Les vecteurs

Vecteurs et coordonnées

Dans les exercices où ce ne sera pas spécifié on placera dans un repère $\Oij$.

Exercice 1

Placer les points $M,N$ et $P$ tels que : $\vect{AM}=\vect{NB}=\vect{CP}=\vec{u}$

$\quad$

Correction Exercice 1

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On donne $A(5;-6)$, $\vec{u}=-\vec{i}+2\vec{j}$, $\vec{v}=\vec{i}-2\vec{j}$, $\vec{w}=4\vec{i}+2\vec{j}$ et $\vec{r}=-4\vec{i}-2\vec{j}$.

Placer les points $M,N,P$ et $Q$ tels que $\vect{AM}=\vec{u}$, $\vec{AN}=\vec{v}$, $\vect{AP}=\vec{w}$ et $\vect{AQ}=\vec{r}$.
$\quad$
Quelle est la nature du quadrilatère $MNPQ$?
$\quad$

Correction Exercice 2

$\quad$
$\vect{MP}=\vect{MA}+\vect{AP}$ $=-\vec{u}+\vec{w}$ $=\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{i}+2\vec{j}$ $=5\vec{i}$$\vect{QN}=\vect{QA}+\vect{AN}$ $=-\vec{r}+\vec{v}$ $=4\vec{i}+2\vec{j}+\vec{i}-2\vec{j}$ $=5\vec{i}$Ainsi $\vect{MP}=\vect{QN}$.
$MNPQ$ est un parallélogramme.$\vect{MQ}=\vect{MA}+\vect{AQ}$ $=-\vec{u}+\vec{r}$ $=\vec{i}-2\vec{j}-4\vec{i}-2\vec{j}$ $=-3\vec{i}-4\vec{j}$Ainsi $MQ=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$
Or $MP=\sqrt{5^2+0^2}=5$Le parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur. $MNPQ$ est un losange.

$\vect{NM}=2\vec{u}$ donc $NM=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{20}$
$\vect{QP}=2\vec{w}$ donc $QP=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}$
Les diagonales du losange $MNPQ$ ne sont pas de la même longueur. Ce n’est pas un rectangle.

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

On considère les points $A(-1;-2)$, $B(3;1)$ et $C(0;2)$.

Calculer les coordonnées des points $M$ et $N$ tels que $ABCM$ et $ABNC$ soient des parallélogrammes.

$\quad$

Correction Exercice 3

On considère le point $M(x;y)$.
$ABCM$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\vect{AM}=\vect{BC}$.
$\vect{AM}(x+1;y+2)$ et $\vect{BC}(-3;1)$.
Par conséquent $\vect{AM}=\vect{BC} \ssi\begin{cases}x+1=-3\\y+2=1\end{cases}\ssi \begin{cases} x=-4\\y=-1\end{cases}$.
Ainsi $M(-4;-1)$.
On considère le point $N(a;b)$.
$ABNC$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\vect{AB}=\vect{CN}$.
$\vect{AB}(4;3)$ et $\vect{CN}(a;b-2)$.
Par conséquent $\vect{AB}=\vect{CN} \ssi \begin{cases}a=4\\b-2=3\end{cases} \ssi \begin{cases} a=4\\b=5\end{cases}$.
Ainsi $N(4;5)$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère les points $A(-2;1)$, $B(-1;4)$ et $C(2;3)$.

On appelle :
– $M$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$.
– $N$ le symétrique de $A$ par rapport à $C$.
Calculer les coordonnées des points $M$ et $N$.
$\quad$
On considère les points $P$ et $Q$ tels que $\vect{AP}=-3\vect{AB}$ et $\vect{AQ}=-3\vect{AC}$.
Démontrer que les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.
$\quad$

Correction Exercice 4

$M(x;y)$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ donc $B$ est le milieu de $[AM]$.
Ainsi $\begin{cases} -1=\dfrac{-2+x}{2}\\4=\dfrac{1+y}{2}\end{cases} \ssi \begin{cases} -2=-2+x\\8=1+y\end{cases} \ssi \begin{cases} x=0\\y=7\end{cases}$
Donc $M(0;7)$.
$\quad$
$N(a;b)$ est le symétrique de $A$ par rapport à $C$ donc $C$ est le milieu de $[AN]$.
Ainsi $\begin{cases} 2=\dfrac{-2+a}{2}\\3=\dfrac{1+b}{2} \end{cases} \ssi \begin{cases}4=-2+a\\6=1+b \end{cases} \ssi \begin{cases}a=6\\b=5\end{cases}$
Donc $N(6;5)$.
$\quad$
$\vect{PQ}=\vect{PA}+\vect{AQ}=3\vect{AB}-3\vect{AC}$ $=3\left(\vect{AB}+\vect{CA}\right)=3\vect{CB}$.
$\vect{MN}=\vect{MA}+\vect{AN}=2\vect{BA}+2\vect{AC}$ $=2\vect{BC}$.
Les vecteurs $\vect{MN}$ et $\vect{PQ}$ sont donc colinéaires et les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$. On munit le plan du repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD}\right)$.

Déterminer dans ce repère les coordonnées des vecteurs suivants : $\vect{AC}$, $\vect{AB}$, $\vect{AD}$, $\vect{BC}$, $\vect{CD}$ et $\vect{DO}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$\vect{AC}=\vect{AB}+\vect{AD}$ donc $\vect{AC}(1;1)$.
$\vect{AB}(1;0)$
$\vect{AD}(0;1)$
$\vect{BC}=\vect{AD}$ donc $\vect{BC}(0;1)$
$\vect{CD}=-\vect{AB}$ donc $\vect{CD}(-1;0)$
$\vect{DO}=\dfrac{1}{2}\vect{DB}=\dfrac{1}{2}\left(\vect{DA}+\vect{AB}\right)$ d’où $\vect{DO}\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On considère trois points $A,B$ et $C$ non alignés.

Construire les points $D$ et $E$ tels que :
$\vect{CE}=-2\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}$ et $\vect{AD}=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{CB}$.
$\quad$
On munit le plan du repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AC}\right)$.
a. Déterminer les coordonnées des points $A,C,E$ et $D$ dans ce repère.
$\quad$
b. Les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont-elles parallèles? Justifier.
$\quad$

Correction Exercice 6

$\quad$
a. Dans ce repère, on a :
$A(0;0)$, $B(1;0)$ $C(0;1)$
$\begin{align*} \vect{AD}&=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{CB} \\
&=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\left(\vect{CA}+\vect{AB}\right) \\
&=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}\\
&=2\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}
\end{align*}$
Donc $D\left(\dfrac{1}{2};2\right)$.
$\begin{align*} \vect{AE}&=\vect{AC}+\vect{CE} \\
&=\vect{AC}-2\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB} \\
&=-\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}
\end{align*}$
Donc $E\left(\dfrac{1}{2};-1\right)$
$\quad$
b. On a alors $\vect{DE}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2};-1-2\right)$ soit $\vect{DE}(0;-3)$.
Cela signifie donc que $\vect{DE}=-3\vect{AC}$.
Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont parallèles.
$\quad$

[collapse]

$\quad$