice 3

$\vect{AB}\left(1-(-1);2-3\right)$ soit $\vect{AB}(2;-1)$

$\vect{CD}\left(1-(-5);-2-1\right)$ soit $\vect{CD}(6;-3)$.

On a donc $\vect{CD}=3\vect{AB}$.

Ces deux vecteurs sont colinéaires. Par conséquent, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

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$\quad$

Exercice 4

Les points $A(-2;-1), B(1;0)$ et $C(6;1)$ sont -ils alignés?

$\quad$

Correction - Exercice 4

$\vect{AB}\left(1-(-2);0-(-1)\right)$ soit $\vect{AB}(3;1)$.

$\vect{AC}\left(6-(-2);1-(-1)\right)$ soit $\vect{AC}(8;2)$.

On a donc $3\times 2-1\times 8=6-8=-2\neq 0$.

Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires. Les points $A,B$ et $C$ ne sont donc pas alignés .

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$\quad$

Exercice 5

On considère les vecteurs $\vec{u}(2;-3), \vec{v}(5;7)$ et $\vec{w}(2;0)$.

Calculer les coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$, $\vec{u}-\vec{v}$, $\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}$ et $5\vec{u}-3\vec{v}+7\vec{w}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$\vec{u}+\vec{v} (2+5;-3+7)$ soit $\vec{u}+\vec{v}(7;4)$

$\vec{u}-\vec{v} (2-5;-3-7)$ soit $\vec{u}-\vec{v}(-3;-10)$

$\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}(2+5-2;-3+7-0)$ soit $\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}(5;4)$

$5\vec{u}-3\vec{v}+7\vec{w}\left(5\times 2-3\times 5+7\times 2;5\times (-3)-3\times 7+7\times 0\right)$ soit $5\vec{u}-3\vec{v}+7\vec{w}(9;36)$

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$\quad$

Exercice 6

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont définies par $\vec{u}=3\vec{i}+2\vec{j}$ et $\vec{v}=-2\vec{i}-5\vec{j}$.

Calculez les coordonnées des vecteurs suivants :

$\vec{a}=3\vec{u}$, $\vec{b}=\vec{u}-\vec{v}$, $\vec{c}=\vec{u}+\vec{v}$, $\vec{d}=\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{e}=-2\vec{b}+3\vec{c}$ et $\vec{f}=\dfrac{1}{3}\vec{a}-\dfrac{1}{2}\vec{c}$.

$\quad$

Correction Exercice 6

$\vec{a}=3\vec{u}=(3\left(3\vec{i}+2\vec{j}\right)$ $=9\vec{i}+6\vec{j}$ d’où $\vec{a}(9;6)$.

$\vec{b}=\vec{u}-\vec{v}=3\vec{i}+2\vec{j}-\left(-2\vec{i}-5\vec{j}\right)$ $=5\vec{i}+7\vec{j}$ d’où $\vec{b}(5;7)$.

$\vec{c}=\vec{u}+\vec{v}=3\vec{i}+2\vec{j}-2\vec{i}-5\vec{j}$ $=\vec{i}-3\vec{j}$ d’où $\vec{c}(1;-3)$.

$\vec{d}=\vec{a}+\vec{b} = 9\vec{i}+6\vec{j}+5\vec{i}+7\vec{j}$ $=14\vec{i}+13\vec{j}$ d’où $\vec{d}(14;13)$.

$\vec{e}=-2\vec{b}+3\vec{c}=-2\left(5\vec{i}+7\vec{j}\right)+3\left(\vec{i}-3\vec{j}\right)$ $=-7\vec{i}-23\vec{j}$ d’où $\vec{e}(-7;-23)$.

$\vec{f}=\dfrac{1}{3}\vec{a}-\dfrac{1}{2}\vec{c}=\dfrac{1}{3}\left(9\vec{i}+6\vec{j}\right)-\dfrac{1}{2}\left(\vec{i}-3\vec{j}\right)$ $=3\vec{i}+2\vec{j}-\dfrac{1}{2}\vec{i}+\dfrac{3}{2}\vec{j}$ d’où $\vec{f}\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{7}{2}\right)$

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